结构动力学3-2

(4.35)
ωb = 1+ ζ ωn
,
ωa = 1− ζ ωn
(d)
由式(d)得到半功率点频率 ωb 和 ωa 与阻尼比 ζ 的关系，
ωb − ωa = 2ζ ωn
由此得到式（4.34） 。若再用式(d)得关系
(e)
ωb + ω a = 2 ，代入式(e)，又得到式（4.35） 。 ω
三种阻尼比的测量方法
&& & (mu )udt
m[−ω u0 sin(ωt − φ )][ωu0 cos(ωt − φ )]dt = 0
可见在简谐振动中的一个循环内，弹性力和惯性力做功 均等于零，而由阻尼耗散的能量等于外力做的功。
3.4.3 等效粘性阻尼
(1) 粘性阻尼是一种理想化的阻尼，具有简单和便于分析 计算的优点。 (2) 工程中结构的阻尼源于多方面，其特点和数学描述更 为复杂，这时可以将复杂的阻尼在一定的意义上等效 成粘性阻尼。 (3) 一般采用基于能量等效的原则。 (4) 阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滞回曲线反映。
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
第3章 单自由度体系
3.3.6 用简谐振动(强迫振动)试验 确定体系的粘性阻尼比
制，或说衰减规律可以明显反应出 阻尼比ζ的影响。而动力放大系数同 样受ζ控制，Rd曲线形状可以反映出ζ 的影响，其影响主要有两点： (1)峰值大小， (2)曲线的胖瘦。
动力放大系数 Rd=u0/ust
可以用自由振动方法求阻尼比ζ 的原因是由于自振衰减的快慢由ζ控
6
ζ=0.01
ζ=0.1
5
4
3
2
ζ=0.2
1
ζ=0.8 ζ=1
0
0 1
ζ=0.5
2 3
频率比 ω/ωn
利用体系对简谐荷载反应的结果也可以得到体系的阻尼 比，有两种主要方法：共振放大法和半功率带宽法， 其原理均是基于对动力放大系数Rd的分析。
1 1 2 & (0)]2 E0 = k [u (0)] + m[u 2 2
任意t时刻体系的总能量: E = EK + ES EK—质点的动能； ES —弹簧的应变能。
1 & Ek = m[u (t )]2 2
1 Es = k[u (t )]2 2
3.4.1 自由振动过程中的能量
无阻尼体系中的能量:
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
6
动力放大系数 Rd=u0/ust
1、共振放大法 根据动力放大系数Rd :
Rd = 1 [1 − (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2
ζ=0.01
ζ=0.1
5
4
3
2
ζ=0.2
1
ζ=0.8 ζ=1
0
0 1
ζ=0.5
2 3
当发生共振(ω/ωn＝1)时:
1 1 2 & E = Ek + E s = k [u (0)] + m[u (0)]2 = E0 2 2
无阻尼体系自由振动过程中的总能量守恒，不随 时间变化，等于初始时刻输入的能量。
3.4.1 自由振动过程中的能量
有阻尼体系中的能量: 在0至t时刻由粘性阻尼耗散的能量ED为：
& & & ED = ∫ f D du = ∫ (cu )udt = ∫ cu dt
3.4.3 等效粘性阻尼
1.阻尼力的滞回曲线
u (t ) = u 0 sin(ωt − ϕ )
阻尼力的滞回曲线：阻尼力与位移之间的关系曲 线，即fD—u曲线。
& f D = cu(t ) = cωu0 cos(ωt − ϕ ) = ± cω u0 − [u0 sin(ωt − ϕ )] = ± cω u0 − u (t )
1 2ζ 1 − ζ
2
。而振幅等于
1 2
倍(Rd)max 对应的频
1 [1 − (ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2ζ (ω / ω n )] 2
对式(a)两边同时取倒数、并开平方，整理后得：
=
1
2 2ζ 1 − ζ
⋅
1
2
(a)
证明：
ωb − ωa ζ = 2ωn
(
ω 4 ω ) − 2(1 − 2ζ 2 )( ) 2 + 1 − 8ζ 2 (1 − ζ 2 ) = 0 ωn ωn ω 2 ) = (1 − 2ζ 2 ) ± 2ζ 1 − ζ 2 ωn
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
2、半功率点法 (半功率带宽法) 半功率点：动力放大系数Rd
上振幅值等于1/√2倍最大振 幅的点所对应的两个频率点。
位移放大系数Rd
54Biblioteka 记：ωa和ωb分别等于半功
2
率点对应的两个频率。 则阻尼比ζ 可由如下公式计算：
2ζ＝半带宽
1
0 0.0
0.5
1.0
1.5
& & (cu )udt = ∫
2
2π / ω
0
& cu 2 dt
[ωu0 cos(ωt − φ )] dt
ω 2 = 2πζ ( )ku0 ωn
c = 2ζωn m = 2ζωn ( k / ω ) = 2ζ k / ωn
2 n
粘性阻尼引起的耗散与振幅u0的平方成正比， 与阻尼比ζ和外荷载的频率ω成正比。
ES = =
∫ f du = ∫
s
2π / ω
0
& ( ku )u dt
∫
2π / ω
0
k [u 0 sin( ω t − φ ) ][ω u 0 cos( ω t − φ )]dt = 0
（4）惯性力的功 EK (Kinetic)
EK = ∫ f I du = ∫ =∫
2π / ω 0 2π / ω 0 2
u(t ) = u(0) cosω n t + & u(0) sin ω n t
ωn
1 & m[u(t )]2 2 1 E s = k [u(t )]2 2 Ek =
Ek =
& 1 u(0) mω n 2 [−u(0) sin ω n t + cosω n t ]2 2 ωn
& u (0) 1 E s = k [u(0) cosω n t + sin ω n t ]2 2 ωn
4
3
u st 1 ζ = = 2 Rd (ω n ) 2u 0 (ω n )
2
ζ=0.2
1
ζ=0.8 ζ=1
0
ζ=0.5
1 2 3
0
频率比
ω/ωn
由于从动力放大曲线定u0(ωn)不容易，一般用u0m代替，
u0m=max(u0)
则:
u st 1 = ζ ≈ 2( Rd ) max 2u0 m
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
u0 Rd (ω n ) = u st
ω =ω n
频率比 ω/ωn
u 0 (ω n ) 1 = = u st 2ζ
u st 1 ζ = = 2 Rd (ω n ) 2u 0 (ω n )
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
1、共振放大法
动力放大系数 Rd=u0/ust
6
ζ=0.01
5
ζ=0.1
ω = π p0 u0 sin φ = 2πζ ( ) ku0 2 ωn
u0 ω ω sin φ = ( 2ζ ) Rd = 2ζ ( ) ωn ω n p0 / k
2 E D = πcωu 0 = 2πζ (
ω 2 )ku0 ωn
3.4.2、粘性阻尼体系的能量耗散 u (t ) = u0 sin(ωt − φ ) （3）弹性力的功 ES
(b)
式(b)是关于(ω/ωn)2 一元二次方程，可得两个根为：
(
(c)
(4.34)
ωb − ω a ζ = ωb + ω a
式(c)取正号时对应数值较大的根 ωb，负号对应较小的根 ωa。一般的工程结构，阻尼比 较小，式(c)中 ζ 的平方项可忽略，因此
ω ≈ 1 ± 2ζ ≈ 1 ± ζ ωn
则对应于半功率点的两个根为：
2 0 0
t
t
阻尼在体系振动过程中始终在消耗能量。 随着，t→∞ 体系中的总能量将完全被阻尼所消耗 当t→∞时，ED= E0
3.4.2 粘性阻尼体系的能量耗散
SDOF体系在简谐力 p(t)=p0sinωt 作用下，在一个振 动循环内的能量耗散记为：
ED — 阻尼引起的能量耗散，即阻尼力做的功； EI — 外力做的功； ES — 弹性力做的功； EK — 惯性力做的功。
2 2 2 2
fD
粘性阻尼力 滞回曲线
u >0
cωu0
u0 u <0
u
3.4.3 等效粘性阻尼
1.阻尼力的滞回曲线
f D = cω u0 − u (t )
2 2
对粘性阻尼力的滞回曲线整理可以得到： 粘性阻尼力 的滞回曲线 是一椭圆
fD 2 u 2 ( ) +( ) =1 u0 cω u 0
D
研究滞回曲线的意义：力在一个循环内所做的功等于 证明： 滞回曲线所包围的面积。 f
加载 u >0
fs=ku
cωu0 u0
卸载 u <0
u0 u <0
u
u
抗力滞回曲线包围的面积等于阻尼力做的功。 在实际测量时，量测到的量是抗力。
3.4.3 等效粘性阻尼
2. 等效粘性阻尼比 确定等效粘性阻尼比的原则：基于能量耗散相等 的原理。 具体实现方法：在一个振动循环内让等效粘性阻 尼做的功等于实际阻尼所做的功。