3方程与离心率相关问题 讲义及练习

离心率的问题
学生们在学习了椭圆和双曲线后，一个重要的问题是离心率问题，总是没有头绪，于是设置了这节离心率专题。
一、课前训练
1.已知椭圆 的离心率为 则 的值为。
2.已知椭圆的焦点到相应准线的距离为长半轴长，则椭圆的离心率为。
3.设a>1,则双曲线
4.已知椭圆 （ ＞ ＞0）的左焦点为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，若 ,则椭圆的离心率为。
4.设 和 为双曲线 ( )的两个焦点,若 ， 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率。
5.平面直角坐标系 中， ， 分别为椭圆 的左，右焦点．已知点 ，又 为等腰三角形，则椭圆的离心率为。
6.从椭圆上一点A看椭圆的两焦点 的视角为直角， 的延长线交椭圆于 ，且 ,则椭圆的离心率为。
7.双曲线 （ ）的左、右焦点分别为 ，过 作倾斜角 的直线交双曲线右支于M点，若M 垂直于x轴，求此双曲线的离心率。
二、例题讲解
例1.椭圆 的两个焦点为 ，以 为边
作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为
变式1，若以 为正方形的对角线，求离心率。
例2.从椭圆 上一点p作x轴的垂线，恰好通过椭圆的一个焦点F，此椭圆与x轴交于点A，与y轴交于点B，且A,B两点连线AB与OP平行，求 .
例3.设椭圆 的左、右焦点为 ,若线段 被抛物线 的焦点分成5:3的两段，求椭圆的离心率
8.直线l是双曲线 的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆被直线l分成弧长为2：1的两段圆弧，求该双曲线的离心率。
9.已知椭圆 ： 的离心率为 ，一个焦点为
（1）求椭圆 的方程
（2）设直线 交椭圆C于 两点，若点 都在以点 为圆心的圆上，求 。
10.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，左焦点为 ，右准线方程为 ．

妙解离心率问题【目录】考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题考点二：焦点三角形顶角范围与离心率考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形考点八：焦点到渐近线距离为b考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题考点十一：渐近线平行线与面积问题考点十二：数形结合转化长度角度求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．考点要求考题统计考情分析离心率2023年新高考I 卷第5、16题，10分2023年甲卷第9题，5分2022年甲卷第10题，5分2022年浙江卷第16题，4分2021年甲卷第5题，5分2021年天津卷第8题，5分离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．求离心率范围的方法一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系．2.利用线段长度的大小建立不等关系．F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1 ∈a -c ,a +c ；F 1,F 2为双曲线x2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，PF 1 ≥c -a ．3.利用角度长度的大小建立不等关系．F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若∠F 1PF 2=θ，则椭圆离心率e 的取值范围为sin θ2≤e <1．4.利用题目不等关系建立不等关系．5.利用判别式建立不等关系．6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7.利用基本不等式，建立不等关系．1(2023•新高考Ⅰ)设椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1)，C 2:x 24+y 2=1的离心率分别为e 1，e 2．若e 2=3e 1，则a =()A.233B.2C.3D.6【答案】A【解析】由椭圆C 2:x 24+y 2=1可得a 2=2，b 2=1，∴c 2=4-1=3，∴椭圆C 2的离心率为e 2=32，∵e 2=3e 1，∴e 1=12，∴c 1a 1=12，∴a 21=4c 21=4(a 21-b 21)=4(a 21-1)，∴a =233或a =-233(舍去)．故选：A ．2(2023•甲卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为5，C 的一条渐近线与圆(x -2)2+(y -3)2=1交于A ，B 两点，则|AB |=()A.55B.255C.355D.455【答案】D【解析】双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为5，可得c =5a ，所以b =2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y =±2x ，一条渐近线与圆(x -2)2+(y -3)2=1交于A ，B 两点，圆的圆心(2,3)，半径为1，圆的圆心到直线y =2x 的距离为：|4-3|1+4=15，所以|AB |=21-15=455．故选：D ．3(2022•甲卷)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为()A.32B.22C.12D.13【答案】A【解析】已知A (-a ,0)，设P (x 0，y 0)，则Q (-x 0，y 0)，k AP =y 0x 0+a ，k AQ =y 0a -x 0，故k AP ⋅k AQ =y 0x 0+a ⋅y 0a -x 0=y 20a 2-x 20=14①，∵x 20a 2+y 20b 2=1，即y 20=b 2(a 2-x 20)a 2②，②代入①整理得：b 2a2=14，e =c a =1-b 2a 2=32．故选：A ．4(2021•甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°，|PF 1|=3|PF 2|，则C 的离心率为()A.7B.13C.72D.132【答案】C【解析】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则根据题意及余弦定理可得：m =3n12=m 2+n 2-4c22mn，解得m =67cn =27c ，∴所求离心率为2c 2a =2c m -n =2c 47c=72．故选：C ．5(2021•天津)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|CD |=2|AB |，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.3【答案】A【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为x =-p2，由题意可得：p 2=c ，渐近线的方程为：y =±ba x ，可得A -c ,b 2a ，B -c ,-b2a ，C -c ,bc a ，D -c ,-bca，所以|AB |=2b 2a ，|CD |=2bca，由|CD |=2|AB |，解得：c =2b ，即a =b ，所以双曲线的离心率e =ca=2．故选：A ．6(2022•甲卷)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1 ⋅BA 2=-1，则C 的方程为()A.x 218+y 216=1B.x 29+y 28=1C.x 23+y 22=1D.x 22+y 2=1【答案】B【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为x 29m 2+y 28m 2=1(m >0)，则A 1(-3m ,0),A 2(3m ,0),B (0,22m )，由平面向量数量积的运算法则可得：BA 1 ⋅BA 2=(-3m ,-22m )⋅(3m ,-22m )=-9m 2+8m 2=-1，∴m 2=1，则椭圆方程为x 29+y 28=1．故选：B ．7(2022•全国)若双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与直线y =2x +1垂直，则C 的离心率为()A.5 B.5C.54D.52【答案】D【解析】由双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的方程可得渐近线方程为y =±b a x ，由题意可得b a =12，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a 2=1+14=52，故选：D ．8(多选题)(2022•乙卷)双曲线C 的两个焦点为F 1，F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为()A.52B.32C.132D.172【答案】AC【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，设过F 1的切线与圆D :x 2+y 2=a 2相切于点P ，则|OP |=a ，OP ⊥PF 1，又|OF 1|=c ，所以PF 1=OF 12-OP 2=c 2-a 2=b ，过点F 2作F 2Q ⊥MN 于点Q ，所以OP ⎳F 2Q ，又O 为F 1F 2的中点，所以|F 1Q |=2|PF 1|=2b ，|QF 2|=2|OP |=2a ，因为cos ∠F 1NF 2=35，∠F 1NF 2<π2，所以sin ∠F 1NF 2=45，所以|NF 2|=QF 2sin ∠F 1NF 2=5a 2，则|NQ |=|NF 2|⋅cos ∠F 1NF 2=3a2，所以|NF 1|=|NQ |+|F 1Q |=3a2+2b ，由双曲线的定义可知|NF 1|-|NF 2|=2a ，所以3a 2+2b -5a 2=2a ，可得2b =3a ，即b a =32，所以C 的离心率e =c a =1+b 2a 2=1+94=132．情况二：当直线与双曲线交于一支时，如图，记切点为A ，连接OA ，则|OA |=a ，|F 1A |=b ，过F 2作F 2B ⊥MN 于B ，则|F 2B |=2a ，因为cos ∠F 1NF 2=35，所以|NF 2|=5a 2，|NB |=3a2，|NF 2|-|NF 1|=5a 2-3a2-2b =a +2b =2a ，即a =2b ，所以e =c a =1+b 2a2=1+14=52，A 正确．故选：AC ．9(2023•新高考Ⅰ)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⊥F 1B ，F 2A =-23F 2B，则C 的离心率为．【答案】355【解析】(法一)如图，设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，B (0,n )，设A (x ,y )，则F 2A =(x -c ,y ),F 2B=(-c ,n )，又F 2A =-23F 2B ，则x -c =23c y =-23n，可得A 53c ,-23n ，又F 1A ⊥F 1B ，且F 1A =83c ,-23n ,F 1B =(c ,n )，则F 1A ⋅F 1B =83c 2-23n 2=0，化简得n 2=4c 2．又点A 在C 上，则259c 2a 2-49n 2b 2=1，整理可得25c 29a 2-4n 29b2=1，代n 2=4c 2，可得25c 2a 2-16c 2b 2=9，即25e 2-16e 2e 2-1=9，解得e 2=95或15(舍去)，故e =355．(法二)由F 2A =-23F 2B ，得|F 2A||F 2B |=23，设|F 2A |=2t ,|F 2B |=3t ，由对称性可得|F 1B |=3t ，则|AF 1 |=2t +2a ,|AB|=5t ，设∠F 1AF 2=θ，则sin θ=3t 5t =35，所以cos θ=45=2t +2a5t，解得t =a ，所以|AF 1 |=2t +2a =4a ,|AF 2|=2a ，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ=16a 2+4a 2-4c 216a2=45，即5c 2=9a 2，则e =355．故答案为：355．10(2022•浙江)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，过F 且斜率为b4a 的直线交双曲线于点A (x 1，y 1)，交双曲线的渐近线于点B (x 2，y 2)且x 1<0<x 2．若|FB |=3|FA |，则双曲线的离心率是．【答案】364．【解析】(法一)如图，过点A 作AA ′⊥x 轴于点A ′，过点B 作BB ′⊥x 轴于点B ′，由于B (x 2，y 2)且x 2>0，则点B 在渐近线y =b a x 上，不妨设B m ,bam ,m >0，设直线AB 的倾斜角为θ，则tan θ=b 4a ，则|BB ||FB |=b 4a ，即b am |FB|=b 4a ，则|FB ′|=4m ，∴|OF |=c =4m -m =3m ，又|AA ||BB |=|AF ||BF |=13，则|AA |=13|BB |=bm 3a =bc 9a ，又|FA ||FB|=|AF ||BF |=13，则|FA |=13|FB |=4m 3，则|x 1|=3m -4m 3=5m 3=5c 9，∴点A 的坐标为-5c 9,bc9a ，∴25c 281a 2-b 2c 281a 2b 2=1，即c 2a2=8124=278，∴e =c a =364．(法二)由y =b 4a (x +c )y =b a x，解得B c 3,bc 3a，又|FB |=3|FA |，所以点A 的纵坐标为y 1=bc9a，代入方程y =b 4a (x +c )中，解得x 1=-5c 9，所以A -5c 9,bc 9a ，代入双曲线方程中，可得c 2a 2=278，所以e =c a =364．故答案为：364．考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：椭圆：e =1sin α+cos α=12sin α+π4，根据α范围求解值域．双曲线：e =1cos α−sin α=12cos α+π4，根据α范围求解值域．1(2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π3，则该椭圆的离心率e 的取值范围是()A.22,3-1B.22,63C.3-1,63D.63,62【答案】B【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为F ，连接AF ,BF ，则四边形AFBF 为矩形，则AB =FF =2c ,AF =BF ，所以BF +BF =BF +AF =2a ，在Rt △ABF 中，由∠ABF =α，得AF =AB sin α=2c sin α,BF =AB cos α=2c cos α，所以2c sin α+2c cos α=2a ，所以c a =1sin α+cos α=12sin α+π4，因为α∈π12,π3，所以α+π4∈π3,7π12，所以2sin α+π4∈62,2 ，所以e =c a ∈22,63.故选：B .1(2024·高三单元测试)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π6，则该椭圆的离心率e 的取值范围为()A.3-1,63 B.3-1,32C.64,63D.0,63【答案】A【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′．则四边形AFBF ′为矩形．因此|AB =|FF ′|=2c ．|AF |+|BF |=2a ．所以|AF |=2c sin α，|BF |=2c cos α．∴2c sin α+2c cos α=2a ．∴e =1sin α+cos α=12sin α+π4，∵α∈π12,π6，∴α+π4∈π3,5π12，∴sin α+π4 ∈32,2+64，其中sin 5π12=sin π6+π4 =sin π6cos π4+cos π6sin π4=12×22+32×22=2+64，∴2sin α+π4 ∈62,1+32．∴e ∈3-1,63．故选：A ．2(2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π4，则该椭圆的离心率e 的取值范围为()A.22,63 B.3-12,32C.3-1,63D.22,32【答案】A【解析】设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ，BF ，可知四边形AFBF 为矩形，从而可知AB =FF =2c ，且AF +BF =2a ，由∠ABF =α，可得AF =2c sin α，BF =2c cos α，结合2c sin α+2c cos α=2a ，可得ca=1sin α+cos α，根据α∈π12,π4 ，求出范围即可.如图所示，设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ，BF，则四边形AFBF 为矩形，所以AB =FF =2c ，AF +BF =AF +AF=2a ，由∠ABF =α，可得AF =AB ⋅sin α=2c sin α，BF =AB ⋅cos α=2c cos α，∴2c sin α+2c cos α=2a ，即c a =1sin α+cos α=12sin α+π4，∵α∈π12,π4，∴α+π4 ∈π3,π2 ，∴sin α+π4 ∈32,1 ，∴2sin α+π4 ∈62,2 ，∴e =c a ∈22,63.故选：A .3(2024·河南驻马店·高三统考期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2(a >b >0)右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⋅BF =0，设∠BAF =θ且θ∈π4,5π12，则双曲线C 离心率的取值范围是()A.(2,2] B.[2,+∞) C.(2,+∞) D.(2,+∞)【答案】C【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ，因为AF ⋅BF=0，所以四边形AFBF 为矩形，所以AB =FF =2c ，因为AF =2c cos θ，BF =2c sin θ，AF -AF =2a ，所以2c sin θ-2c cos θ=2a ，所以e =1sin θ-cos θ=12sin θ-π4，∵θ∈π4,5π12 ，∴θ-π4∈0,π6 ，2sin θ-π4 ∈0,22 ，∴e ∈2,+∞ ，故选：C考点二：焦点三角形顶角范围与离心率F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2=θ，则cos θ≥1−2e 2(当且仅当动点为短轴端点时取等号)．1(2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是椭圆上的一个动点，若使得满足ΔPF 1F 2是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为()A.12B.32C.22D.33【答案】C【解析】由题意知，椭圆的最大张角为900，所以b =c ，所以a =2c ，所以e =c a =22=22，故选：C ．1(2024·江西抚州·高三统考期末)设F 1,F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点p ,使∠F 1PF 2=120°,则椭圆离心率的取值范围是()A.0,32B.0,32C.32,1D.32,1【答案】D【解析】F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，c >0，设P x 1,y 1 ，则|PF 1|=a +ex 1，|PF 2|=a -ex 1．在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos120°=-12=a +ex 1 2+a -ex 1 2-4c 22a +ex 1 a -ex 1，解得x 21=4c 2-3a 2e 2．∵x 21∈0,a 2，∴0≤4c 2-3a 2e 2<a 2，即4c 2-3a 2≥0．且e 2<1∴e =c a ≥32．故椭圆离心率的取范围是e ∈32,1 2(2024·宁夏·高三校联考阶段练习)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为()A.12，22B.22，1 C.0，22D.12，22【答案】B【解析】若椭圆C 上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，即以F 1F 2为直径的圆与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)有交点，设F 1(-c ,0),F 2(c ,0)，x 2+y 2=c 2x 2a 2+y 2b 2=1，解得x 2=(2c 2-a 2)⋅a 2c 2≥0，即2c 2-a 2≥0，e ≥22，又0<e <1，故e ∈22，1.故选：B .3(2024·高三课时练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是()A.0,22B.22,1C.0,12D.12,1【答案】B【解析】当动点P 从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F 1PF 2渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点P 0处时，张角∠F 1PF 2达到最大值．∵椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，∴△F 1P 0F 2中，∠F 1P 0F 2>90°，∴Rt △OP 0F 2中，∠OP 0F 2>45°，∴b <c ，∴a 2-c 2<c 2，∴a 2<2c 2，∴e >22，∵0<e <1，∴22<e <1．椭圆离心率的取值范围是22,1，故选B ．考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题sin 2α2e 椭2+cos 2α2e 双2=1，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围1(2024·全国·高三专题练习)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当1e 1e 2取最大值时，e 1，e 2的值分别是()A.22，62B.12，52C.33，6 D.24，3【答案】A【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，c =a 2-b 2，x 2a 21-y 2b 21=1，c =a 21+b 21．设PF 1 =m ，PF 2 =n ．m >n ．则m +n =2a ，m -n =2a 1，∴m =a +a 1，n =a -a 1．因为∠F 1PF 2=π3，所以cos π3=m 2+n 2-2c 22mn =12，即a +a 1 2+a -a 1 2-4c 2=a +a 1 a -a 1 ．∴a 2+3a 21-4c 2=0，∴1e 21+3e 22=4，∴4≥21e 21×3e 22，则1e 1e 2≤23，当且仅当e 1=22，e 2=62时取等号．故选：A ．1(2024·湖南·高三校联考期末)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P ，Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且QF 2⊥F 2P ，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则4e 21+e 22最小值等于．【答案】92【解析】设椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴为a 2，F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，P 为两曲线在第一象限的交点，Q 为两曲线在第三象限的交点，如图，由椭圆和双曲线定义与对称性知PF 1 +PF 2 =2a 1，PF 1 -PF 2 =2a 2，四边形PF 1QF 2为平行四边形，QF 2 =PF 1 =a 1+a 2，PF 2 =a 1-a 2，而QF 2⊥F 2P ，则PF 1⊥F 2P ，因此F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2，即4c 2=a 1+a 2 2+a 1-a 2 2=2a 21+2a 22，于是有2c 2=a 21+a 22，则2=a 21c 2+a 22c 2，1e 21+1e 22=2，所以4e 21+e 22=12(4e 21+e 22)1e 21+1e 22=125+e 22e 21+4e 21e 22≥125+2e 22e 21⋅4e 21e 22=92，当且仅当e 21=34，e 22=32时取等号．故答案为：922(2024·湖北咸宁·校考模拟预测)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1,F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若PF 1 =24，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2，则3e 1e 2的取值范围是()A.19,+∞B.1,+∞C.13,+∞D.12,+∞【答案】B 【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为c ，椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴为a 2，PF 1 =r 1，PF 2 =r 2，∵△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，点P 在第一象限内，∴PF 2 =F 1F 2 ,PF 1 >PF 2 ,PF 2 +F 1F 2 >PF 1 ，即r 1=24，r 2=2c ，且r 1>r 2，2r 2>r 1，2c <24，4c >24，解得：6<c <12．在双曲线中，PF 1 -PF 2 =2a 2，∴e 2=c a 2=2c 2a 2=2c r 1-r 2=2c 24-2c =c12-c ；在椭圆中，PF 1 +PF 2 =2a 1，∴e 1=c a 1=2c 2a 1=2c r 1+r 2=2c 24+2c =c12+c；∴e 1e 2=c 12+c ⋅c 12-c =1144c2-1；∵6<c <12，∴36<c 2<144，则1<144c 2<4，∴0<144c 2-1<3，可得：1144c2-1>13，∴3e 1e 2的取值范围为1,+∞ .故选：B .考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体椭圆与双曲线的4a 通径体如图，若AF 2⊥F 1F 2，易知AF 2 =b 2a ，若AF 1 =λF 1B (λ>1)，则一定有AF 1 =λ+12⋅b 2a，根据AF 1 +AF 2 =2a 可得λ+32⋅b 2a =2a ，即λ+34⋅(1-e 2)=1⇒e =λ-1λ+31(2024·河南新乡·高三统考期末)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于M 、N 两点，若MF 2 =F 1F 2 ，且2MF 1 =NF 1 ，则双曲线C 的离心率是()A.43B.53C.52D.32【答案】B【解析】如下图所示：MF 2 =F 1F 2 =2c ，由双曲线的定义可得MF 1 =MF 2 -2a =2c -2a ，所以，NF 1 =2MF 1 =4c -4a ，则NF 2 =NF 1 +2a =4c -2a ，由余弦定理可得cos ∠MF 1F 2=MF 12+F 1F 2 2-MF 2 22MF 1 ⋅F 1F 2=c -a2c ，cos ∠NF 1F 2=NF 12+F 1F 2 2-NF 2 22NF 1 ⋅F 1F 2=c -3a4c ，因为cos ∠NF 1F 2=cos π-∠MF 1F 2 =-cos ∠MF 1F 2，故c -3a 4c =-c -a 2c ，整理可得3c =5a ，故该双曲线的离心率为e =c a =53.故选：B .1(2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆C 于M ，N 两点.若MN +NF 2 =2MF 2 ，且MF 2⊥NF 2，则椭圆C 的离心率为()A.33B.55C.22D.66【答案】B【解析】因为MN +NF 2 =2MF 2 ，所以可设NF 2 =m -d ，MF 2 =m ，MN =m +d m >0,d >0 ，因为MF 2⊥NF 2，所以m -d 2+m 2=m +d 2，解得m =4d ，因为NF 2 +MF 2 +MN =4a =3m ，所以NF 2 =a ，MF 2 =43a ，MN =53a ，所以cos ∠F 2MN =MF 2 MN=45，在△MF 1F 2中，F 1F 2 =2c ，MF 1 =2-MF 2 =23a ，由cos ∠F 2MF 1=23a 2+43a 2-(2c )22×23a ×43a =45，可得a 2=5c 2，即椭圆C 的离心率为55.故选：B .2(2024·湖南衡阳·校联考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，∠MF 2N =90°，且4F 2N =3F 2M ，则椭圆的离心率为()A.13B.12C.33D.55【答案】D【解析】如图所示，设F 1F 2 =2c ，∵4F 2N =3F 2M ，设F 2N =3t ，则F 2M =4t ，在Rt △F 2MN 中，MN =NF 22+MF 2 2=5t ，由椭圆定义可知F 1N =2a -3t ，F 1M =2a -4t ，F 1N +F 1M =MN =4a -7t =5t ，解得a =3t ，所以F 1N =2a -3t =3t =F 2N ，F 1M =2a -4t =2t ，在△F 1NF 2中，可得cos ∠NF 1F 2=c3t，在△F 1MF 2中，由余弦定理可得cos ∠MF 1F 2=c 2-3t 22ct，∵∠NF 1F 2+∠MF 1F 2=π，∴cos ∠NF 1F 2+cos ∠MF 1F 2=0，即c 3t +c 2-3t 22ct=0，解得c =35t 5，所以椭圆离心率e =c a =55.故选：D .考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体如左图，若AF 2⊥AB ，AB 过原点，且AF 1=λF 1B ，∠AF 1F 2=α，则e cos α=λ−1 λ+1可得离心率．如右图，若BF 2⊥AC ，AB 过原点，且AF 2=λF 2C(0<λ<1)，通过补全矩形，可得AF 1⊥AC ，AF 2 =λ+12⋅b 2a ，借助公式e cos α=λ−1 λ+1可得离心率．1(2024·山东济南·校联考)设F 1，F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1 ⋅AF 2 =0，AF 2 =2F 2B，则椭圆E 的离心率为()A.23B.34C.53D.74【答案】C【解析】因为AF 2 =2F 2B ，不妨令AF 2 =2F 2B =2m m >0 ，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得，AF 1 +AF 2 =2a ，BF 1 +BF 2 =2a ，则BF 1 =2a -m ，AF 1 =2a -2m ，又AF 1 ⋅AF 2=0，所以AF 1⊥AF 2，则△AF 1F 2和△AF 1B 都是直角三角形，则AF 1 2+AB 2=BF 1 2，即2a -2m 2+9m 2=2a -m 2，解得m =a3，所以AF 1 =43a ，AF 2 =23a ，又F 1F 2 =2c ，AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2，所以169a 2+49a 2=4c 2，因此c 2a2=59，所以椭圆E 的离心率为c a =53.故选：C .1(2024·安徽池州·高三统考期末)设F 1、F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1-c ,0 的直线交椭圆E 于A ,B 两点，若AF 1=3 F 1B ，且AB ⊥AF 2，则椭圆E 的离心率是()A.12B.52C.32D.22【答案】D【解析】设FB 1=k (k 0 ⇒ AF 1=3k ,AB =4k ⇒ AF 2=2a -3k , BF 2|=2a -k ，再由BF 2|2= AF 2|2+|AB |2⇒AF 2 =3k ⇒ΔAF 1F 2是等腰直角三角形⇒c =22a ⇒e =22，故选D ,2(2024·湖北黄冈·高三统考期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，AF 2 =λF 2B ，且AF 1 ⋅AF 2 =0，椭圆C 的离心率为22，则实数λ=()A.23B.2C.13D.3【答案】D【解析】因为AF 2 =λF 2B ，设AF 2 =λF 2B =t (t >0)，由椭圆的定义可得：AF 1 +AF 2 =2a ，则AF 1 =2a -t ，因为AF 1 ⋅AF 2=0，所以AF 1⊥AF 2，所以AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2，即(2a -t )2+t 2=4c 2，又因为椭圆C 的离心率为22，所以a =2c ，则有(2a -t )2+t 2=4c 2=2a 2，所以t =a ，则λF 2B =a ，则F 2B =aλ，由BF 1 +BF 2 =2a ，所以BF 1 =2a -aλ，因为AF 1 ⋅AF 2 =0，所以AF 1⊥AF 2，所以AF 1 2+AB 2=BF 1 2，即a 2+a 21+1λ 2=2a -a λ2，解得：λ=3，故选：D .考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题同角余弦定理使用两次1已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若│AF 2 =2F 2B ，AB │=BF 1 ，则C 的方程为()A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 25+y 24=1【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设F 2B =n ，则AF 2 =2n ,BF 1 =AB =3n ，由椭圆的定义有2a =BF 1 +BF 2 =4n ,∴AF 1 =2a -AF 2 =2n ．在△AF 1B 中，由余弦定理推论得cos ∠F 1AB =4n 2+9n 2-9n 22⋅2n ⋅3n =13．在△AF 1F 2中，由余弦定理得4n 2+4n 2-2⋅2n ⋅2n ⋅13=4，解得n =32．∴2a =4n =23,∴a =3,∴b 2=a 2-c 2=3-1=2,∴所求椭圆方程为x 23+y 22=1，故选B ．法二：由已知可设F 2B =n ，则AF 2 =2n ,BF 1 =AB =3n ，由椭圆的定义有2a =BF 1 +BF 2 =4n ,∴AF 1 =2a -AF 2 =2n ．在△AF 1F 2和△BF 1F 2中，由余弦定理得4n 2+4-2⋅2n ⋅2⋅cos ∠AF 2F 1=4n 2,n 2+4-2⋅n ⋅2⋅cos ∠BF 2F 1=9n 2 ，又∠AF 2F 1,∠BF 2F 1互补，∴cos ∠AF 2F 1+cos ∠BF 2F 1=0，两式消去cos ∠AF 2F 1,cos ∠BF 2F 1，得3n 2+6=11n 2，解得n =32．∴2a =4n =23,∴a =3,∴b 2=a 2-c 2=3-1=2,∴所求椭圆方程为x 23+y 22=1，故选B ．1(2024·江西九江·高三九江一中校考期末)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 左右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且PF 2=2F 2Q，若△PQF 1为以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为()A.7B.2C.213D.3【答案】C【解析】由题意QF 1 -QF 2 =PQ -QF 2 =PF 2 =2a ，又PF 2=2F 2Q ，所以QF 2 =a ，从而QF 1 =3a ，PF 1 =4a ，PQ =3a ，△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=(4a )2+(2a )2-(2c )22×4a ×2a =5a 2-c 24a 2，△PF 1Q 中．cos ∠F 1PF 2=12PF 1PQ =2a 3a =23，所以5a 2-c 24a 2=23，7a 2=3c 2，所以e =c a =213，故选：C ．2(2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)左右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且PF 2=3F 2Q，若△PQF 1为以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为()A.3 B.2C.2D.3【答案】C【解析】由题意QF 1 -QF 2 =PQ -QF 2 =PF 2 =2a ，又PF 2=3F 2Q ，所以QF 2 =23a ，从而QF 1 =83a ，PF 1 =4a ，PQ =83a ，△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=(4a )2+(2a )2-(2c )22×4a ×2a =5a 2-c 24a2，△PF 1Q 中．cos ∠F 1PF 2=12PF 1PQ =2a 83a =34，所以5a 2-c 24a 2=34，2a 2=c 2，所以e =c a =2，故选：C ．考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形当F 2A =F 2B 或者AB =4a 时，令∠AF 1F 2=α,则一定存在①F 1M =F 2B ，②e =1cos2α1(2024·河南·高三校联考阶段练习)设F 2为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点，直线l ：x -3y +c =0(其中c 为双曲线C 的半焦距)与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，若MN⋅F 2M +F 2N=0，则双曲线C 的离心率是()A.153B.53C.13D.52【答案】D【解析】设双曲线C 的左焦点为F 1，如图，取线段MN 的中点H ，连接HF 2，则F 2M +F 2N =2F 2H．因为MN ⋅F 2M +F 2N =0，所以MN ⋅F 2H =0，即MN ⊥F 2H ，则MF 2 =NF 2 ．设MF 2 =NF 2 =m ．因为MF 2 -MF 1 =NF 1 -NF 2 =2a ，所以NF 1 -NF 2 +MF 2 -MF 1 =NF 1 -MF 1 =MN =4a ，则MH =NH =2a ，从而HF 1 =m ，故HF 2 =4c 2-m 2=m 2-4a 2，解得m 2=2a 2+2c 2．因为直线l 的斜率为13，所以tan ∠HF 1F 2=HF 2 HF 1=2c 2-2a 22a 2+2c2=13，整理得c 2-a 2a 2+c 2=19，即5a 2=4c 2⇒e =52，故选：D ．1(2024·贵州·校联考模拟预测)设F 2为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线l ：x -2y +c =0(其中c 为双曲线C 的半焦距)与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，若MN ⋅F 2M +F 2N=0，则双曲线C 的离心率是()A.53B.43C.153D.233【答案】C【解析】设双曲线C 的左焦点为F 1，如图，取线段MN 的中点H ，连接HF 2，则F 2M +F 2N =2F 2H ．因为MN ⋅F 2M +F 2 N =0，所以MN ⋅F 2H =0，即MN ⊥F 2H ，则MF 2 =NF 2 ．设MF 2 =NF 2 =m ．因为MF 2 -MF 1 =NF 1 -NF 2 =2a ，所以|NF 1|-|NF 2|+|MF 2|-|MF 1|=NF 1∣-MF 1 = MN |=4a ，则|MH |=|NH |=2a ，从而|HF 1|=m ，故HF 2 =4c 2-m 2=m 2-4a 2，解得m 2=2a 2+2c 2．因为直线l 的斜率为12，所以tan ∠HF 1F 2=HF 2 HF 1 =2c 2-2a 22a 2+2c 2=12，整理得c 2-a 2a 2+c 2=14，即3c 2=5a 2，则c 2a 2=53，故e =c 2a 2=153．故选：C2(2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1作斜率为33的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于M ,N 两点，且F 2M +F 2N ⋅MN =0，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.5D.2【答案】A【解析】如图，设D 为MN 的中点，连接F 2D .易知F 2M +F 2N =2F 2D ，所以F 2M +F 2N ⋅MN =2F 2D ⋅MN =0，所以F 2D ⊥MN .因为D 为MN 的中点，所以F 2M =F 2N .设F 2M =F 2N =t ，因为MF 2 -MF 1 =2a ，所以MF 1 =t -2a .因为NF 1 -NF 2 =2a ，所以NF 1 =t +2a .所以MN =NF 1 -MF 1 =4a .因为D 是MN 的中点，F 1D =F 1M +MD ，所以MD =ND =2a ,F 1D =t .在Rt △F 1F 2D 中，F 2D =4c 2-t 2；在Rt △MF 2D 中，F 2D =t 2-4a 2.所以4c 2-t 2=t 2-4a 2，解得t 2=2a 2+2c 2.所以F 2D =2c 2-2a 2,F 1D =t =2a 2+2c 2.因为直线l 的斜率为33，所以tan ∠DF 1F 2=F 2D F 1D =2c 2-2a 22a 2+2c2=33，所以c 2-a 2a 2+c 2=13,c 2=2a 2，c =2a ，所以离心率为ca= 2.故选：A3(2024·全国·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，连接AF 2，BF 2，在△ABF 2中，sin ∠ABF 22=14，AB =BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.3 B.2C.3D.2【答案】D【解析】设BF 1 =m ，则由双曲线定义可得BF 2 =2a +m ，AF 1 =2a ，AF 2 =4a ，由sin ∠ABF 22=14可得m =6a ，再在△BF 1F 2中根据余弦定理即可列出式子求出离心率.设BF 1 =m ，则由双曲线定义可得BF 2=2a +m ，AF 1 =AB -BF 1 =BF 2 -m =2a ，则AF 2 =4a ，则sin∠ABF 22=2a 2a +m =14，解得m =6a ，从而BF 2 =8a .在△BF 1F 2中，F 1F 2 2=BF 1 2+BF 2 2-2BF 1 ⋅BF 2 cos ∠F 1BF 2，即4c 2=36a 2+64a 2-2×6a ×8a ×1-2sin 2∠ABF 22 ，解得e =ca =2.故选：D .考点八：焦点到渐近线距离为b双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线l1:y=bax，l2:y=-bax，过右焦点作FM⊥l1，FN⊥l2，由于渐近线方程为y=±bax，故MF2OM=NF2ON=ba，且斜边OF2=c，故MF2OF2=NF2OF2=bc，故OM=ON=a，MF2=NF2=b.1(2024·河南新乡·高三校联考阶段练习)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，直线l与双曲线C的左支交于E点，且H恰为线段EF2的中点，则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】连结EF1，因为点O,H分别为F1F2和EF2的中点，所以OH⎳EF1，且EF1⊥EF2设点F2c,0到一条渐近线y=bax的距离d=bca2+b2=b，所以EF2=2b，又EF2-EF1=2a，所以EF1=2b-2a，Rt△EF1F2中，满足2b-2a2+4b2=4c2，整理为：b=2a，双曲线的离心率e=ca=a2+b2a2=5.故选：D1(2024·吉林白山·高三校联考阶段练习)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2⎳OP则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.52D.6【答案】A【解析】不妨设渐近线的方程为y=-bax，因为MF2⎳OP，O为F1F2的中点，所以P为MF1的中点，将直线OM，MF1的方程联立y=-baxy=ab(x+c)，可得M-a2c,abc，又F 1-c ,0 ，所以P -c +-a 2c 2,ab 2c 即P -a 2+c 22c ,ab 2c，又P 点在双曲线上，所以a 2+c 224a 2c 2-a 24c2=1，解得ca =2，所以该双曲线的离心率为2，故选：A .2(2024·山西运城·高三统考期末)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以OF 1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，若线段MF 1交双曲线于点P ，且PF 2 =5PF 1 ，则双曲线的离心率为()A.264B.344C.2D.3【答案】C【解析】根据题意，不妨取点M 在第二象限，题中条件，得到k MF 1=ab，记∠MF 1F 2=∠PF 1F 2=θ，求出cos θ=b c ，根据双曲线定义，得到PF 2 =5a 2，PF 1 =a 2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，即可得出结果.因为以OF 1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，不妨取点M 在第二象限，所以MF 1⊥OM ，则k MF 1⋅k OM =-1，因为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±b a x ，则k OM =-b a ，所以k MF 1=a b ；记∠MF 1F 2=∠PF 1F 2=θ，则tan θ=a b ，由tan θ=a b sin 2θ+cos 2θ=1解得cos θ=b c ，因为PF 2 =5PF 1 ，由双曲线的定义可得PF 2 -PF 1 =2a ，所以PF 2 =5a 2，PF 1 =a2，由余弦定理可得：cos θ=bc =PF 1 2+F 1F 2 2-PF 2 22PF 1 ×F 1F 2=a 24+4c 2-25a242×a 2×2c，则2c 2-3a 2=ab ，所以2a 2+b 2 -3a 2=ab ，整理得2b 2-ab -a 2=0，解得b =a ，所以双曲线的离心率为e =c 2a 2=b 2+a 2a 2= 2.故选：C .3(2024·辽宁·统考模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F ，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A .若△OFA (O 为坐标原点)的面积等于14c 2(c 为双曲线C 的半焦距)，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3 C.2 D.5【答案】A【解析】设双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F (c ,0)，双曲线C 的一条渐近线方程设为bx +ay =0，可得AF =bc a 2+b 2=b ，OA =c 2-b 2=a ，△OAF 的面积为14c 2，即有12ab =14c 2，化为4a 2(c 2-a 2)=c 4，e 4-4e 2+4=0，解得e = 2.故选：A .4(2024·广西南宁·统考)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，过点F 1的直线与两条渐近线的交点分别为M 、N 两点(点F 1位于点M 与点N 之间)，且MF 1 =2F 1N，又过点F 1作F 1P ⊥OM 于P (点O 为坐标原点)，且|ON |=|OP |，则双曲线E 的离心率e =()A.5B.3C.233D.62【答案】C【解析】不妨设M 在第二象限，N 在第三象限，如下图所示：因为ON =OP ，∠F 1OP =∠F 1ON ，所以△F 1OP ≅△F 1ON ，所以∠F 1PO =∠F 1NO =90°，F 1P =F 1N ，又l OM :y =-bax ,F 1-c ,0 ，所以F 1P =F 1N =-bca1+b 2a 2=b ，所以ON =OP =c 2-b 2=a ，所以MF 1 =2F 1N =2b ，因为tan ∠F 1OP =b a ,tan ∠MON =tan2∠F 1OP =3b a ，所以2ba 1-b 2a 2=3b a ，所以b 2a 2=c 2-a 2a2=e 2-1=13，所以e =233.故选：C .考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形利用几何法转化1(2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习)F 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左焦点，过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若3FA =FB，则此双曲线的离心率为()A.2 B.53C.233D.3【答案】D【解析】由题意得：F -c ,0 ，双曲线渐近线方程为：y =±b ax若A 为直线FA 与y =-b a x 交点，B 为直线FA 与y =bax 交点则k FA =a b ∴直线FA 方程为：y =a bx +c ，与y =-b a x 联立可得：x A =-a 2c 直线FA 方程与y =b a x 联立可得：x B =a 2cb 2-a2由3FA =FB 得：3-a 2c +c =a 2c b 2-a 2+c ，即-3a 2+2c 2=a 2c 2c 2-2a 2∴-3+2e 2=e 2e 2-2，即e 4-4e 2+3=0，解得：e 2=3或1(舍)∴e =3由双曲线对称性可知，当A 为直线FA 与y =b a x 交点，B 为直线FA 与y =-bax 交点时，结论一致故选：D 1(2024·广西玉林·校考模拟预测)过双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点F 引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C 的离心率的取值范围是()A.(2，+∞) B.(3，+∞)C.(2，+∞)D.(3，+∞)【答案】A【解析】由题意双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1的渐近线y =±b a x ，右焦点F (c ,0)，不妨设过右焦点F (c ,0)与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为y =-ab(x -c )与y =-b a x 联立得-b a x =-a b (x -c )，所以x =a 2c a 2-b 2，y =-abc a 2-b 2，所以交点坐标为a 2c a 2-b 2,-abca 2-b2，因为交点在第二象限，所以-abca 2-b 2>0a 2c a 2-b 2<0，因为a >0，b >0，c >0，所以a 2c >0，abc >0，所以a 2-b 2<0，即a<b ，因为c =a 2+b 2>a 2+a 2=2a ，所以e =ca>2aa=2，即e ∈2,+∞ 故选：A2(2024·江西新余·统考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，过右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为点A ，l 与C 的另一条渐近线交于点B ，若AF =25AB，则C 的离心率为()A.305B.2C.233D.52【答案】A【解析】如下图所示：双曲线的渐近线方程为y =±b ax ，即bx ±ay =0，所以，AF =bc b 2+a 2=b ，则OA =OF 2-AF 2=c 2-b 2=a ，因为AF =25AB ，则AB =52b ，设∠AOF =α，则∠BOF =α，所以，∠AOB =2α，tan α=AF OA =b a ，tan2α=AB OA=5b2a ，由二倍角的正切公式可得tan2α=2tan α1-tan 2α，即2ba1-b a 2=5b 2a ，可得b 2a 2=15，因此，e =c a =1+b 2a2=1+15=305.故选：A .考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题以F 1F 2为直径作圆，交一条渐近线y =bax 于点B ，BF 1交另一条渐近线于点A ，则令∠BOF 2=α,则∠BF 1F 2=α2，e =1+tan 2α1(2024·全国·校联考)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线C 及其一条渐近线在第一象限分别交于A ,B 两点，且OF =2OA -OB(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率是()A.2. B.3 C.322D.233【答案】D【解析】设双曲线的半焦距为c ，由x =cx 2a 2-y 2b2=1得到A c ,b 2a ，由y =b a x x =c 得到B c ,bca ，而F (c ,0)，OF =2OA -OB ⇔OA =OF +OB2，即点A 是线段FB 的中点，所以bc a =2b 2a ,c =2b ，所以e =c a =2b c 2-b 2=233.故选：D1(2024·山西晋城·统考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与直线bx -ay =0在第一象限交于点A ，若tan ∠AF 2O =2，则双曲线C 的离心率为()A.53B.32C.3D.2【答案】A【解析】由题意可得|AO |=|OF 2|=c ，即有△AOF 2为等腰三角形，设∠OAF 2=∠AF 2O =α，则∠AOF 2=π-2α，所以tan ∠AOF 2=tan π-2α =-tan2α=2tan αtan 2α-1=2×222-1=43即为b a =43，所以e =c a =1+b 2a2=1+169=53，故选：A 2(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，若以F 1F 2为直径的圆和曲线C 在第一象限交于点P ，且△POF 2恰好为正三角形，则双。

专题20圆锥曲线离心率圆锥曲线离心率是高考数学命题中“永不消失的电波”,每年高考数学题中总是离不开圆锥曲线的离心率问题.为什么会如此呢?其一,离心率是圆锥曲线的重要几何特征;其二,圆锥曲线的离心率与其他基本量联系密切,容易产生知识交汇;其三,离心率与非解析几何知识相融合可以检测学生的综合分析能力.圆锥曲线离心率就是椭圆、双曲线的离心率,但由于椭圆、双曲线可以与平面几何中的三角形、四边形、圆等结合,许多几何性质叠加在一起,使应试者一时找不到突破口,形成思维卡壳点,必须寻找排除痛点的有效途径.一、充分挖掘几何图形中几何性质问题1:如图1,已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=√10,P是y轴正半轴上一点,PF1交椭圆于点A,若AF2⊥PF1,且△APF2的内切圆半径为√22,则椭圆的离心率为( )A.√54B.√53C.√104D.√154【解析】卡壳点:对图形中几何性质的挖掘成为障碍.应对策略:把直角三角形的内切圆性质与椭圆几何量之间建立联系.问题解答:设AF1=r1,AF2=r2.先挖掘信息“△APF2的内切圆半径为√22..因为PF2=PA+r1,又PF2=PA+r2−√2,所以r2−r1=√2①.再挖掘信息“AF2⊥PF1”得r22+r12=10②.由①②可得r2r1=4.故(r2+r1)2=(r2−r1)2+4r2r1=18,r2+r1=3√2=2a,2c=√10,所以e=√53.故选B.【反思】(1)通过挖掘问题中的平面几何图形来构造或列举a,b,c 的关系式,这是离心率问题中最常见的类型之一.掌握平面几何图形的特征与相关性质是高考的基本要求.(2)本题关键是挖掘出平面几何知识“直角三角形的内切圆的半径长等于两直角边之和减去斜边长的一半”,再加上“直角三角形中的勾股定理”,从而突破障碍.二、等价转化探求离心率不等式问题2:如图2,已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0),A 1,A 2是双曲线的顶点,F 是右焦点,点B(0,b),若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i =1,2),使得△P i A 1A 2构成以线段A 1A 2为斜边的直角三角形,则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A.(√2,√5+12) B.(√5+12,+∞) C.(1,√5+12) D.(√2,+∞)【解析】卡壳点:不理解题设条件中隐藏的几何性质. 应对策略:多角度理解题意,将目标层层转化.问题解答:条件“若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i =1,2),使得△P i A 1A 2构成以线段A 1A 2为斜边的直角三角形”可转化为“以A 1A 2为直径的圆与线段BF 有两个交点”,即转化为“{x 2+y 2=a 2,x c +y b =1有两解”,进而转化为“圆心(0,0)到线段x c +yb =1(0⩽x ⩽c)的距离小于半径a ",最后转化为“1a2<1b2+1c2且b >a (否则只会有一个交点)”,即“e 4−3e 2+1<0且e >√2”,即e >√2且e 2<3+√52.故选择A .【反思】(1)本题题设的几何条件代数化的转化过程是漫长的,先“由形到数”,再“由数到形”,多次转化才破解问题.(2)必须了解直线与圆有两个交点的代数意义,且了解方程组有两解所呈现的几何意义. (3)离心率问题就是要找到圆锥曲线基本量a,b,c 之间的代数关系式(等式或不等式).三、定义况性质建立离心率方程离心率是椭圆与双曲线的重要的几何性质之一,它离不开椭圆与双曲线的定义(基本定义与第二定义等),只有把问题中涉及定义的内容做精做细,才能找到基本量a,b,c 之间的数量关系.问题3:如图3,已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1的左、右焦点分别是F1,F2,过点F2且倾斜角为60∘的直线与双曲线的右支交于点A,B,若△ABF1为等腰三角形,则双曲线C的离心率是（）A.−1+√132B.1+√132C.−1+√132或1+√132D.1+√32【解析】卡壳点:对题设中的等腰三角形不会分类思考.应对策略:对等腰三角形的两腰分类分析.问题解答:解法1 r2−r1=2a,r3−r4=2a,由对称性知F1A≠F1B.若F1B=AB,即r3=r1+r4,则r1=2a,r2=4a.由余弦定理知r22=r12+(2c)2−2×r1×2ccos120∘,即3a2−c2−ac=0,所以e=−1±√132. 若F1A=AB,即r2=r1+r4,则r3=4a,r4=2a.由余弦定理知r32=r42+(2c)2−2×r4×2ccos 60∘,即3a2−c2+ac=0,所以e=1±√132.又ba<√3,所以选择A.解法2目标优先思维,由对称性知F1A≠F1B,所以只有另两种情形,但必须满足ba<√3,所以选择A.【反思】对于特殊三角形,要抓其本质特征进行分类讨论,解法2能秒杀关键在于从“形”上分析.四、几何代数法共寻离心率问题4:如图4,已知点F为椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,点M为圆O:x2+y2=b2上一动点(y轴右侧),过点M作圆O的切线,交椭圆于A,B两点,若△ABF的周长为3b,则椭圆E的离心率为_________.【解析】卡壳点:小题大做,跳入思维火坑不能出来.应对策略:由繁杂运算至简单运算的过程中,守找不同的思维切入点.抓住焦半径思考是一个智慧点.问题解答:解法1(考虑切点、切线的特殊性,结果跳入火坑)当点M为(b,0)时,AB=2bca ,AF=BF=√(bca)2+(c−b)2,则2√(bca )2+(c−b)2+2bca=3b,即4[(bc)2+(c−b)2a2]=(2bc−3ab)2.整理得−12b2c+5b2a+8abc−4ac2=0,两边同除以a3,得−12(ba )2e+5(ba)2+8(ba)e−4e2=0,即12e3−12e−9e2+5+8e√1−e2=0.将e=√53代人验算知满足题意.【反思】此处虽然考虑一种特殊位置关系,但运算太复杂,且最后的方程无法求解. 解法2(小题大做,结果发现一条性质)设直线AB:y=kx+m,由其与圆O相切可得b=√1+k2,所以m2=b2+b2k2.不妨设点M在第一象限,则k<0,m>0,故m=b√1+k2.将y=kx+m代人椭圆方程得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2−b2)=0.整理得(a2k2+b2)x2+2a2kb√1+k2x+a2b2k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=−2a2bk√1+k2a2k2+b2,Δ=4a2b2c2k2.故|x1−x2|=−2abcka2k2+b2,|AB|=−2abck√1+k2a2k2+b2.由焦半径公式可得|AF|+|BF|=a−ex1+a−ex2=2a+2abck√1+k2.a2k2+b2.从而|AF|+|BF|+|AB|=2a,由题设知2a=3b,故e=√53解法3(几何代数一起挖掘,结果寻找到一个简捷途径)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,)−b2=ex1,则|AM|=√|OA|2−b2=√x12+y12−b2=√x12+b2(1−x12a2|AM|+|AF|=ex1+a−ex1=a.同理可得|BM|+|BF|=ex2+a−ex2=a.从而|AF|+|BF|+|AB|=2a..由题设知2a=3b,故e=√53解法4(参数化表达,三角运算化解)设F(c,0),A(acos θ1,bsin θ1),B(acos θ2,bsin θ2),则|AM|=√|OA|2−b2=√a2cos2θ1+b2sin2θ1−b2=ccosθ1,|AF| =√(acosθ1−c)2+b2sin2θ1=√a2cos2θ1−2accosθ1+c2+(a2−c2)sin2θ1=√a2−2accosθ1+c2cos2θ1=a−ccosθ1,|AM| +|AF|=a.同理可得|BM|+|BF|=a.从而|AF|+|BF|+|AB|=2a..由题设知2a=3b,故e=√53【反思】(1)面对小题时,特殊化思维虽然是一条解题途径,但并非是一条能够迅速达到目标的最佳路径,因此,遇到障碍时,要及时修正,开辟新的思路.(2)积累圆锥曲线的一些性质和一些相关的智慧点是数学高考应试的技巧之一.（3）清圆锥曲线的本质特征,善于从几何与代数两个角度思考,从圆锥曲线的定义去思考并链接,可以找到快速求解的途径,解法3是最好的说明.五、先建切线方程减少运算量问题5:简化的奥运会主体育场的“鸟巢”钢结构俯视图如图5所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,外层椭圆方程为x 2(ma)2+y 2(mb)2=1(a >b >0,m >1),顶点A(ma,0),B(0,mb),向内层椭圆x 2a2+y 2b 2=1引切线AC,BD ,若切线AC 与BD 的斜率之积为−916,则椭圆的离心率是_______.【解析】卡壳点:代数式运算力不足.应对策略:利用椭圆上点的切线方程,减少运算量. 问题解答:设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则CA:x 1x a 2+y 1y b 2=1 ①，BD:x 2x a 2+y 2y b 2=1 ②把A 点坐标代人①式,B 点坐标代人②式得x 1=am ,y 2=bm .将x 1,y 2的值分别代人椭圆方程可得y 1=b√1−1m 2,x 2=a√1−1m 2.由题意知k AC k BD =−916=b√1−12ma−am bm −mb a√1−1m2=−b 2a 2,即b 2a 2=916.故e 2=1−916=716,解得e =√74. 【反思】(1)此题的另一种解法,运算量就大得多.设内层椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1,外层椭圆方程为x 2(ma)2+y 2(mb)2=1(a >b >0,m >1),则A(ma,0),B(0,mb). 设切线AC 的方程为y =k 1(x −ma),切线BD 的方程为y −mb =k 2x .由{(bx)2+(ay)2=(ab)2,y =k 1(x −ma)消去y 得(b 2+a 2k 12)x 2−2ma 3k 12x +m 2a 4k 12−(ab)2=0.Δ=(−2ma 3k 12)2−4(b 2+a 2k 12)[m 2a 4k 12−(ab)2]=0,得k 12=b 2a 2⋅1m 2−1.同理由{(bx)2+(ay)2=(ab)2,y =k 2x +mb消去y 得(b 2+a 2k 22)x 2+2mba 2k 2x +m 2a 2b 2−(ab)2=0.Δ=(2mba 2k 2)2−4(b 2+a 2k 22)[m 2a 2b 2−(ab)2]=0,得k 22=b 2a 2(m 2−1).所以−916=−b 2a 2,即b 2a 2=916,故e 2=1−916=716,解得e =√74. (2)本题是用数学眼光观察世界理念的产物,从北京奥运会的著名建筑“鸟巢”的设计信息中提炼抽象出这样一个数学问题.六、把垂直关系用活求离心率用代数方法解决几何图形中的问题,这是解析几何的基本研究方法,所以离心率问题也离不开代数变形、方程求解、不等式求解,挖掘几何性质或利用定义只是为了减少运算而不是完全去掉运算,所以在繁杂的数量关系中,一定水平的运算能力是解决问题的基本功. 问题6:已知直线l:y =x +1与曲线C:x 2a2+y 2b 2=1(a >0,b >0)交于不同的两点A,B,O 为坐标原点.(I)若|OA|=|OB|,求证:曲线C 是一个圆; (II)若OA ⊥OB ,当a >b 且a ∈[√62,√102]时,求曲线C 的离心率e 的取值范围.【解析】卡壳点:题设中几何条件的转化成为一个障碍.应对策略:充分利用两点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),当OA ⊥OB 时,得到x 1x 2+y 1y 2=0. 问题解答:(I)证明:设直线l 与曲线C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).因为|OA|=|OB|,所以√x 12+y 12=√x 22+y 22,即x 12+y 12=x 22+y 22, 所以x 12−x 22=y 22−y 12.因为点A,B 在曲线C 上,所以x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1.两式相减得x 12−x 22=a 2b 2(y 22−y 12).所以a 2b 2=1,即a 2=b 2.故曲线C 是一个圆.(II)设直线l 与曲线C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 因为a >b >0,所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆. 因为OA ⊥OB ,所以y 1x 1⋅y2x 2=−1,即y 1y 2=−x 1x 2.将y =x +1代人b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0,整理得(b 2+a 2)x 2+2a 2x +a 2−a 2b 2=0. 所以x 1+x 2=−2a 2a 2+b 2,x 1x 2=a 2(1−b 2)a 2+b 2.因为点A,B 在直线l 上,所以y 1y 2=(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1. 又因为y 1y 2=−x 1x 2,所以2x 1x 2+x 1+x 2+1=0. 所以2⋅a 2(1−b 2)a 2+b 2−2a 2a 2+b 2+1=0,所以a 2+b 2−2a 2b 2=0,即a 2+a 2−c 2−2a 2(a 2−c 2)=0， 整理得2a 4−2a 2+c 2−2a 2c 2=0,所以c 2=2a 2(a 2−1)2a 2−1.故e 2=c 2a 2=2(a 2−1)2a 2−1=1−12a 2−1.因为a ∈[√62,√102],所以2a 2−1∈[2,4],所以1−12a 2−1∈[12,34],故e ∈[√22,√32]. 【反思】为了寻找离心率的范围,题中给出某一个几何量的变化范围,本身就是一个提示,建立离心率与此几何量的关系是目标,也是智慧点.强化练习1.若离心率为e 1的椭圆与离心率为e 2的双曲线有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列,则e 12−1e 22−1等于（ ）A.−e 1B.−e 2C.−1e 1D.−1e 2【解析】由题意知c1=c2,d1=12√a2+b2=a1b2c2,d2=21√a2+b2=a2b1c2,d3=12√a2+b2=b2.从而(a2b1c2)2=a1b2c2⋅b2,即a22(a12−c12)=a1c2(c22−a22),两边同除以a12得e12−1e22−1=−e1.故选A.【反思】三个点到一直线的距离间有等量关系,因此为寻找两曲线离心率间的关系指出了方向.2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,若l与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为（）A.√2 B.√3 C.2 D.√5【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为l:x=−1,|AB|=4|OF|=4.因为A(−1,ba ),所以ba=2,e2=1+(ba )2=5,选择D.【反思】对条件“|AB|=4|OF|”的挖掘是关键.3.如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（）A.√2B.√3C.32D.√62【解析】解法1思维进人一般方法时:由题意OB2=3,则有，解得所以8a 2−13−a 2=3,整理得a 4−6a 2+8=0,解得a 2=2或a 2=4(舍去),选择D .解法2思维进人定义时:由题意c =3,AF 2+AF 1=4,AF 2−AF 1=2a ,解得AF 2=2+a,AF 1=2−a .又AF 12+AF 22=F 1F 22,得a =2,e =√62.选择D . 【反思】把题设条件中图形的几何性质挖掘出来.4.(1)如图1,已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,虚轴的上端点为B ,线段AB 与渐近线交于点M ,若FM 平分∠BFA ,则该双曲线的离心率e 等于（ ）A.1+√3B.1+√2C.√3D.√2（2）如图2,A,F 分别是双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a,b >0)的左顶点、右焦点,过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直,与另一条渐近线和y 轴分别交于点P 和点Q .若AP ⊥AQ ,则C 的离心率是（ ）A.√2B.√3C.1+√134D.1+√1742222222213143x y a a x y x y ⎧-=⎪-⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩228313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】(1)AB:x a +y b =1,OM:y =b a x ,解得M (a 2,b2),故M 为AB 的中点,从而判断△ABF 为等腰三角形,BF =FA,√c 2+b 2=a +c , 所以e 2−2e −2=0,解得e =2+√122=1+√3,选择A .(2)F(c,0),c 2=b ×FQ,FQ =c 2b,OQ =√c 4b 2−c 2=ac b,PQ:x c+by ac=1,联立方程{bx +ay =0,ax +by =ac,解得P (a 2c a 2−b 2,−abc a 2−b 2),于是acb−00+a ⋅−abca 2−b 2−0a 2c a 2−b2+a=−1,整理得2a 2+ac −2c 2=0,解得e =1+√174,选择D .【反思】抽象字母的代数式运算是基本功,在圆雉曲线运算中涉及方程组求解、繁分式运算都是常事,首先内心要接受,其次努力去化简,运算智慧是关键.5.如图,已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上一点,Q为双曲线渐近线上一点，点P ，Q 均位于第一象限，且2QP → =PF 2→ ,QF 1→ ∙QF 2=0→ ,则双曲线C 的离心率为（ ）A.√3−1B.√3+1C.√13−2D.√13+2【解析】设F 2(c,0),Q (x,bax),由““QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0”得(bx a)2=(c −x)(x +c)=c 2−x 2,解得x =a ,所以Q(a,b),从而得P (c+2a 3,2b 3).又点P 在双曲线上,所以(c+2a 3a)2−(2b 3b )2=1,化简得(e +2)2=13,选择C .【反思】(1)一是挖掘几何条件,即将几何条件代数化;二是运算中不能出错,细心细心再细心,代入时要细心,计算时要细心,一步一步做,不要跳步,要在草稿纸上留下痕迹,以便核对. (2)解析几何问题以运算繁杂为主要特征,因为运算要涉及运算方向、运算规则、运算次序,稍有一点出错,就可能导致解题失败.6.已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为椭圆C 上一点,且∠F 1PF 2=π3,若点F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点在椭圆C 上,则椭圆C 的离心率为_________.【解析】本题容易设点运算进人复杂思路,难以自拔.事实上,△F 1PF 2为正三角形,由于点P 的任意性,考虑特殊化情形,即PQ 为通径时,如答图.第6题答图可得b2a2c=tan π6=√33,所以a2−c2ac=2√33,即1e −e=2√33,整理得e2+2√33e−1=0,解得e=√33.【反思】(1)对圆雉曲线小题题设的每一个信息都要把握,缺一不可,否则思维就要受阻,一定要从几何图形上去挖掘,从特殊化上去挖掘,从定义上去挖掘,一旦进入实际计算，就会有新会有繁杂的运算等着你.(2)将一般问题特殊化处理是解决小题的常用思维方式,小题不能大做.7.设F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A是该椭圆上位于第一象限的一点,过点A作圆x2+y2=b2的切线,切点为P,则|AF|−|AP|=________.【解析】设F(−c,0),A(acos θ,bsin θ),其中θ∈(0,π2)|AF|=√(acos θ+c)2+b2sin2 θ=√a2cos2 θ+2accos θ+c2+(a2−c2)sin2 θ=√a2+2accos θ+c2cos2 θ=a+ccos θ,|AP|=√|OA|2−b2=√a2cos2 θ+b2sin2 θ−b2=ccos θ,|AF|−|AP|=a.【反思】椭圆上点的三角表示是运算简化的基础.8.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0),过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若|AF2|= 2|F2B|,|AB|=|BF1|,则椭圆的离心率是__________.【解析】如答图所示,第8题答图设|AF 2|=2|F 2B |=2r 1,|AF 1|=r 2.由椭圆定义可列{r 1+3r 1=2a,r 2+2r 1=2a,所以|AF 1|=r 2=a ,|AF 2|=a,|BF 2|=a2.在△ABF 1与△BF 2F 1中运用余弦定理,cos B=(32a)2+(32a)2−a 22×32a ×32a=(32a)2+(12a)2−42×32a ×12a解得a 2=3,所以椭圆的离心率为√33.【反思】运用圆锥曲线的定义去建立几何量之间的关系是解题的关键点.9.如图,F 1和F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F 2AB 是等边三角形,求双曲线的离心率.【解析】解法1设AB交x轴于点M,并设双曲线的半焦距为c,因为△F2AB是等边三角形,所以|OM|=c2,|MA|=√32c将点A(−c2,√32c)代人双曲线方程:b2⋅c24−a2⋅34c2=a2b2,即c2(c2−a2)−3a2c2=4a2(c2−a2),他简珙c1−8a2c2+4a4=0,即e4−8e2+4=0，解得e2=4+2√3,e=√3+1.(因为e>1,所以e2=4−2√3及e=√3−1舍去)解法2连接AF1,则△AF1F2为直角三角形,且斜边F1F2之长为2c. 令|AF1|=r1,|AF2|=r2,由直角三角形的性质知:{r2−r1=2a,12r2⋅2c=r1r2,解得{r1=c,r2=2a+c.因为r12+r22=4c2,所以(2a+c)2+c2=4c2,即2a2+2ac−c2=0,整理得e2−2e−2=0. 因为e>1,所以取e=√3+1.【反思】两种解法都是运用圆雉曲线的定义与相关几何条件建立方程,即使是用解析法解题,也应不失时机地引入几何手段.。

2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a −=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a −，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．2⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．)+∞【答案】C 【解析】设双曲线左焦点为1F ，因为点P 在双曲线左支上，所以有12PF PF a −=， 即12PF PF a =+.由已知得，存在点P ，使得7PA PF +=，即172PA PF a +=−，显然720a −>，所以72a <.又11PA PF AF +≥=P 位于图中1P 位置时，等号成立，72a −，又221c a =+，72a −，整理可得，214240a a −+≥，解得2a ≤或12a ≥（舍去）， 所以02a <≤，则204a <≤，则2114a ≥，所以2222211514c a a a a +==+≥，所以c e a ===. 故选：C.2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【解析】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的下焦点，不妨设()0,F c −，所以过Fy x c =−，所以),0B . 因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y ca y x b⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：a .所以离心率c e a ====.故选：C3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】C【解析】依题意作图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分，∴四边形12MF NF 是矩形，其中12π2F MF ∠=，12NF MF =， 设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=，整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，x a =由22NF =，得23MN MF =，即(32a c =，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得37e =． 故选：C ．4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14−，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D ．34【答案】C【解析】设内层椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同可知，外层椭圆的方程为22221()()x y ma mb +=，如图，设切线AC 的方程为1()y k x ma =−， 则1222()()()()y k x ma bx ay ab =−⎧⎨+=⎩， 消去y 得22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +−+−=由Δ0=，得2212211b k a m =⋅−，设切线BD 的方程为2y k x mb =+， 联立2222()()()y k x mb bx ay ab =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222222222222()20b b a k x ma k x m a b a b +++−=，由Δ0=得22222(1)b k m a=⋅−，422124,b k k a∴⋅=又直线AC 与BD 的斜率之积为14−，2214b a ∴=2,,a b c ∴=e ∴故选：C5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +−=>e 与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】解法一：由题意可知(,0),(,0),(0,2),(0,),(,0)A a B a D m G m F c −−， 故直线AD 的方程为2020()m y m x a −−=−−，即22my x m a=+， 直线BG 的方程为00m y m x a −−=−，即my x m a=+−， 联立直线AD ，BG 的方程，解得3M ax =−.又MF x ⊥轴，所以,33ac a c −=−=，所以C 的离心13c e a ==， 故选：A.解法二：设O 为坐标原点，由题意知(,0),(,0),(0,),(,0),(0,2),//A a B a G m F c D m MF OD −−， 故OAD FAM ，所以||||||||MF AF OD OA =，即2MF a c m a−=，解得2()m a c MF a −=. 又OGB FMB ，所以||||||||MF BF OG OB =，即MF a cm a+= ， 解得()||m a c MF a +=，则()()2m a c m a c a a+−=，得3a c =，所以C 的离心率13c e a == 故选：A.6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12 BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ， ∵AN NM MB ==，∴()1,0M x −，10,2y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则112,2y B x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，得211222x x y y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +−+−+=， 即2121221212y y y y b x x x x a−+⋅=−−+， 其中121212y y x x −=−，且11112121113122232y yy y y x x x x x +−===−+，解得：111y x =， 故111121121111122222y y y y y y x x x x x x −+===−=−+−−， 故221122b a ⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭，解得2214b a =， 故22214a c a −=，∴e =故选：C7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q 两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 BCD【答案】D【解析】依题意，设()()()()1111221,,,,,,2,0P x y Q x y B x y A x −−，直线,(),PQ QB QA BP 的斜率一定存在,分别为123,,k k k ， 直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则PQ PB ⊥,则131k k =−, 则()()112111101233y y k k x x x −−===−−，∴3213k k =−，∵2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得22221212220x x y y a b −−+=， ∴2121221212y y y y b x x x x a +−⋅=−+−，即2232b k k a=−， ∴2213b a −=−，∴2213b a =，∴22222213c b e a a ==−=，∴椭圆的离心率e =， 故选:D ．8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令12:0,:0l bx ay l bx ay +=−=，因为直线1F A 垂直1l ，则111F A l k k ⋅=−，故1F A ak b=，又1(,0)F c −，1OF c = 则点1(,0)F c −到直线1:0l bx ay +=的距离为1AFb =，所以OA a ===，1F A a k b=，又1(,0)F c −，可知直线1F A 的方程为：()ay x c b =+，与2l 联立方程组可得：()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()b a x x c a b =+ ，解得22222a cx b a abc y b a ⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，故22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭, 由||||2||OA OB AB +=,则222||ac OB b a ==−, Rt OAB 中，由勾股定理可得:()()()()224222244222222222222224a c a b a a ca b AB OB OA a bababa −−=−=−==−−−,故2222||ba AB b a =−；又||||2||OA OB AB +=,则2222224ac ba a b a b a +=−−，即2222241c ab b a b a +=−−，因为1F A 的延长线交2l 于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即220abcb a>−，故220b a −>，所以2222b a b a −=− ，所以2222241c ab b a b a +=−−化简得2224b a c ab −+=.则224b ab =，故2b a =，则c e a ===故选：B.9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可知，()1,0F c −，()2,0F c ， 根据对称性，不妨设P 为渐近线b y x a =上一点，坐标为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，因为12OP F =2c ，则222212b m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m ，故)P，在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 即222224))))c c c =+++−+122−，即22224424c a c b =++则22c =4422498c c a c =−， 即22485a c c =，即2285a c =，即2285c a =，所以c e a ==故选：A.10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13【答案】A【解析】令1213,2,,2aAF m AF a m BF m ==−=−则 则212BF a m =+， 又22,Rt AF AB ABF ⊥中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+−∴=⎪⎝⎭， 1264,55a aAF AF ∴==， 12Rt AF F 中，22223616524252525a a a c =+=，所以，离心率e =故选：A. 二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b −=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F −，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0−B ．直线30x y −=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2b y x =D．双曲线的离心率取值范围为⎛ ⎝⎭【答案】ACD【解析】A 选项：将点()2,0−代入双曲线，得到2222014b−=，符合，所以双曲线过()2,0−点，故A 选项正确；D 选项：因为ABF △是锐角三角形，所以14AFF π∠<，则212tan tan 144b AFFc π∠=<=+，即282b c <+.因为双曲线22214x y b−=中2a =，所以22224b c a c =−=−，所以2482c c −<+，解得11c <c a <.因为1c e a =>，则1e <<，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭，D 选项正确；C 选项：双曲线的一条渐近线为2b y x =，则斜率为2b ，22241444b c c −==−，又2c c a =<则221144b c =−−=4，所以2942b <<，即2b <故C 选项正确，B 选项：联立2221(0)430x y b b x y ⎧−=>⎪⎨⎪−=⎩，得()222314x x b −=，即()2224360b x b −−=，则()2260316b b ∆−=+，由C 选项得，6b <，此时Δ0<，故B 选项错误. 故选：ACD.12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =−B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c −>−【答案】ACD【解析】由题知1222112,,a a a c a c =⎧⎨−=−⎩①②，由②两边同时加21c c +得1221a c a c +=+，故C 正确； 将①代入②得21222a c a c −=−， 两边同时除以2a 得：112212211222222c c ca a c a a −=−=−=−，即2121e e =−，故A 正确； 由②得11222222c a a c a c c =−+=+>，③③式两边同乘以2a 得1222122c a a c a c >=，故B 错误；由③式得122c c −<−，故两边同加1a 得21111222a c a c c a =−<−−，故D 正确. 故选：ACD13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D【答案】ABD 【解析】由题意知，(,0)A a −，(0,)B b ，(c,0)F ，则(,)AB a b =，(,)BF c b =−， ∵ AB BF ⊥，∴0AB BF ⋅=，即：20ac b −=， ① 又∵ 222b a c =−，②∴由①②得：220c ac a +−=，即：210e e +−=， 又∵ 01e <<，∴e =，故D 项正确；∴c =，∴222222)b a c a =−=−=，∴||||BF aeAF a c=====+，故A 项正确；∴2222222||||()a AB a b e AF a c +====+，故B 项正确；∴222()||||()1||a aAF BF a c a e AB a b ⋅+==≠+，故C 项错误； 故选：ABD.14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n −=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=−B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【答案】ACD【解析】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+−++−−+−===+−−，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确； 22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ−+−−−−−====−−+−++， 22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ−−=−==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ−−=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确. 故选：ACD15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于AB 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】对A ：过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则1122,,AD AE F D F F F E F F ===，∵122AF AF a −=，则()()112122AD DF AE EF F F F F a +−+=−=， 又∵12122F F F F F F c =+=，则11FF OF OF a c =+=+， ∴OF a =，即1I 在直线x a =上， 同理可得：2I 在直线x a =上， A 正确； 对B ：∵2212121221，A B I F I F F I F I F F ∠∠∠∠==，则1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==， ∴122π2I F I ∠=， 又∵1222I F F F F FI F=，则2122I F I F F F =，即2212()r r c a a =−=，∴2c a =，故离心率为2ce a==，B 正确； 对C ：∵2e =，则2,c a b =，∴()22,0F a，双曲线的渐近线方程为y =，则直线AB 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设AB 直线方程为2x my a =+，()()1122,,,,m A x y B x y ⎛∈ ⎝⎭，联立方程2222213x my ax y a a=+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去x 得：()222311290m y may a −++=，∴2121222129,3131ma a y y y y m m +=−=−−，则()2121226113a m y y AB y m +−==−=−， 设1ABF 内切圆半径为r ，其周长()()()1112122242L AF BF AB AF AF BF BF AF BF AB a AB =++=−+−+++=+()2221211641313a m a a m m +=+=−−，根据1ABF 的面积可得：1212112222Lr c y y a y y =⨯⨯−=−，则122431316213a y y m r a a L m −−==≥−，C 正确； 对D ：由题意不妨设12I F F ∠α=，ππ,32θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∵2παθ+=，则πππ,243θα−⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令tan t α⎡=∈⎣，∴12tan r FF at α==，22πtan 2a r FF t α⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，121r r a t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又∵1y t t=+在⎡⎣上单调递增，∴1212r r a t a t ⎡⎫⎛⎫+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，D 错误； 故选：ABC.16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E 的渐近线方程为y =【答案】BD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知222221PF ca b−=，所以22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 错误；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x yC a b−=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________ 【答案】2【解析】设直线PH 交x 轴于点Q ，如图，设12PF F △的外接圆半径为R ，由122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，有12211222sin 2sin PF PF OH OP R R PF F R PF F λ⎛⎫=+⋅+ ⎪∠∠⎝⎭，故12122PF PF PH R PF PF λ⎛⎫⎪=⋅+ ⎪⎝⎭，所以直线PH 过12PF F △的内心， 设12PF F △的内切圆圆心为I ，内切圆圆I 分别切1PF 、2PF 、12F F 于点M 、N 、T ，由切线长定理可得11F M FT =，22F N F T =，PM PN =， 所以，()()1212122PF PF PM F M PN F N FT F T a −=+−+=−=， 结合图形可得()()22T T T x c c x x a +−−==，所以，T x a =， 故12PF F △的内心的横坐标为a ，因为点H 在直线x a =上，所以点H 为12PF F △的内心.由122340HP HF HF ++=可得()()122340PH PF PH PF PH −+−+−=， 所以，12934PH PF PF =+，记12934777PH PF PF =+，设123477PG PF PF =+，则()()214377PG PF PF PG −=−，所以，2134F G GF =， 所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PH F F Q =，故点G 与点Q 重合，且有12934777PH PF PF PQ =+=，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF 、2PF 的距离相等， 故12112243PF Q PF QS PF FQ S PF F Q===△△，同理可得1212PH PF PF HQ FQ F Q ==，令23PF m =，则14PF m =，且1212121272PH PF PF PF PF HQFQ F QFQ F Q +====+， 故12122FQ F Q F F m +==. 则双曲线C 的离心率12122243F F c me a PF PF m m====−−.故答案为：2.18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.【解析】不妨设M 为第一象限的点．如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义知1212MF MF a +=，1222MF MF a −=， 所以112MF a a =+，212MF a a =−， 设122=F F c 在12MF F △中，12π4∠=F MF ， 由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos4=++−−+−c a a a a a a a a ，化简得((22212224a a c +=，124=()1201,1e e <<>，所以124=≥所以12e e12=2212==e e 等号成立， 所以12e e．19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为______．【解析】设内层椭圆方程为22221x y a b +=()0a b >>，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=()1m >.所以A 点坐标为(),0ma −，B 点坐标为()0,mb ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =+，切线BD 的方程为2y k x mb =+，联立直线AC 的方程与内层椭圆方程()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()2222322242211120k ab x ma k x m k a a b +++−=，因为直线AC 与椭圆相切，所以()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =−+−=，整理可得，2212211b k a m =⋅−.同理，联立直线BD 的方程与内层椭圆方程222221x y a b y k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可推出()222221b k m a =−，所以()224222122224111b b b k k m a m a a=⋅⨯−=−.因为12916k k =−，所以22916b a =，则222222c a b e a a −==227116b a =−=，所以e =.20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b−=>>，的左顶点为A ， 右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________ 【答案】2【解析】联立 22222221x cx y a b c a b =⎧⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎩， 可得2b y a =±， 则22b BC a =，因为点 B C 、关于x 轴对称， 且F 为线段BC 的中点， 则AB AC =.又因为 ABC 为等腰直角三角形， 所以，2BC AF =， 即()222b c a a=+， 即 ()222a c abc a +==−， 所以，a c a =−， 可得2c a =，因此， 该双曲线的离心率为 2ce a==． 故答案为：221．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.【答案】2【解析】设椭圆1Γ标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，椭圆离心率为1e ，设双曲线2Γ标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ⋅=．设1PF m =，2PF n =，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn ⎧⎪+=⎪−=⎨⎪⎪=+−⋅⎩①②③， 由①②得，12m a a =+，12n a a =−，代入③整理得，((22212422c a a =+，两边同时除以2c得，124=即(22242e =即(42222420e e −+=，解得222(2e =，即2e=2故答案为：222．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12O O =面分别与球1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】13【解析】设12O O EF D ⋂=，由22112112O D O F O D O E O D O D ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21O D O D =所以42,33DE DF ====， 所以4222,133c c =+==， 设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ， 圆锥的母线与球相切于,B C 两点，如图所示， 则,AB AE AC AF ==，两式相加得2AB AC AE AF a c a c a +=+=−++=，即2BC a =， 过2O 作21O G O B ⊥，垂直为G ， 则四边形2BGO C 为矩形，所以26a BC ===，3a =，所以椭圆的离心率为13c a=. 故答案为：13。