2005年考研数学三真题及答案解析

2005—数二真题、标准答案及解析2005年考研数学二真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则|x dy π==______ .（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为______ .（3）=--⎰1221)2(xx xdx ______ .（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为______ . （5）当0→x 时，2)(kx x =α与xx x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= ______ .（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnn x x f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 (A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是 (A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D)32ln 8+.[ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y xy x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()( (A)πab . (B)π2ab . (C)π)(b a +. (D)π2ba + .[ ]（11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222yux u ∂∂-=∂∂. （B ）2222yux u ∂∂=∂∂.(C)222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222xuy x u ∂∂=∂∂∂.[ ]字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim 0⎰⎰--→x x x dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21xe y +=和xe y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线xl 和yl . 记21,C C 与xl 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与yl 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x，并求其满足2,10='===x x y y 的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （20）（本题满分10分） 已知函数z=f(x,y) 的全微分ydyxdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分） 计算二重积分σd y xD⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βTa a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.2005年考研数学二真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy=dxπ- .【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： xx y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e+，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得xx x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x +⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为23+=x y . 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim 23=+=+∞→+∞→xx x x x f x x[]23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.23+=x y （3）=--⎰1221)2(x x xdx 4π . 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则=--⎰10221)2(xxxdx⎰-22cos )sin 2(cos sin πdttt tt=.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t ttd（4） 微分方程xx y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=.【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'，于是通解为⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx=2191ln 31xC x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（5）当0→x 时，2)(kx x =α与xx x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= 43 . 【分析】 题设相当于已知1)()(lim 0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，2cos arcsin 1lim)()(lim kx xx x x x x x -+=→→αβ=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim2x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 2==-+→k x x x x x ，得.43=k （6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα，于是有.221941321111=⨯=⋅=A B二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnn x x f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ]【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞→nnn x x f ；当1=x 时，111lim)(=+=∞→nn x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xxx f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 (B) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数.[ A ]【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=x C dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A). （9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C)32ln 8+-. (D)32ln 8+.[ A ]【分析】 先由x=3确定t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】 当x=3时，有322=+t t，得3,1-==t t （舍去，此时y 无意义），于是81221111=++===t t t t dxdy，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：)3(82ln --=-x y ，令y=0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y xy x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f aD)()()()((A)πab . (B)π2ab . (C)π)(b a +. (D) π2ba + .[ D ]【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性.【详解】 由轮换对称性，有 =++⎰⎰σd y f x f y f b x f aD)()()()(σd x f y f x f b y f a D⎰⎰++)()()()(=σd x f y f x f b y f a y f x f y f b x f a D⎰⎰+++++])()()()()()()()([21=.2241222ππσba b a d b a D+=⋅⋅+=+⎰⎰ 应选(D).（11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ,其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222yux u ∂∂-=∂∂. （B ）2222yux u ∂∂=∂∂.(C)222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222xuy x u ∂∂=∂∂∂.[ B ]【分析】 先分别求出22x u ∂∂、22y u ∂∂、yx u ∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ， )()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ，于是 )()()()(22y x y x y x y x xu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， )()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ，)()()()(22y x y x y x y x yu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，可见有2222yux u ∂∂=∂∂，应选(B).（12）设函数,11)(1-=-x x ex f 则(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点. (C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ D ]【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以x=0为第二类间断点；)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ.(D) 02=λ.[ B ]【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则22211211=++αλαλαk k k ，)(2221121=++αλαλk k k .由于21,αα线性无关，于是有⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B,**,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.[ C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得BA E =12，于是12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim 0⎰⎰--→x x x dtt x f x dtt f t x【分析】 此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形.【详解】 由于⎰⎰⎰=-=-=-0)())(()(xxxu t x duu f du u f dt t x f ,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xx xx x xx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 0)()()(lim)()()(lim=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim =⎰⎰+→xx x x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f x duu f x dtt f x xx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f （16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21xe y +=和xe y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线xl 和yl . 记21,C C 与xl 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与yl 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积)(),(21y S x S ，再根据)()(21y Sx S =建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系. 【详解】 如图，有 ⎰--=+-=x x t t x e dt e e x S 01)1(21)]1(21[)(，⎰-=ydtt t y S 12))((ln )(ϕ，由题设，得⎰-=--y xdtt t x e 1))((ln )1(21ϕ，而xe y =，于是⎰-=--y dt t t y y 1))((ln )1ln (21ϕ 两边对y 求导得)(ln )11(21y y yϕ-=-，故所求的函数关系为：.21ln )(yy y y x --==ϕ （17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值. 【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2,.0)3(,2)3(=''-='f f由分部积分，知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+3303022302)12)(()()()()()()(dxx x f x f x x x f d x x dx x f x x=dxx f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-33030)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f （18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x，并求其满足2,10='===x x y y的特解.【分析】 先将y y ''',转化为22,dt y d dt dy ，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可.【详解】 dtdy t dx dt dt dy y sin 1-=⋅='，)sin 1(]sin 1sin cos [222tdt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -⋅-=⋅'=''，代入原方程，得022=+y dtyd .解此微分方程，得 221211sin cos x C x C t C t C y -+=+=，将初始条件2,10='===x x y y 代入，有1,221==C C . 故满足条件的特解为.122x x y -+=（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f 【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在),1,0(∈ξ使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是.1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f（20）（本题满分10分） 已知函数z=f(x,y) 的全微分ydyxdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值..【详解】 由题设，知 x x f2=∂∂，y yf2-=∂∂， 于是 )(),(2y C x y x f +=，且yy C 2)(-='，从而 Cy y C +-=2)(，再由f(1,1)=2，得 C=2, 故.2),(22+-=y x y x f令0,0=∂∂=∂∂y f x f 得可能极值点为x=0,y=0. 且2)0,0(22=∂∂=xfA ，)0,0(2=∂∂∂=yx fB ，2)0,0(22-=∂∂=yf C ，42>=-=∆AC B ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点.再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令拉格朗日函数为)14(),(),,(22-++=y x y x f y x F λλ，解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+='=+-=+∂∂='=+=+∂∂=',014,02122,0)1(2222y x F y y y y f F x x x fF y xλλλλλ得可能极值点4,2,0===λy x ；4,2,0=-==λy x ；1,0,1-===λy x ；.1,0,1-==-=λy x 代入f(x,y)得,2)2,0(-=±f3)0,1(=±f ，可见z=f(x,y)在区域}14),{(22≤+=y x y x D 内的最大值为3，最小值为-2.（21）（本题满分9分） 计算二重积分σd y xD⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记}),(,1),{(221D y x y x y x D∈≤+=， }),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是 σd y xD⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x⎰⎰-++2)1(22D dxdyy x =⎰⎰--221)1(πθrdr r d ⎰⎰-++Ddxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdyy x=8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π （22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βTa a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.【分析】向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示，相当与方程组：3,2,1,332211=++=i x x x i βββα.均有解，问题转化为),,(321βββr =3,2,1),,,(321=i r i αβββ 是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可. 而向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，相当于至少有一个向量)3,2,1(=j jβ不能由321,,ααα表示，即至少有一方程组3,2,1,332211=++=j x x x j αααβ，无解.【详解】 对矩阵),,,,(321321αααβββ =A 作初等行变换，有),,,,(321321αααβββ =A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11411111221a a a a a a a→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-++--a a a a a a a a 110324001022011221→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----++--a a a a a a a 1)1(3040001022011221 ，当a=-2时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----330600030000211221 , 显然2α不能由321,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当a=4时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----390000030660411221 ，然32,αα均不能由321,,βββ线性表示，因此4≠a .而当2-≠a 且4≠a 时，秩3),,(321=βββr ，此时向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示.又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321 βββααα⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++----→a a a a a a a a a 3240110220110221112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--++----→24360200220110221112a a a a a a a a a ，由题设向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，必有1=-a 或022=--aa ，即a=1或2-=a .综上所述，满足题设条件的a 只能是：a=1.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r 1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax,不妨设0≠a ,则其通解为 2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.。

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)2(1)曲线V ——的斜渐近线方程为2x 1(2)微分方程xy 2y xlnx满足V(1)1的解为.92 2 2(3)设函数u(x,y,z) 1 .乂三，单位向量n 1{1,1,1},则6 12 18 V3u =n(1,2,3)' ------------------------ '⑷ 设是由锥面z . x2y2与半球面z ■ R2 x2 y2围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则xdydz ydzdx zdxdy .(5)设a, a2, a3均为3维列向量,记矩阵A ( a, a2, a3) ,B (a a2a3, a 2 a2 4 a3, a 3 a29 a3),如果A 1 ,那么|B _—(6)从数1,2,3,4 中任取一个数，记为X ,再从1,2, ,X中任取一个数，记为Y ,贝y P{Y 2} = _______________ .二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)⑺设函数f(x) lim n1 |X3n，则f(x)在(，)内(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,"M N"表示"M的充分必要条件是N",则必有(A) F(x)是偶函数 f (x)是奇函数(B) F(x)是奇函数f(x)是偶函数(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数(9)设函数u(x, y) (x y) (x y) ' (t)dt ,其中函数具有二x y阶导数，具有一阶导数，则必有(A) 2 u 2x 2u2y(B)2u2 x2u2 y2 2 2 2(C) u u (D) u u2 x y y x y x(10)设有三元方程xy zlny e"2 1 ,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z z(x, y)(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x( y, z)和z z(x, y)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y y(x, z)和z z(x, y)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x(y,z)和y y(x,z)(11)设1,2是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a , a ,则a , A(a a )线性无关的充分必要条件是(B) 2 0 (C) i 0 (D) 2 0(12)设A 为n(n 2)阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B.A *,B *分别为A,B 的伴随矩阵，则(A)交换A *的第1列与第2列得B * 与第2行得B *(C)交换A *的第1列与第2列得B *1行与第2行得B *(C) a 0.3,b 0.2(D) a 0.1,b 0.4 (14)设X 1,X 2,,X n (n 2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为 样本均值，S 2为样本方差，则(A) nX ~ N(0,1)(A) i 0(B)交换A *的第1行(D)交换A *的第(B) nS 2~ 2(n)(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 (A) a 0.2,b 0.3(B) a 0.4,b 0.1三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤)(15)(本题满分11分)设 D {(x, y) x 2 y 2 %2x 0, y 0}, [1 x 2 y 2]表示不超过 1 x 2 y 2的最大整数.计算二重积分xy[1 x 2 y 2]dxdy.D (C)呼…D (D) (n 1)X ； X i~F(1,n 1)求幂级数m(1)n，(1缶代的收敛区间与和函数f(x).(18)( 本题满分 12 分)已知函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)0, f(1) 1. 证明:(1) 存在(0,1), 使得f( ) 1 .(2) 存在两个不同的点, (0,1),使得 f ( )f ( ) 1.(19)(本题满分12分)设函数(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分?L(y)d x 2x ydy的值恒为同一常数.L 2x y(1)证明：对右半平面x 0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有(y)dx 2xydy0.2 2 4■C 2x y(2)求函数(y)的表达式.(20)( 本题满分 9 分)已知二次型 f (x1,x2,x3 ) (1 a)x12 (1 a)x22 2x32 2(1a)x1x2 的秩为2.(1)求a的值；(2)求正交变换x Qy, 把 f (x1,x2,x3 )化成标准形 .⑶求方程f(X i，X2，X3)=0的解•(21)( 本题满分 9 分)已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a,b,c),a,b,c 不全为零, 矩阵123B 2 4 6 ( k为常数),且AB O ,求线性方程组Ax 0的通解.3 6 k(22)(本题满分9分)设二维随机变量(X,Y)的.概率密度为f(x,y)0 x 1,0 y 2x其它求：(1) (X,Y)的边缘概率密度f x(x), f Y(y).(2) Z 2X Y的概率密度f z(z).(23)(本题满分9分)设X i，X2，,X n(n 2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，记丫X i X,i 1,2, ,n.求：(1) Y i 的方差DYj 1,2, , n.(2) Y i 与Y n 的协方差COV(Y,Y n).2005年考研数学一真题解析、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)y —的斜渐近线方程为 y 丄2x 12 4本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可于是所求斜渐近线方程为(1,2,3)u ucos yu cos z因此，本题直接用上述公式即可【分析】函数 u(x,y,z)沿单位向量{cos ,cos ,cos ｝的方向导数为:(1)曲线【分析】【详解】 因为a=lim 上凶xxlim 2x 2x 2 b lim f (x) xaxlim 2(2x 1)(2)微分方程xy 2y xln X 满足 y(1)的解为y 1-xln31 -x.. 9【分析】直接套用一阶线性微分方程yP(x)y Q(x)的通解公式:P (x)dxP(x)dxy e [ Q(x)edx C]，再由初始条件确定任意常数即可【详解】原方程等价为2 y -y xIn x ，于是通解为2dxy e * x[ In x -dxe x dx C]2x ln xdx C]由 y(1)」xln x 31得C=0,故所求解为91 x . 设函数u(x, y, z)2y 12 2z 18单位向量n 1｛1,1,1｝，则祁3【详解】 因为-u x u y u z ，于是所求方向导数为x 3y 6z 9u 1 1 1 1 1 1屈n (1,2,3)333 y[3 3(4)设是由锥面 z Jx2 2y与半球面z <R 2 x 2 y 2围成的空间区域， 是J23xdydz ydzdx zdxdy 2 (1 )R .【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球 面（或柱面）坐标进行计算即可 •3,1224如果A 1 ,【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式 ，且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分的整个边界的外侧，则【详解】xdydz ydzdx zdxdy 3dxdydz(5)设=3 * 2d442 (1 —)R 3.21, 2, 3均为 3维列向量, 记矩阵【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式, 再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可•【详由题设，有3,13293 )于是有(6) 从数 =(3)2.1,2,3,4中任取一个数，记为 X,再从1,2, ,X 中任取一个数，记为Y 则P{Y 2}=13 48【详解】P{Y 2} = P{X 1}P{Y 2X 1} + P{X 2}P{Y 2X 2}+ P{X 3}P{Y 2X 3} + P{X 4}P{Y 2X 4}1 小 1 1 1、 13=—(0 ——-)——.4二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数f(x) lim n；1 |x|3n，则f(x)在(,)内(A)处处可导•(B)恰有一个不可导点•(C)恰有两个不可导点•(D)至少有三个不可导点•[ C ]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形【详解】当|x 1时，f(x)lim nhn 'x3n1; 当1x1时，f(x)lim 叮1n1 1;当1x1时，f (x)lim x (n ;13nx1Mi x3.3x , x 1,即f (x) 1, 1 x 1, 可见f(x)仅在x= 1时不可导，故应选(C)3x , x 1x【详解】方法一：任一原函数可表示为F(x) ° f(t)dt C，且F (x) f (x).当F(x)为偶函数时，有F( x) F(x)，于是F ( x) ( 1) F (x)，即f ( x) f(x)，x也即f( x) f (x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，贝y °f(t)dt为偶函数，x从而F(x) o f(t)dt C为偶函数，可见(A)为正确选项.1 2方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=—X ,排除(D);故2 应选(A).x y(9)设函数u(x, y) (x y) (x y) (t)dt,其中函数具有二阶导数，x y(8) 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M则必有(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数.(B) F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数.N "表示“ M的充分必要条件是N”, 【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案具有一阶导数，则必有2 u 2u2 u 2u(A)2 2・ (B ) 2 2・xyxy2222u uu u(C)2・(D)2・[B ]x y yx yx22u2【分析】 先分别求出-、u u 再比较答案即可.xy 2x y【详解】 因为u(x y) (x y)(x y)(x y),xu (x y)(x y)(x y)(x y),y2于是u 2 x2u (x y) (xy) (x y) (x y),(x y) '(x y)(x y)(x y),x y2u (x y)(x y)(x y)(x y)，y22可见有;2，应选(B).x y(10)设有 三兀方程 xy zln y e xz1，根据隐函数存在定理, 存在点 (0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 可确定两个具有连续偏导数的隐函数个偏导数F z ，F x ，F y ，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0,则可确定相应的隐函数【详解】令 F(x,y,z)=xy zln y e^1,则(A) (B)(C) (D) z=z(x,y). x=x(y,z)和 z=z(x,y). y=y(x,z)和 z=z(x,y).【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=xyzln y xze,分别求出三F xxzy e z ,F yx — , F zyxzIn y e x ，别为A,B 的伴随矩阵，则[C ]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵 的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵 E 12 (交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使E 12A B ，于是 B (E 12A) A E 12A E 12E 12 1A E 12，即y=y(x,z).故应选(D).(11)设1, 2是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为2，则A( 12)线性无关的充分必要条件是(A)10.(B)20. (C) 0.(D)20.由于【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性, 可用定义或转化为求其秩即可 【详解】方法一：令k1 1k ?A(2) 0，k 1 1 k 2 1 1 k 2 2 2(k 1 k 21) 1 k 220.2线性无关，于是有k 1 k 2 1 k 2 0,2 0.0时，显然有k 10,k 2A( 12)线性无关; 反过来,，A( 12)线性无关，则必然有2 0(,否则,1与A( 2)= 1 1线性相关)，故应选(B).方法二:由于[1,A( 12)][2]0 :，可见A( 12)线性无关的充要条件是0.故应选(B).(12)设A 为n(n 2)阶可逆矩阵，交换* *A 的第1行与第2行得矩阵B, A ,B 分(A)交换A *的第1列与第2列得B * .(B)交换A *的第1行与第2行得B * .(C)交换A *的第1列与第2列得 B *. (D) 交换A *的第1行与第2行得 B *.X ^Y0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 (13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 已知随机事件｛X 0}与{X 1｝相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (C) a=0.3, b=0.2 【分析】首先所有概率求和为 式，由此可确定a,b 的取值. 【详解】由题设，知 (B) (D) a=0.4, b=0.1 a=0.1, b=0.4[ B ] 1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等 a+b=0.5又事件｛X 0｝与｛X Y 1｝相互独立，于是有 P{X 0,X Y 1} P{X 0}P{X Y 1}， 即 a=(0.4 a)(a b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1,故应选(B). (14)设 X 「X 2， ,X n (n 2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则 (A) nX ~ N(0,1) (B) nS 2 ~ 2(n). (C)〜(n 1) (D)(n 1)xi 厂nL~F(1,n 1).X i 2i 2【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和 2分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即【详解】由正态总体抽样分布的性质知， X 0nX ~ N(0,1)， 可排除 (A)；又X 0Sn 断定(B)是正确选项 乎〜t(n 1)，可排除(C);而3 12(n 1)S 22(n 1)，不能2(1),nX i 2i 22 2(n 1)，且 X 1n2 2 (1)与 X i 〜i 22(n 1)相互独三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、(15)(本题满分11分) 设 D {(x, y)x 2y 2 J2, x 0, y 0} , [1 x 2 y 2]表示不超过 1 x 2 y 2的最大整数.计算二重积分xy[1 x 2 y 2]dxdy.D【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可 【详解】令 D 1{(x,y) 0 x 2 y 2 1,x 0,y 0}， D 2 {(x, y) 1 x 2 y 2. 2,x 0,y 0}.2y ]dxdy = xydxdy 2 xydxdyD 1 D 2【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间 .而和函数可利用逐项求导得到 .【详解】 因为lim 91)(2n°1 n(2n 1)1，所以当x 21时，原级数n(n 1)(2 n 1) n(2n 1)1绝对收敛，当x 21时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1,收敛区间为(一1,1)则 S(x) 4 x2n 1,x ( 1,1),n 1 2n 1立, (n 1)X ；~ F(1,n1).故应选(D).X i 22 sin1 3—cos d r dr 2 2sin cos d 00 01 3=8 4(16)(本题满分12分)「『dr求幕级数(1)n 1(1 ——1一)x 2n 的收敛区间与和函数 f(x). n 1 n(2n 1)证明过程或演算步骤.)则 xy[1 x 2DS(x)n 12n (2 n 1)(1,1)，S (x) (1)n 1 2n 2x 1 x2,x(1,1).由于S(0) 0,S(0) 0,(17)(本题满分11分)如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 h 与丨2分别是曲线C 在点【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可 考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论【详解】(I )令 F(x) f (x) 1 x ，则 F(x)在[0，1]上连续，且 F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在(0,1),使得F( ) 0,即f( ) 1(II )在［0,］和［,1］上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点所以S(x) xS(t)dt从而S(x)xS(t)dtn 1 2n1) xf(x) 2S(x)x1 ,2 dt arctanx, 0 1 t 2xarctantdt x arcta1ln(1 x 2).2x2 ,x1 x(1,1),x 2 1 x 22xarctanx ln(1 x 2)—,x x(1,1). (0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 0(x 2x)f【分析】二阶导数值. (x)dx. 题设图形相当于已知 f(x)在x=0的函数值与导数值, 在x=3处的函数值及一阶、【详解】 由题设图形知，f(0)=0, f (0) 2； f(3)=2, f (3) 2, f (3) 0.由分部积分，知3232(x 2x)f (x)dx 0(x 2x)df (x) (x 2x) f (x)3f (x)(2x 1)dx3(2x 1)df (x) (2x 1)f (x)3f (x)dx=16 2[ f (3) f(0)] 20.(18)(本题满分12分)已知函数f(x)在［0，1］上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1.证明: (I )存在 (0,1),使得 f( ) 1；(II )存在两个不同的点(0,1)，使得 f ( )f ( ) 1.―，使得f（）* ,f（）空宀于是 f ( ) f() f( ) 1 f( ) 1 -11 1（19）（本题满分12分）设函数（y）具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分:（y）dx 27dy的值恒为同一常数.L 2x y（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有（y）dX2Xydy0 ；C 2x y（II）求函数（y）的表达式.【分析】证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求Q Px yQ2 42y(2x y ) 4xg?xy 4x2y 2y5x 2 4、2 (2x2y4)2（y）的表达式，显然应用积分与路径无关即可【详解】（I）如图，将C分解为：C 11:.(y)dx 2xydyC 2x2 y4(II)设P(y) Q ,24 ,Q2x y由（I）知, 曲线积分(y)dx 2xydy'i '3 2x2 y40(y)dx 2xydy 02 4 0・12 132x2 y2xy2x2(y)dx—,P,Q在单连通区域x 0内具有一阶连续偏导数, y 2孕史在该区域内与路径无关，故当x 0时，总有2x y12，另作一条曲线P (y)(2x 2 y 4) 4 (y)y 32 4、2 (2x y ) 2x 2(y)(y)y 44 (y)y24、2(2x y )3-.②比较①、 ②两式的右端，得 (y) 2y, (y)y 4 4 (y)y 3由③得 (y) y 2c ，将 所以c 2y 5. （y ）代入④得 2y 5 4cy 3 2y 5,0，从而（y ） y 2. （20）（本题满分9分） 已知二次型 f (x 1, x 2 ,x 3) (1 a)x j (1 a)xf 2x f 2(1a)X i X 2的秩为2.(I ) 求a 的值; (II ) 求正交变换x Qy ，把f （x 1,x 2,x 3）化成标准形; (III ) 求方程f (x 1, x 2, x 3) =0的解.【分析】（I ）根据二次型的秩为 2，可知对应矩阵的行列式为 是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换; 利用第二步的结果，通过标准形求解即可 . 二次型对应矩阵为 【详解】（I ） 0,从而可求a 的值; (II )(III)由二次型的秩为2, (II ) 这里A (2E A)x(0E A)x0,得 a=0.可求出其特征值为得特征向量为:得特征向量为:由于1,2已经正交，直接将 22,3.3单位化，得:2 2f(X 1,X 2,X 3)=2y 12y 2.c从而所求解为：x=Qy= 123k3C ，其中c 为任意常数k(21)(本题满分9分)且AB=O,求线性方程组 Ax=0的通解.【分析】AB=O,相当于告之B 的每一列均为 Ax=0的解，关键问题是 Ax=0的基础解系 所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为 Ax=0的解，且r(A) r(B) 3.(1)若 k 9,则 r(B)=2,于是 r(A) 1,显然 r(A)解系所含解向量的个数为 3-r(A)=2,矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系,⑵ 若 k=9,则 r(B)=1,从而 1 r(A) 2.1a0 ,k 1, k 2为任意常数. 1(22)(本题满分9分)1-.2即为所求的正交变换矩阵,x=Qy ,可化原二次型为标准形:2 2(山)由 f (x 1, x 2,x 3) = 2y.j 2y 20,得 y 10, y 2 0, y 3 k ( k 为任意常数)已知3阶矩阵A 的第一行是(a,b, c), a, b,c 不全为零，矩阵B 1 2 32 4 6 ( k 为常数)，3 6 k1,故r(A)=1.可见此时 Ax=0的基础故Ax=0的通解为：x k 1 2k 2 6 , k 1, k 2为任意常数1)若r(A)=2,则Ax=0的通解为：Xk 1 2 *1为任意常数2)r(A)=1,则 Ax=0 的同解方程组为: ax 1 bx 2 CX 3 0,不妨设a 0，则其通解为ak 11 0k 2设二维随机变量(X,丫的概率密度为f (x,y)1,0 x 1,0 y 2x, 0,其他.求：(I ) (X,丫的边缘概率密度f X (x), f Y (y)；(II ) Z 2X Y 的概率密度f z (z).【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般 用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度【详解】(I )关于X 的边缘概率密度2x,0 x 1, =0,其他.关于Y 的边缘概率密度1)当 z 0时，F z (z) P{2X Y z} 0 ； 2)当 0 z 2时，F z (z) P{2X Y z}, z 0,1 2-z ,0 z 2, 41, z 2.1丄乙。

2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线的斜渐近线方程为【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=，，于是所求斜渐近线方程为（2）微分方程满足的解为.【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为，于是通解为=，由得C=0，故所求解为（3）设函数，单位向量，则=.【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量}的方向导数为：因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为，，，于是所求方向导数为=（4）设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则.【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】=（5）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么2 .【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有=，于是有（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则=.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】=+++=二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数，则f(x)在内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当时，；当时，；当时，即可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. [ A ]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=, 排除(D); 故应选(A).（9）设函数, 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A). （B）.(C). (D). [ B ] 【分析】先分别求出、、，再比较答案即可.【详解】因为，，于是，，，可见有，应选(B).（10）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=, 分别求出三个偏导数，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】令F(x,y,z)=, 则，，，且，，. 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A). (B). (C). (D). [ B ]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令，则，.由于线性无关，于是有当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B).方法二：由于，可见，线性无关的充要条件是故应选(B).（12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则(A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得.(C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得.[ C ]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得，于是，即,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为X Y 0 10 0.4 a1 b 0.1已知随机事件与相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1,b=0.4 [ B ]【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】由题设，知 a+b=0.5又事件与相互独立，于是有，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则(A)(B)(C)(D)[ D ]【分析】利用正态总体抽样分布的性质和分布、t分布及F分布的定义进行讨论即可.【详解】由正态总体抽样分布的性质知，，可排除(A);又，可排除(C); 而，不能断定(B)是正确选项.因为，且相互独立，于是故应选(D).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令，.则==（16）（本题满分12分）求幂级数的收敛区间与和函数f(x).【分析】先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】因为，所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记则由于所以又从而（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分【分析】题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】由题设图形知，f(0)=0,; f(3)=2,由分部积分，知==（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（）存在使得；（）存在两个不同的点，使得【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在使得，即.（）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是（19）（本题满分12分）设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数.（）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；（）求函数的表达式.【分析】证明（）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（）中求的表达式，显然应用积分与路径无关即可.Y【详解】（）l2 Co X l3如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则.（）设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有.①②比较①、②两式的右端，得④③由③得，将代入④得所以，从而（20）（本题满分9分）已知二次型的秩为2.（）求a的值；（）求正交变换，把化成标准形；（）求方程=0的解.【分析】（）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a的值；（）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；（）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】（）二次型对应矩阵为，由二次型的秩为2，知，得a=0.（）这里，可求出其特征值为.解，得特征向量为：，解，得特征向量为：由于已经正交，直接将，单位化，得：令，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：=（）由=0，得（k为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=，其中c为任意常数.（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.【详解】由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且（1）若k, 则r(B)=2, 于是r(A), 显然r(A), 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1）若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：为任意常数.2）若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：,不妨设,则其通解为为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：（） (X,Y)的边缘概率密度；（）的概率密度【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】（）关于X的边缘概率密度===关于Y的边缘概率密度===（）令，1）当时，；2）当时，=;3) 当时，即分布函数为：故所求的概率密度为：（23）（本题满分9分）设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，记求：（）的方差；（）与的协方差【分析】先将表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求与的协方差，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】由题设，知相互独立，且，（）==（）=====。

- 1 - 2005年考研数学二真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则|x dy p ==______ . （2）曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为______ . （3）=--ò10221)2(xxxdx ______ . （4）微分方程x x y y x ln 2=+¢满足91)1(-=y 的解为______ . （5）当0®x 时，2)(kx x =a 与x x x x cos arcsin 1)(-+=b 是等价无穷小，则k= ______ . （6）设321,,a a a 均为3维列向量，记矩阵),,(321a a a =A ，)93,42,(321321321a a a a a a a a a ++++++=B ，如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn x x f 31lim )(+=¥®，则f(x)在),(+¥-¥内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M Û表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A)F(x)是偶函数Ûf(x)是奇函数. （B ）F(x)是奇函数Ûf(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数Ûf(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数Ûf(x)是单调函数. [ ] （9）设函数y=y(x)由参数方程îíì+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ] （10）设区域}0,0,4),{(22³³£+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++òòs d y f x f y f b x f a D)()()()((A) p ab . (B) p 2ab . (C) p )(b a +. (D) p 2b a +. [ ] （11）设函数ò+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(y j j , 其中函数j 具有二阶导数，y 具有一阶导数，则必有则必有(A) 2222y u x u ¶¶-=¶¶. （B ） 2222yu x u ¶¶=¶¶. (C) 222yu y x u ¶¶=¶¶¶. (D) 222x u y x u ¶¶=¶¶¶. [ ] （12）设函数,11)(1-=-x xex f 则(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点. (C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ] （13）设21,l l 是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,a a ，则1a ，)(21a a +A 线性无关的充分必要条件是无关的充分必要条件是(A) 01¹l . (B) 02¹l . (C) 01=l . (D) 02=l . [ ] （14）设A 为n （2³n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且)0(¹f ，求极限.)()()(lim 0òò--®x xx dtt x f xdtt f t x（16）（本题满分11分） 如图，1C 和2C 分别是)1(21xe y+=和xe y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x j =（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l与2l分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分ò¢¢¢+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos p <<=t t x 化简微分方程0)1(2=+¢-¢¢-y y x y x ，并求其满足2,10=¢===x x y y的特解. （19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：证明： （I ）存在),1,0(Îx 使得x x -=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,Îz h ，使得.1)()(=¢¢z h f f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22£+=y x y x D 上的最大值和最小值. （21）（本题满分9分） 计算二重积分sd y x Dòò-+122，其中}10,10),{(££££=y x y x D . （22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组,),1,1(1Ta =a ,)1,,1(2Ta =a Ta )1,1,(3=a 可由向量组,),1,1(1Ta =b ,)4,,2(2Ta -=b Ta a ),,2(3-=b 线性表示，但向量组321,,b b b 不能由向量组321,,a a a 线性表示. （23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵úúúûùêêêëé=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解2005年考研数学二真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则p=x dy= dx p - . 【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导. 【详解】 方法一：方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xx x x e y x x +×++×=¢+，从而从而 p=x dy=)(dx dx y p p -=¢方法二：方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得求导，得xx x x yy sin 1cos )sin 1ln(1+++=¢， 于是于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xx x x x y x+×++×+=¢，故，故p=x dy=.)(dx dx y p p -=¢（2） 曲线x x y 23)1(+=的斜渐近线方程为23+=x y . 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a=,1)1(lim)(lim 23=+=+¥®+¥®xx x xx f x x[]23)1(lim )(lim 2323=-+=-=+¥®+¥®xx x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.23+=x y（3）=--ò1221)2(xx xdx4p . 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则，则=--ò1221)2(xx xdx ò-22cos )sin 2(cos sin pdt t t t t =.4)arctan(cos cos 1cos 20202p pp=-=+-òt ttd（4） 微分方程x x y y x ln 2=+¢满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+¢的通解公式：的通解公式： ò+òò=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dxx P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为原方程等价为x y xy ln 2=+¢，于是通解为于是通解为 òò+×=+ò×ò=-]ln [1]ln [2222C xdx x x C dx e x e y dx xdx x=2191ln 31x C x x x +-，由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（5）当0®x 时，2)(kx x =a 与x x x x cos arcsin 1)(-+=b 是等价无穷小，则k= 43. 【分析】 题设相当于已知1)()(lim 0=®x x x a b ，由此确定k 即可. 【详解】 由题设，20cos arcsin 1lim )()(lim kx x x x x x x x -+=®®a b =)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim 2x x x kx x x x x ++-+®=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+®k x x x x x ，得.43=k （6）设321,,aa a 均为3维列向量，记矩阵维列向量，记矩阵),,(321a a a =A ，)93,42,(321321321a a a a a a a a a ++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 . 【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有由题设，有 )93,42,(321321321a a a a a a a a a ++++++=B=úúúûùêêêëé941321111),,(321a a a ，于是有于是有 .221941321111=´=×=A B二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnn x x f 31lim )(+=¥®，则f(x)在),(+¥-¥内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=¥®n nn x x f ；当1=x 时，111lim )(=+=¥®n n x f ； 当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nn n =+=¥® 即.1,11,1,,1,)(33>££--<ïîïíì-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C). （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M Û表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有，则必有(B) F(x)是偶函数Ûf(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数Ûf(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数Ûf(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数Ûf(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为ò+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F =¢当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F ¢=-×-¢，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则òxdt t f 0)(为偶函数，从而ò+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A). （9）设函数y=y(x)由参数方程îíì+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是标是(A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+--. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ A ] 【分析】 先由x=3确定t 的取值，的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标从而可得所需的横坐标. 【详解】 当x=3时，有322=+t t ，得3,1-==t t （舍去，此时y 无意义），于是，于是81221111=++===t t t t dxdy ，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：的法线方程为：)3(82ln --=-x y ，令y=0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).（10）设区域}0,0,4),{(22³³£+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++òòs dy f x f y f b x f a D)()()()((A) p ab . (B) p2ab . (C) p )(b a +. (D) p 2b a + . [ D ] 【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性. 【详解】 由轮换对称性，有由轮换对称性，有=++òòs d y f x f y f b x f a D)()()()(s d x f y f x f b y f a Dòò++)()()()(=sd x f y f x f b y f a y f x f y f b x f a Dòò+++++])()()()()()()()([21=.2241222p p s b a b a d ba D+=××+=+òò应选(D). （11）设函数ò+-+-++=yx yx dtt y x y x y x u )()()(),(y j j , 其中函数j 具有二阶导数，y具有一阶导数，则必有数，则必有(A) 2222y u x u ¶¶-=¶¶. （B ） 2222y u x u ¶¶=¶¶. (C) 222yu y x u ¶¶=¶¶¶. (D) 222xu yx u ¶¶=¶¶¶. [ B ] 【分析】 先分别求出22x u ¶¶、22yu ¶¶、y x u ¶¶¶2，再比较答案即可. 【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu --++-¢++¢=¶¶y y j j ，)()()()(y x y x y x y x yu -+++-¢-+¢=¶¶y y j j ，于是 )()()()(22y x y x y x y x xu -¢-+¢+-¢¢++¢¢=¶¶y y j j ，)()()()(2y x y x y x y x y x u-¢++¢+-¢¢-+¢¢=¶¶¶y y j j ，)()()()(22y x y x y x y x y u-¢-+¢+-¢¢++¢¢=¶¶y y j j ， 可见有2222yux u ¶¶=¶¶，应选(B).（12）设函数,11)(1-=-x xex f 则(B) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点. (C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (E) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ D ] 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ¥=®)(l i m 0x f x ，所以x=0为第二类间断点；为第二类间断点； 0)(l i m 1=+®x f x ，1)(lim 1-=-®x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). （13）设21,l l 是矩阵A 的两个不同的特征值，的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为21,a a ，则1a ，)(21a a +A 线性无关的充分必要条件是性无关的充分必要条件是(A) 01¹l . (B) 02¹l . (C) 01=l . (D) 02=l . [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令方法一：令 0)(21211=++a a a A k k ，则，则022211211=++a l a l a k k k ， 0)(2221121=++a l a l k k k . 由于21,a a 线性无关，于是有线性无关，于是有îíì==+0,022121l l k k k当02¹l 时，显然有0,021==k k ，此时1a ，)(21a a +A 线性无关；反过来，若1a ，)(21a a +A 线性无关，则必然有02¹l (,否则，1a 与)(21a a +A =11a l 线性相关)，故应选(B). 方法二：方法二： 由于由于 úûùêëé=+=+21212211121101],[],[)](,[l l a a a l a l a a a a A ，可见1a ，)(21a a +A 线性无关的充要条件是.001221¹=l l l 故应选(B). （14）设A 为n （2³n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则随矩阵，则(B) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [ C ] 【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可. 【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得使得 B A E =12，于是于是 12*11212*12***12*)(E A E E A EA A EB -=×===-，即，即*12*B E A -=,可见应选(C). 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(¹f ，求极限.)()()(lim 0òò--®xxx dtt x f xdtt f t x【分析】 此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形. 【详解】 由于òòò=-=-=-0)())(()(xxxu t x du u f du u f dt t x f ,于是于是òòòòò-=--®®xxx x x xx duu f xdtt tf dt t f xdtt x f xdtt f t x 0)()()(lim )()()(lim=òò+-+®xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim =òò+®xxx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(lim 0xf x duu f x dtt f xxx +òò®=.21)0()0()0(=+f f f（16）（本题满分11分） 如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和xe y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与yl 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x j =【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积)(),(21y S x S ，再根据)()(21y S x S =建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系. 【详解】 如图，有如图，有ò--=+-=xxt t xe dt e e x S 01)1(21)]1(21[)(，ò-=ydt t t y S 12))((ln )(j ，由题设，得由题设，得 ò-=--yxdt t t x e 1))((ln )1(21j ，而x e y =，于是ò-=--ydt t t y y 1))((ln )1ln (21j 两边对y 求导得求导得)(ln )11(21y y y j -=-，故所求的函数关系为：.21ln )(yy y y x --==j（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分ò¢¢¢+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，的函数值与导数值，在在x=3处的函数值及一阶、处的函数值及一阶、二阶导数值二阶导数值. 【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(=¢f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=¢¢-=¢f f 由分部积分，知由分部积分，知òòò+¢¢-¢¢+=¢¢+=¢¢¢+33302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dxx f x f x x f d xòò¢+¢+-=¢+-33030)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f （18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos p <<=t t x 化简微分方程0)1(2=+¢-¢¢-y y x y x ，并求其满足2,10=¢===x x y y的特解. 【分析】 先将y y ¢¢¢,转化为22,dty d dt dy ，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可. 【详解】 dt dyt dx dt dt dy y sin 1-=×=¢，)sin 1(]sin 1sin cos [222t dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -×-=×¢=¢¢， 代入原方程，得代入原方程，得 022=+y dt yd . 解此微分方程，得解此微分方程，得 221211s i n c o s x C x C t C t C y -+=+=， 将初始条件2,10=¢===x x yy代入，有1,221==C C . 故满足条件的特解为.122x x y -+=（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：证明： （I ）存在),1,0(Îx 使得x x -=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,Îz h ，使得.1)()(=¢¢z h f f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论. 【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值于是由介值定理知，存在),1,0(Îx 使得)(=x F ，即xx -=1)(f . （II ） 在],0[x 和]1,[x 上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(x z x h ÎÎ，使得0)0()()(--=¢x x h f f f ，x x z --=¢1)()1()(f f f于是于是 .1111)(1)()()(=-×-=--×=¢¢xxx x x x x x zh f f f f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22£+=y x y x D 上的最大值和最小值. 【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值. .【详解】 由题设，知由题设，知 x x f 2=¶¶，y yf 2-=¶¶，于是于是 )(),(2y C x y x f +=，且，且 y y C 2)(-=¢，从而，从而 C y y C +-=2)(，再由f(1,1)=2，得，得 C=2, 故 2),(22+-=y x y x f令0,0=¶¶=¶¶y f x f 得可能极值点为x=0,y=0. 且 2)0,0(22=¶¶=xf A ，0)0,0(2=¶¶¶=yx f B ，2)0,0(22-=¶¶=y f C ，042>=-=D AC B ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点. 再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令拉格朗日函数为上的情形：令拉格朗日函数为)14(),(),,(22-++=y x y x f y x F ll ，解 ïïïîïïïíì=-+=¢=+-=+¶¶=¢=+=+¶¶=¢,014,02122,0)1(2222y x F y y y y f F x x x fF y x l l l l l 得可能极值点4,2,0===l y x ；4,2,0=-==l y x ；1,0,1-===l y x ；.1,0,1-==-=l y x 代入f(x,y)得,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ，可见z=f(x,y)在区域}14),{(22£+=y x y x D 内的最大值为3，最小值为-2. （21）（本题满分9分） 计算二重积分sd y x Dòò-+122，其中}10,10),{(££££=y x y x D . 【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可. 【详解】 记}),(,1),{(221Dy x y x y x D Σ+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D Î>+=，于是于是s d y x Dòò-+122=òò-+-1)1(22D dxdy y x òò-++2)1(22D dxdy y x=òò--221)1(p qrdr r d òò-++Ddxdy y x )1(22òò-+-1)1(22D dxdyy x=8p +òòòò---+20102210210)1()1(pq rdr r d dy y x dx =.314-p（22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组,),1,1(1Ta =a ,)1,,1(2Ta =a Ta )1,1,(3=a 可由向量组,),1,1(1Ta =b ,)4,,2(2Ta -=b Ta a ),,2(3-=b 线性表示，但向量组321,,b b b 不能由向量组321,,a a a 线性表示. 【分析】向量组321,,a a a 可由向量组321,,b b b 线性表示，相当与方程组：线性表示，相当与方程组：3,2,1,332211=++=i x x x i b b b a . 均有解，问题转化为),,(321b b b r =3,2,1),,,(321=i r i a b b b 是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可. 而向量组321,,b b b 不能由向量组321,,a a a 线性表示，相当于至少有一个向量)3,2,1(=j j b 不能由321,,a a a 表示，即至少有一方程组表示，即至少有一方程组3,2,1,332211=++=j x x x j a a a b ，无解. 【详解】 对矩阵),,,,(321321a a a b b b =A 作初等行变换，有作初等行变换，有),,,,(321321a a a b b b =A =úúúûùêêêëé--11411111221a a a a a a a ® úúúûùêêêëé--+-++--a a a a a a a a 110324001022011221®úúúûùêêêëé----++--a a a a a a a 1)1(3040001022011221 ，当a=-2时，®A úúúûùêêêëé-----330600030000211221 , 显然2a 不能由321,,b b b 线性表示，因此2-¹a ；当a=4时，时，®A úúúûùêêêëé----390000030660411221 ，然32,a a 均不能由321,,b b b 线性表示，因此4¹a . 而当2-¹a 且4¹a 时，秩3),,(321=b b b r ，此时向量组321,,a a a 可由向量组321,,b b b 线性表示. 又úúúûùêêêëé--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321 b b b a a aúúúûùêêêëé+--++----®a a a a a a a a a3240110220110221112úúúûùêêêëé++--++----®24360200220110221112a a aa a a a a a ，由题设向量组321,,b b b 不能由向量组321,,a a a 线性表示，必有01=-a 或022=--a a ，即a=1或2-=a . 综上所述，满足题设条件的a 只能是：a=1. （23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵úúúûùêêêëé=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解. 【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩. 【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(£+B r A r（1）若k 9¹, 则r(B)=2, 于是r(A)1£, 显然r(A)1³, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ÷÷÷øöçççèæ+÷÷÷øöçççèæ=为任意常数. (2) 若k=9，则r(B)=1, 从而2)(1££A r1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ÷÷÷øöçççèæ=为任意常数. 2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0¹a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x ÷÷÷÷÷øöçççççèæ-+÷÷÷÷÷øöçççççèæ-=为任意常数. 3）。