2006-2010考研数学三真题及答案

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）（2）设函数在的某邻域内可导,且，，则 （3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分（4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 .（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_______.（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) . (B) .(C) . (D) . [ ]（8）设函数在处连续，且，则(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D)存在 [ ] （9）若级数收敛，则级数()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭()f x 2x =()()e f x f x '=()21f =()2____.f '''=()f u ()102f '=()224z f x y =-()1,2d _____.z=2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭E B 2BA B E =+=B X Y 与[]0,3{}{}max ,1P X Y ≤=X ()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞ X 2S 2____.ES =()y f x =()0,()0f x f x '''>>x ∆x 0x d y y ∆与()f x 0x 0x ∆>0d y y <<∆0d y y <∆<d 0y y ∆<<d 0y y <∆<()f x 0x =()22lim1h f h h→=()()000f f -'=且()()010f f -'=且()()000f f +'=且()()010f f +'=且1nn a∞=∑(A)收敛 . （B ）收敛.(C)收敛. (D)收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）. （Ｂ）.（Ｃ）. （Ｄ） [ ] （11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则.(D) 若，则. [ ] （12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A) 若线性相关，则线性相关. (B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关.(D) 若线性无关，则线性无关. [ ] （13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（Ａ）. （Ｂ）.（Ｃ）. （Ｄ）. ［ ］（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且1nn a∞=∑1(1)nn n a ∞=-∑11n n n a a ∞+=∑112n n n a a ∞+=+∑()()y P x y Q x '+=12(),(),y x y x C []12()()C y x y x -[]112()()()y x C y x y x +-[]12()()C y x y x +[]112()()()y x C y x y x ++(,)(,)f x y x y ϕ与(,)0y x y ϕ'≠00(,)x y (,)f x y (,)0x y ϕ=00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '=00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '≠00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '=00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '≠12,,,s ααα n A m n ⨯12,,,s ααα 12,,,s A A A ααα 12,,,s ααα 12,,,s A A A ααα 12,,,s ααα 12,,,s A A A ααα 12,,,s ααα 12,,,s A A A ααα A A B B 1-C 110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1C P AP -=1C PAP -=T C P AP =T C PAP =X 211(,)N μσY 222(,)N μσ{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A) (B)(C) (D) [ ] 三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设,求 (Ⅰ) ； (Ⅱ) . （16）（本题满分7分） 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当时，.（18）（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.(Ⅰ) 求的方程；(Ⅱ) 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值. （19）（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数. （20）（本题满分13分）设4维向量组，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(Ⅰ)求的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵,使得；12σσ<12σσ>12μμ<12μμ>()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+()()lim ,y g x f x y →+∞=()0lim x g x +→d Dx y D ,1,0y x y x ===0a b π<<<sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++xOy L ()1,0M ()(),0P x y x ≠OP ax >0a L L y ax =83a ()()1211121n n n x n n -+∞=--∑()s x ()()()T T T1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+a 1234,,,αααα1234,,,ααααA ()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-0Ax =A Q ΛT Q AQ =Λ（Ⅲ）求及，其中为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数. (Ⅰ)求的概率密度； (Ⅱ)； (Ⅲ).（23）（本题满分13分） 设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数. （Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求的最大似然估计2006年考研数学（三）真题解析A 632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭E X ()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他()2,,Y X F x y =(,)X Y Y ()Y f y Cov(,)X Y 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭X (),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,θ()01θ<<12n ,...,X X X X N 12,...,n x x x θθ一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）【分析】将其对数恒等化求解.【详解】，而数列有界，，所以. 故 .（2）设函数在的某邻域内可导,且，，则 【分析】利用复合函数求导即可.【详解】由题设知，，两边对求导得 ，两边再对求导得 ，又，故 .（3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为，，所以 . 方法二：对微分得，()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭ln e N N =()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭{}(1)n -1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭1lim(1)ln 0nn n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭()f x 2x =()()e f x f x '=()21f =()322e .f '''=()()e f x f x '=x ()()()2e ()e f x f x f x f x '''==x ()()23()2e ()2e f x f x f x f x ''''==()21f =()323(2)2e 2e f f '''==()f u ()102f '=()224z f x y =-()1,2d 4d 2d .zx y =-22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx∂'=-⋅=∂()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂()()()1,21,21,2d d d 4d 2d zzz x y x y x y ⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦()224z f x y =-()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--故 .（4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 2 . 【分析】 将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有于是有 ，而，所以.（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则. 【分析】 利用的独立性及分布计算.【详解】 由题设知，具有相同的概率密度.则.【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 . （6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭E B 2BA B E =+=B AX B XA B AXB C ===或或()2B A E E -=4B A E -=11211A E -==-2B =X Y 与[]0,3{}{}max ,1P X Y ≤=19X Y 与X Y 与1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他{}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰{}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴X ()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞ X 2S 2 2.ES =【分析】利用样本方差的性质即可. 【详解】因为，，所以 ，又因是的无偏估计量，所以 .二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) . (B) .(C) . (D) .[ Ａ ]【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时， ，故应选(Ａ).（8）设函数在处连续，且，则(A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D)存在 [ C ] 【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性. 【详解】由知，.又因为在处连续，则.令，则.2ES DX =()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e2e d 2e 2x x xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰()22202DX EX EX =-=-=2S DX 22ES DX ==()y f x =()0,()0f x f x '''>>x ∆x 0x d y y ∆与()f x 0x 0x ∆>0d y y <<∆0d y y <∆<d 0y y ∆<<d 0y y <∆<()0,()0f x f x '''>>()f x ()y f x =()y f x =0x ∆>00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>()f x 0x =()22lim1h f h h→=()()000f f -'=且()()010f f -'=且()()000f f +'=且()()010f f +'=且()22lim1h f h h→=(0)f (0),(0)f f -+''()22lim1h f h h→=()2lim 0h f h →=()f x 0x =()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===2t h =()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===所以存在，故本题选（C ）. （9）若级数收敛，则级数(A)收敛 . （B ）收敛.(C)收敛. (D)收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法： 取，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取.故（Ｄ）项正确. （10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）. （Ｂ）.（Ｃ）. （Ｄ） [ Ｂ ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是 ，故原方程的通解为，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：.其中是所给一阶线性微分方程的特解，是对应齐次微分方程的通解.（11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若，则.(0)f +'1nn a∞=∑1nn a∞=∑1(1)nn n a ∞=-∑11n n n a a ∞+=∑112n n n a a ∞+=+∑1nn a∞=∑11n n a∞+=∑112n n n a a ∞+=+∑1(1)n n a n=-(1)nn a =-()()y P x y Q x '+=12(),(),y x y x C []12()()C y x y x -[]112()()()y x C y x y x +-[]12()()C y x y x +[]112()()()y x C y x y x ++12()()y x y x -()0y P x y '+=[]12()()Y C y x y x =-[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-*y y Y =+*y Y (,)(,)f x y x y ϕ与(,)0y x y ϕ'≠00(,)x y (,)f x y (,)0x y ϕ=00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '=(B) 若，则. (C) 若，则.(D) 若，则. [ Ｄ ] 【分析】 利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则， 即 .消去，得, 整理得 .（因为）， 若，则.故选（Ｄ）.（12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(C) 若线性相关，则线性相关. (D) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关.(D) 若线性无关，则线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记，则.所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选(Ａ).00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '≠00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '=00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '≠(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+000(,,)x y λ0λ00,x y λ(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+00,x y λ0λ000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩0λ00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='(,)0y x y ϕ'≠00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '≠12,,,s ααα n A m n ⨯12,,,s ααα 12,,,s A A A ααα 12,,,s ααα 12,,,s A A A ααα 12,,,s ααα 12,,,s A A A ααα 12,,,s ααα 12,,,s A A A ααα 12(,,,)s B ααα= 12(,,,)s A A A AB ααα= 12,,,s ααα ()r B s <()()r AB r B s ≤<12,,,s A A A ααα（13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（Ａ）. （Ｂ）.（Ｃ）. （Ｄ）. ［ Ｂ ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得，而 ，则有.故应选（Ｂ）.（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(B) (B)(C) (D) [ A ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得，则 ，即. 其中是标准正态分布的分布函数. 又是单调不减函数，则，即.故选(A).三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）A AB B 1-C 110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1C P AP -=1C PAP -=T C P AP =T C PAP =110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1C PAP -=X 211(,)N μσY 222(,)N μσ{}{}1211P X P Y μμ-<>-<12σσ<12σσ>12μμ<12μμ>12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()x Φ()x Φ1211σσ>12σσ<设,求 (Ⅰ) ； (Ⅱ) . 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将作为常量求解，此问中含型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含未定式极限.【详解】(Ⅰ) . (Ⅱ) （通分）（16）（本题满分7分） 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以（17）（本题满分10分）()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+()()lim ,y g x f x y →+∞=()0lim x g x +→x ,0∞⋅∞∞∞-∞()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+⎪ ⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====d Dx y D ,1,0y x y x ===x x y 10d d Dx y y x =⎰⎰()311222002122d d 339yy xy y y y y=--==⎰⎰证明：当时，.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令， 则 ，且.又 ，（）， 故当时，单调减少，即，则单调增加，于是，即.（18）（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.(Ⅰ) 求的方程；(Ⅱ) 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【详解】(Ⅰ) 设曲线的方程为，则由题设可得 ，这是一阶线性微分方程，其中，代入通解公式得， 又，所以.故曲线的方程为 .(Ⅱ) 与直线（）所围成平面图形如右图所示. 所以，故.（19）（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数.【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结0a b π<<<sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a xb πππ=++---<≤≤<()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+()0f π'=()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<0,sin 0x x x π<<>时0a x b π<≤≤<()f x '()()0f x f π''>=()f x ()()0f b f a >=sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++xOy L ()1,0M ()(),0P x y x ≠OP ax >0a L L y ax =83a L ()y f x =yy ax x'-=1(),()P x Q x ax x =-=()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰(1)0f =C a =-L 2y ax ax =-(0)x ≠L y ax =>0a ()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰()220482d 33a x x x a =-==⎰2a =()()1211121n n n x n n -+∞=--∑()s x合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记，则. 所以当时，所给幂级数收敛；当时，所给幂级数发散；当时，所给幂级数为，均收敛， 故所给幂级数的收敛域为在内，，而 ， 所以 ，又， 于是 .同理， 又 ，所以 .故 ..由于所给幂级数在处都收敛，且在处都连续，所以在成立，即，. （20）（本题满分13分）设4维向量组，问为何值时线性相关?当线性相关时,121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n x x u x n n ++-+→∞→∞-++==--21,1x x <<即1x >1x =±1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----[]1,1-()1,1-()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑1112001()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t''''-===+⎰⎰1(0)0s '=1()arctan s x x '=1110()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t '-==⎰⎰()2201arctan d arctan ln 112xxt t tt x x x t =-=-++⎰1(0)0s =()211()arctan ln 12s x x x x =-+()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+()1,1x ∈-1x =±()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+1x =±()s x 1x =±()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+[]1,1x ∈-()()()T T T1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+a 1234,,,αααα1234,,,αααα求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以为列向量的矩阵为，则.于是当时，线性相关.当时，显然是一个极大线性无关组，且； 当时，， 由于此时有三阶非零行列式，所以为极大线性无关组，且. （21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(Ⅰ) 求的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵和对角矩阵,使得；（Ⅲ）求及，其中为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵；由可a 1234,,,ααααA 312341234(10)12341234aa A a a a a++==+++0,010A a a ===-即或1234,,,αααα0a =1α2131412,3,4αααααα===10a =-1α2α3α4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 9231834000127--=-≠-123,,ααα123441230αααααααα+++==---，即A ()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-0Ax =A Q ΛT Q AQ =ΛA 632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭E A A 0Ax =A A Q T Q AQ =Λ得到和.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵的各行元素之和均为3，所以，则由特征值和特征向量的定义知，是矩阵的特征值，是对应的特征向量.对应的全部特征向量为，其中为不为零的常数.又由题设知 ，即，而且线性无关，所以是矩阵的二重特征值，是其对应的特征向量，对应的全部特征向量为 ，其中为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为是实对称矩阵，所以与正交，所以只需将正交. 取 ，. 再将单位化，得， 令 ，则，由是实对称矩阵必可相似对角化，得. A 632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭A 1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3λ=A T (1,1,1)α=3λ=k αk 120,0A A αα==11220,0A A αααα=⋅=⋅12,αα0λ=A 12,αα0λ=1122k k αα+12,k k A α12,αα12,αα11βα=()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭12,,αββ1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭[]123,,Q ηηη=1T Q Q -=A T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦（Ⅲ）由(Ⅱ)知 ，所以 . ， 则.（22）（本题满分13分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数. (Ⅰ) 求的概率密度； (Ⅱ) ； (Ⅲ) .【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦T31110011101110A Q Q ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=Λ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X ()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他()2,,Y X F x y =(,)X Y Y ()Y f y Cov(,)X Y 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭【详解】（I）设的分布函数为，即，则1)当时，；2)当时，3)当时，.4)当，.所以.（II），而，，，所以.(Ⅲ).（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为Y()YF y2()()()YF y P Y y P X y=≤=≤0y<()0YF y=01y≤<(2()()YF y P X y P X=<=<<d4x x=+=⎰14y≤<(2()()1YF y P X y P X=<=-<<10111d d242x x-=+=⎰4y≥()1YF y=1()()40,Y Yyf y F y y<<⎪'==≤<⎪⎩其他22232 Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX==--=-02101d d244x xEX x x-=+=⎰⎰22022105d d246x xEX x x-=+=⎰⎰33023107d d248x xEX x x-=+=⎰⎰7152Cov(,)8463X Y=-⋅=1,42F⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d24x--==⎰X其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数.（Ⅰ）求的矩估计； （Ⅱ）求的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】（Ⅰ）因为， 令 ，可得的矩估计为 .（Ⅱ）记似然函数为，则. 两边取对数得， 令，解得为的最大似然估计.(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,θ()01θ<<12n ,...,X X X X N 12,...,n x x x θθ()1213(;)d d 1d 2EX xf x x x x x x θθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰32X θ-=θ32X θ=- ()L θ()()()()()111(1)N n NN n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=- 个个ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--d ln ()0d 1L N n Nθθθθ-=-=-N nθ= θ2007年考研数学（三）真题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1） 当0x +→ ）A .1- .l n ()B 1C .1cD -（2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： ( )A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()lim x f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（3） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（ ）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（ ）.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40（6） 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++ （C ）1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （ ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p - 22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为( ) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim(sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+. （12）设函数123y x =+，则()(0)_________n y =. （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y =则z zy x y∂∂-=∂∂________. （14）微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为__________.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分） 设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分） 设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=； （Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ= （20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间. 1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B.（23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z .（24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量 θ； （Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（7） 当0x +→B ）A .1- .l n ()B 1C .1cD -（8） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： (D)A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()lim x f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（9） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（10） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ）.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1a r c s i n(,)y d y f x y d xππ-⎰⎰.C 1a r c s i n 02(,)y d y f x y d x ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（11） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40 （12） 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（D ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 (A) （A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++ (C)1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （B ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C)2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p - 22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为 (A) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim(sin cos )___0_________2x x x x x x x →∞+++=+. （12）设函数123y x =+，则()1(1)2!(0)___________3n n n n n y +-=. （13）设(,f u v 是二元可微函数，(,),y xz f x y=则''122(,)2(,)z z y y x x y x y f f x y x x y y x y ∂∂-=-+∂∂. （14）微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为221ln x y x=+. （15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为＿34＿.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】：''''1'2'''''''21''11ln 2102ln 112ln121()(2ln )0(2ln )()11(2ln1)8()(1,1)x x x y y y y yy y y y y y y y y y y y y y x ===+-=⇒=+==+++=⇒=-+=-=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的（18）（本题满分11分）设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设1D 是D 在第一象限中的部分，即 {}1(,)0,0D D x y x y =≥≥利用被积函数(,)f x y 无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰设11112D D D =+，其中{}{}1112(,)1,0D x y xyx =+≤≥≥于是1111211122(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)DD D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于{}11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-，故11111222000111(1)3412xD x d x dx dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰为计算12D 上的二重积分，可引入极坐标(,)r θ满足cos ,sin x r y r θθ==.在极坐标系(,)r θ中1x y +=的方程是1,2cos sin r x y θθ=+=+的方程是， 2cos sin r θθ=+，因而12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬++⎩⎭，故1222cos sin 2100cos sin 1cos sin D r d dr d rππθθθθθθθθ++==+⎰⎰⎰⎰⎰令tan2t θ=作换元，则2arctan t θ=，于是:0:012t πθ→⇔→且2222212,cos ,sin 111dt t td t t tθθθ-===+++，代入即得121122200001122100122(1)cos sin 122(1)22 221)D dt dtd t u t t t du du du u u πθθθ===-=++--=-==--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰综合以上计算结果可知11(,)41)1)123Df x y d σ=⨯+=+⎰⎰（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=； （Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=【详解】：证明：(1)设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b ∈同时取得最大值，则()()f c g c =，此时的c 就是所求点()()f g ηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()max (),()max ()f c f x g d g x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定理，在(,)c d 内肯定存在()()f g ηηη=使得(2)由(1)和罗尔定理在区间(,),(,)a b ηη内分别存在一点''1212,,()()f f ξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得. （20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：102001111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nn nnn n n f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞===--+---+=----+-==-=-----<⇒-<<-===--++-<⇒-<<-=-+∑∑∑记其中其中则01()(1)10212nnn x x ∞=---<<∑故收敛域为：1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即距阵211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪- ⎪⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为1,2a a ==.当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)T ξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ==当2a =时，方程组(3)的系数距阵为11101110122001101440000111110000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)Tk - （22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. 【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)n n A n αλα==，于是5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=- 于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即53()()4()1B A A λλλ=-+，所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)T x x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)T T ββ=-=因而，矩阵B 属于2μ=-的特征向量是是1(1,1,1)T k -，其中1k 是不为零的任意常数. 矩阵B 属于1μ=的特征向量是是23(1,1,0)(1,0,1)T T k k +-，其中23,k k 是不为零的任意常数.（Ⅱ）由1122332,,,B B B ααβαββ=-==有 令矩阵123123(,,)(2,,)B αααβββ=-， 则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以 那么11123123211111033(2,,)(,,)210101303201110330B βββααα------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 （Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z . 【详解】：（Ⅰ）{}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的那部分区域；求此二重积分可得{}112002(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰1205()8x x dx =-⎰ 724=（Ⅱ）{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤当0z ≤时，()0Z F z =；当2z ≥时，()1Z F z =；当01z <<时，32001()(2)3zz xZ F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰当12z <<时，1132115()1(2)2433Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰于是222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他（24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量 θ； （Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由. 【详解】：（Ⅰ）记EX μ=，则1022(1)x xEX dx dx θθμθθ==+-⎰⎰1142θ=+， 解出122θμ=-，因此参数θ的矩估计量为 122X θ=-； （Ⅱ）只须验证2(4)E X 是否为2θ即可，而22221(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n==+=+，而1142EX θ=+，221(12)6EX θθ=++，。