全国高考数学第8章平面解析几何第7节抛物线课时分层训练文新人教A版

第七讲 抛物线知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __． 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F __⎝⎛⎭⎫p 2，0__F __⎝⎛⎭⎫－p2，0__ F __⎝⎛⎭⎫0，p2__ F __⎝⎛⎭⎫0，－p2__ 离心率 e ＝__1__准线方程 __x ＝－p2____x ＝p2____y ＝－p2____y ＝p 2__范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x 0，y 0))|PF |＝ __x 0＋p 2__|PF |＝ __－x 0＋p2__|PF |＝ __y 0＋p 2__|PF |＝ __－y 0＋p2__归纳拓展抛物线焦点弦的处理规律直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p． (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°． (7)A 、O 、D 三点共线；B 、O 、C 三点共线．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4．( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ．( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a ．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 69例4)(2021·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( B )A ．9B ．8C ．7D ．6[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．3．(2021·河南郑州名校调研)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B )A ．－1716B ．－1516C ．716D ．1516[解析] 由抛物线的方程y ＝－4x 2，可得标准方程为x 2＝－14y ，则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－116，准线方程为y ＝116，设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可得－y 0＋116＝1，解得y 0＝－1516．故选B ．题组三 走向高考4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p＝( D )A ．2B ．3C ．4D ．8[解析] ∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∴椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∴3p －p ＝p 24，∴p ＝8．故选D ．5．(2020·新课标Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( C )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9＋p2＝12⇒p ＝6；故选C ．考点突破·互动探究考点一 抛物线的定义及应用——多维探究 角度1 轨迹问题例1 (1)动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(D)A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线[解析]设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆到直线x＝2距离为r＋1，即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x＝2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D．角度2到焦点与到定点距离之和最小问题(2)①(2021·河北保定七校联考)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，C为圆(x ＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则|MF|＋|MC|的最小值为(B)A．2 B．3C．4 D．5②(2021·山西运城联考)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，O为原点，点P是抛物线C 的准线上的一动点，点A在抛物线C上，且|AF|＝4，则|P A|＋|PO|的最小值为(B) A．4 2 B．213C．313 D．4 6[解析]①设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，所以C的坐标为(－1,2)，过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，所以问题求|MF|＋|MC|的最小值，就转化为求|ME|＋|MC|的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值为|CE|＝2－(－1)＝3，故选B．②由抛物线的定义知|AF|＝y A＋p2＝y A＋2＝4，∴y A＝2，代入x2＝8y，得x A＝±4，不妨取A(4,2)，又O关于准线y＝－2的对称点为O′(0，－4)，∴|P A|＋|PO|＝|P A|＋|PO′|≥|AO′|＝(－4－2)2＋(0－4)2＝213，当且仅当A、P、O′共线时取等号，故选B．[引申]本例(2)①中，(ⅰ)|MC |－|MF |的最大值为__2__；最小值为__－2__；(ⅱ)若N 为⊙C 上任一点，则|MF |＋|MN |的最小值为__2__．角度3 到准线与到定点距离之和最小问题(3)已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PC |的最小值为( A )A ．41B ．7C ．6D ．9[解析] 由题意得圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4，圆心C 的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当d ＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即d ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝41．角度4 到两定直线的距离之和最小问题(4)(2021·北京人大附中测试)点P 在曲线y 2＝4x 上，过P 分别作直线x ＝－1及y ＝x ＋3的垂线，垂足分别为G ，H ，则|PG |＋|PH |的最小值为( B )A ．322B ．2 2C ．322＋1D ．2＋2[解析] 由题可知x ＝－1是抛物线的准线，焦点F (1,0)，由抛物线的性质可知|PG |＝|PF |，∴|PG |＋|PH |＝|PF |＋|PH |≤|FH |＝|1－0＋3|2＝22，当且仅当H 、P 、F 三点共线时取等号，∴|PG |＋|PH |的最小值为22．故选B ．名师点拨利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 〔变式训练1〕(1)(角度1)到定点A (0,2)的距离比到定直线l ：y ＝－1大1的动点P 的轨迹方程为__x 2＝8y __．(2)(角度1)(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，点A (4,3)，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则△P AF 周长取最小值时，线段PF 的长为( B )A ．1B ．134C ．5D ．214(3)(角度2)(2021·山西大学附中模拟)已知点Q (22，0)及抛物线y ＝x 24上一动点P (x ，y )，则y ＋|PQ |的最小值是__2__．(4)(角度3)(2021·上海虹口区二模)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( C )A ．3716B ．115C ．2D ．74[解析] (1)由题意知P 到A 的距离等于其到直线y ＝－2的距离，故P 的轨迹是以A 为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，所以其方程为x 2＝8y ．(2)求△P AF 周长的最小值，即求|P A |＋|PF |的最小值，设点P 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |，因此，|P A |＋|PF |的最小值，即|P A |＋|PD |的最小值．根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时|P A |＋|PD |最小，此时P ⎝⎛⎭⎫94，3，且|PF |＝94＋1＝134，故选B ．(3)抛物线y ＝x 24即x 2＝4y ，其焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y ＝－1．因为点Q 的坐标为(22，0)，所以|FQ |＝(22)2＋12＝3．过点P 作准线的垂线PH ，交x 轴于点D ，如图所示．结合抛物线的定义，有y ＋|PQ |＝|PD |＋|PQ |＝|PH |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝3－1＝2，即y ＋|PQ |的最小值是2．(4)直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ，过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2，故选C ．考点二 抛物线的标准方程——自主练透例2 (1)过点P (－3,2)的抛物线的标准方程为__y 2＝－43x 或x 2＝92y __．(2)焦点在直线x －2y －4＝0上的抛物线的标准方程为__y 2＝16x 或x 2＝－8y __，准线方程为__x ＝－4或y ＝2__．(3)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x[解析] (1)设所求抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)． ∵过点(－3,2)，∴4＝－2p ·(－3)或9＝2p ·2． ∴p ＝23或p ＝94．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ．(2)令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝4． ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y ．∴所求的抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ， 对应的准线方程分别是x ＝－4，y ＝2．(3)如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°． 在直角三角形ACE 中，∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1．∵BD ∥FG ，∴|BD ||FG |＝|BC ||FC |，即1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x ．名师点拨求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．一般焦点在x 轴上的抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)；焦点在y 轴上的抛物线的方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．〔变式训练2〕(1)(2021·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点(p,0)且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ，若|AF |＝1，则抛物线C 的方程为( A )A ．y 2＝43xB ．y 2＝2xC ．y 2＝3xD ．y 2＝4x(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点P (m ，－3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为( D )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y[解析] (1)由题意知x A ＝p ，又|AF |＝x A ＋p 2＝3p 2＝1，∴p ＝23，∴抛物线C 的方程为y 2＝43x ，故选A ．(2)由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上，故设其方程为x 2＝－2py (p ＞0)，所以3＋p2＝5，即p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ，故选D ．考点三,抛物线的几何性质——师生共研例3 (1)(2021·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( C )A ．4B ．9C ．10D ．18(2)(理)(2021·四川眉山模拟)点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点(点A 在第一象限)，过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线段，垂足分别为M 、N ，若|MF |＝4，|NF |＝3，则直线AB 的斜率为( D )A ．1B ．724C ．2D ．247(文)(2021·四川师大附中期中)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为抛物线上的两点，A ，B 的中点到抛物线准线的距离为5，△ABO 的重心为F ，则p ＝( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．故选C ．(2)(理)由抛物线定义知|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |， ∴∠AFM ＋∠BFM ＝360°－∠MAF －∠NBF2＝90°，∴∠MFN ＝90°， 又|MF |＝4，|NF |＝3， ∴|MN |＝5，∴p ＝|KF |＝|MF |·|NF ||MN |＝125， 又∠AFM ＝∠AMF ＝∠MFK ，∴k AB ＝tan(180°－2∠MFK )＝－2tan ∠MFK 1－tan 2∠MFK ＝－831－⎝⎛⎭⎫432＝247．故选D ．(文)x 1＋x 22＋p 2＝5，x 1＋x 2＋03＝p 2，∴10－p ＝3p2，所以p ＝4．故选D ．名师点拨在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．〔变式训练3〕(1)(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1,0)，过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，若|AF |＝4|BF |，则|AB |＝__254__． (2)(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( C )A ．627B ．1827C ．427D ．227[解析] (1)∵p2＝1，∴p ＝2，不妨设直线AB 方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0， ∴y 1y 2＝－4，又|AF |＝4|BF |，∴y 1＝－4y 2， ∴y 2＝－1，从而x 2＝14，∴|BF |＝1＋14＝54，∴|AB |＝5|BF |＝254． (2)设P (x 0，y 0)，由抛物线y 2＝4x ， 可知其焦点F 的坐标为(1,0)， 故|PM |＝x 0＋1＝9，解得x 0＝8，故P 点坐标为(8,42)， 所以k PF ＝0－421－8＝427．故选C ．考点四,直线与抛物线的综合问题——师生共研例4 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 212－y 24＝1的一个焦点重合，直线y ＝x －4与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |等于( B )A ．28B ．32C ．20D ．40(2)(2021·陕西师大附中期中)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是( B )A ．y ＝x －1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－x ＋2D ．y ＝－2x ＋3(3)(2021·湖南五市十校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，直线y ＝x －1与C 相交所得的长为8．①求p 的值；②过原点O 的直线l 与抛物线C 交于M 点，与直线x ＝－1交于H 点，过点H 作y 轴的垂线交抛物线C 于N 点，求证：直线MN 过定点．[解析] (1)双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)．因此p ＝8，故抛物线方程为y 2＝16x ，易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，y ＝x －4，可得x 2－24x ＋16＝0，故x 1＋x 2＝24． 故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝24＋8＝32．故选B ． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，知k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，∴AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选B ．(3)①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x －1，消x 可得y 2－2py －2p ＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－2p ， ∴弦长为1＋12·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2·4p 2＋8p ＝8，解得p ＝2或p ＝－4(舍去)， ∴p ＝2，②由①可得y 2＝ 4x ，设M ⎝⎛⎭⎫14y 20，y 0， ∴直线OM 的方程y ＝4y 0x ，当x ＝－1时，∴y H ＝－4y 0，代入抛物线方程y 2＝4x ，可得x N ＝4y 20，∴N ⎝⎛⎭⎫4y2，－4y 0， ∴直线MN 的斜率k ＝y 0＋4y 0y 204－4y 20＝4y 0y 20－4，直线MN 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4⎝⎛⎭⎫x －14y 20， 整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，故直线MN 过点(1,0)．名师点拨(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元，用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解． 〔变式训练4〕(1)(2021·甘肃诊断)直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且交抛物线于A ，B 两点，交其准线于C 点，已知|AF |＝4，CB →＝3BF →，则p ＝( C )A ．2B ．43C ．83D ．4(2)(2021·安徽皖南八校模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到直线x －y ＋1＝0的距离为2．①求抛物线C 的方程；②过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点P ．若|AB →|＝3|BP →|，求直线l 的方程． [解析] (1)过A ，B 分别作准线的垂线交准线于E ，D 两点， 设|BF |＝a ，根据抛物线的性质可知，|BD |＝a ， |AE |＝4，根据平行线段比例可知|BD ||AE |＝|CB ||AC |，即a 4＝3a 3a ＋a ＋4，解得a ＝2， 又|BD ||GF |＝|BC ||CF |，即a p ＝3a4a， 解得p ＝43a ＝83，故选C ．(2)①由抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， 因为焦点到x －y ＋1＝0的距离为2，即⎪⎪⎪⎪p 2＋12＝2，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程y 2＝4x ．②由①知焦点F (1,0)，设直线l ：y ＝k (x －1)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，①x 1x 2＝1，②又由|AB →|＝3|BP →|，得AB →＝3BP →， 可得x 1＝4x 2，③由②③，可得x 1＝2，x 2＝12，代入①，可得2＋4k 2＝52，解得k ＝±22，所以直线l 的方程为22x － y －22＝0或22x ＋y －22＝0．名师讲坛·素养提升巧解抛物线的切线问题例5 (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝(D )A ．316B ．38C ．233D ．433(2)(2019·新课标Ⅲ，节选)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．证明：直线AB 过定点．[解析] (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y ＝－p4(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝－p4(x －2)，y ＝12p x 2，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0．设点M 的横坐标为m ，易知在M 点处切线的斜率存在，则在点M 处切线的斜率为y ′⎪⎪⎪⎪x ＝m＝⎝⎛⎭⎫12p x 2′x ＝m ＝m p． 又双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，所以m p ＝33，即m ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0，得p ＝433或p ＝0(舍去)．(2)设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)， 则x 21＝2y 1，由于y ′＝x ，∴切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1，整理得：2tx 1－2y 1＋1＝0．设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0． 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0，即y －12＝tx ．∴直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12．名师点拨利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．〔变式训练5〕(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，过点M ⎝⎛⎭⎫－p2，0作C 的切线，则切线的斜率为__±1__． (2)已知抛物线x 2＝8y ，过点P (b,4)作该抛物线的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB恒过定点，则该定点为( C )A ．(4,0)B ．(3,2)C ．(0，－4)D ．(4,1)[解析] (1)设斜率为k ，则切线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p 2代入y 2＝2px 中得k 2x 2＋p (k 2－2)x ＋k 2p 24＝0． Δ＝0，即p 2(k 2－2)2－4·k 2·k 2p 24＝0．解得k 2＝1，∴k ＝±1．(2)设A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， ∵y ＝x 28，y ′＝x4，∴P A ，PB 的方程y －y 1＝x 14(x －x 1)，y －y 2＝x 24(x －x 2)，由y 1＝x 218，y 2＝x 228，可得y ＝x 14x －y 1，y ＝x 24x －y 2，∵切线P A ，PB 都过点P (b,4)， ∴4＝x 14×b －y 1,4＝x 24×b －y 2，故可知过A ，B 两点的直线方程为4＝b4x －y ，当x ＝0时，y ＝－4，∴直线AB 恒过定点(0，－4)．故选C ．。

第七节抛物线）若动点P 到定点F （1，- 1）的距离与到直线 ）B.椭圆C.双曲线 D .抛物线2. （2020 •陕西）已知抛物线y 1 2= 2px （p >0）的准线与圆（x — 3）2 + y 2= 16相切，则p 的值为 （ ）1 A. -B. 1 2C. 2D.4Cz --- z --- z3. 设F 为抛物线y 2= 4x 的焦点，A, B , C 为该抛物线上的三点，若 FA + FB+ FC = 0，则 7. （2020 •苏北四市联考 ）若抛物线的焦点坐标为8. （2020 •重庆）已知过抛物线y 2= 4x 的焦点F 的直线交该抛物线于 A B 两点，| AFJ=2,贝卩 | BF | = ________ .19. 已知抛物线型拱桥的顶点距离水面 2米时，测量水面宽为 8米，当水面上升㊁米后， 水面的宽度是 __________ 米.-10. 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2= 2px （ p >0）的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与 x 轴 正向的夹角为60°,则|OA 为 _____________ .11. 已知正方形的一条边 AB 在直线y = x + 4上，顶点C D 在抛线物线y 2= x 上，求该正方形 的边长.12. 设抛物线y 2= 4x 被直线y = 2x + k 截得的弦长为3 5. （1） 求k 的值；（2）以此弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当此三角形的面积为 9时，求P 点坐标.1 21直线y = — 2，垂足为C,已知直线AB 垂直PF 分别交x 、y 轴于A B.1. （2020 •皖南八校联考相等，则动点P 的轨迹是（I : x —1 = 0的距离 |F A | + |FB | + |Fq =（ A. 9 B. 64. （2020 •山东青岛模拟）直线y = x — 3与抛物线y 2= 4x 交于A, B 两点，过A, B 两点向 抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P, Q 则梯形APQ 啲面积为（ ）D. 72 )C. 4D. 3A. 48 5.抛物线y =— x 2上的点到直线4x + 3y — 8 = 0距离的最小值是（ 4代3B. 56C. 64 B.C.D. 36. (2020 -安徽蚌埠市第五中学模拟 ）已知F 是抛物线 1 2y = 4X 2的焦点，P 是该抛物线上的 PF 中点的轨迹方程是(A. x 2= 2y — 1 B.x 2= 2y — £ 动点，则线段C.x 2= y -1D.2x = 2y — 2（2,0），则抛物线的标准方程是13. （2020 •泉州模拟）如图，P为抛物线y = 2X上的一点，抛物线的焦点为F, PC垂直于(1) 求使△ PCF为等边三角形的P的坐标; 点(2) 是否存在点P,使P 平分线段参考答案I. A解阳设戸存i)i贝忖LL i +o +1 v=二一1・故；■=—L所以选a2 C無叽由题栈知.直\———曲：+丁：=1$相切*从而3—I——、J. B第叭谀点点3旳，恥卽J妙«v> 丁小由lERfll Zd 卫h 则有心_ 14订一1+1 ：—1=E 即A-L+ VJ+.V ：=、所以艺十寿十疋=化十^-b'；?j+3X?=3+3=di繭选B■4. A霹于「联豆有程组厂一“"常元v:-1-)v+P = <i詳得；_'\和j=~ 3, j=—；kF丁=心fiffOA ^? = 1'X 3Q=^?(? = ?，梯彩眇<3 的面租为二5- A 卿斤设拗悔线尸一屮上一直为:粘一也该点到略収+刃JAQ的距葛为一拥-気45 沖亍A ---------- -------- =------------ : -------- *r当心二抽・取得最»值赶C A薛宀摊韧线fM」]的囊点7r0,1：u没貝m Tj)，线段序中点沖厲J>则叱 M、'；+1 N ■] > HP ：；：■」・、比■ 2j —1 V而疋=J;-：i fl；1.\'?-=4農，一L Ji即.Y3—2 ；一?2 27. y = 8x 解析：因为p= 4,所以抛物线标准方程为y= 8x.18. 2解析：由抛物线方程知抛物线的通径为2p= 4，且|AF = 2,恰好为通径的2,因此故OA=,》4+ ：3p 2=¥V11. 设CD的方程为y= x+ b , y= x +b , 2由2 消去x得y —y + b = 0.y = x故m= p,所以A即,：3p ,设C(X1 , yj , D(X2 , y2), 则y1 + y2= 1 , yy = b ,.・.|CD = i ：1 + y 1 + y 1 —4y 1y2= ：■ 2 —8b ,3| BF也应该为通径的2，即I BF = 2.9. 4 .'3解析：以顶点为原点，以过顶点向下的直线为y轴建立直角坐标系，则x2= —2py(p>0)，将点(4 , —2)代入抛物线方程得16= 4p,即p= 4,所以抛物线方程为x2=- 8y, 当y =—1.5时，x =±2 ,-'3,所以水面的宽度为4；3米.x/21 p p10. 解析：过A作ADLx 轴于D,令FD= m 贝U FA= 2m, ~+ ~+ m= 2m又AB与CD的距离d= |4—",由四边形ABCD^正方形得72 —8b = |4-b| ,解得b=—2或 b = — 6.•••正方形的边长为 3 ；2或5 2y = 2x + k ,2212.⑴由 2 可得 4x + (4 k — 4)x + k = 0.y = 4x ,x i + X 2= 1 — k , 设抛物线与直线交于A (x i , y i ) ,B (X 2, y 2)两点，由k 2 X i X 2=〒,4⑵•/ S = 9且底边长为3 .'5, •••三角形高h =学.5 ••• P 点在X 轴上，•可设 P 点坐标是(X o,O), i3. (i)设 p 为(m n )，则 C 为 m —舟,由PC 垂直于直线 y = — 2得I PC = 1+ n , 因为y = j x 2的焦点为0, 2 ,y =—扌是其准线. 而点p 在抛物线上，所以I PC = I PF , 由| CF J =「m +讥且厶PCF 为等边三角形，i ____ ___所以n + 2=」m +12.①i 2因为点P 在抛物线上，故n = 2m ,② ①②联立解得m =± ；'3 ,3所以点P 的坐标为(土，3 2).⑵ 假设存在点 P 使I PA = I PB , 于是 A 为(2m,0) , B 为(0,2 n ), 由PF 丄AB 知三角形ABF 是等腰三角形， 所以 I AF = I BF I , 即、 2m 2+ ：= 2n —1 .③1 2 因为点P 在抛物线上，故n =尹.④ 厂 5由③④解得，m=±5, n = 2，•-1 AB = \、: 1 + 2 [ X i + X 2 时△> 0符合题意.—4X i X 2] = '5[i — k 2 — k 2] = 3：5，所以k =— 4，此所以存在满足条件的点土P5 - 2.则点P 到直线y = 2x —4的距离就等于 • - X o =— i 或 X o = 5,• P 点坐标为(一i,0)或(5,0).h ,即|2 X o — 0 — 4| ,'22 + i 2。

第八章 解析几何
•第7讲 抛物线
◆高考导航·顺风启程◆
最新考纲
常见题型
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及 多以选择题、填空
简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．题形式出现，有时
2.理解数形结合的思想．
在解答题出现，难
3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应 度较大，占 5～13
用.
A．1
B.32
C．2
D．3
[解析] 双曲线的渐近线方程为 y＝±bax， 因为双曲线的离心率为 2，所以 1＋ba22＝2，ba＝ 3.
由yy＝2＝23pxx，，
解得xy＝ ＝00，
或x＝23p，
y＝2
3p 3.
由双曲线的对称性及△AOB 的面积得，2×12×2 33p×23p＝ 3，
解得 p2＝94，即 p＝32p＝－32舍去. [答案] B
＝－x2 上的点到直线 4x＋3y－8＝0 距离的最小值是43.
[答案]
4 3
考向五 焦点弦中距离之和最小问题 5．已知抛物线 y2＝4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两 点，过 A，B 分别作 y 轴垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|＋|BD|的最 小值为________． [解析] 由题意知 F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2， 即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知 当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4 时，为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小 值为 2. [答案] 2
∴xy－＝p223＝pt，23pt2－p6，
∴xy＝＝2233pptt2，＋p3，
∴kOM＝2t22＋t 1＝t＋121t≤2

第七节抛物线[考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合的思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1716 B.1516C.78 D.0B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－1 16，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.]3．抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1 B.y＝－2 C．x＝－1 D.x＝－2A[∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]4．(2017·西安质检)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝__________.22[抛物线的准线方程为x＝－p2，p>0，双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，所以－p2＝－2，p＝2 2.]5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．9[设点M的横坐标为x0，则点M到准线x＝－1的距离为x0＋1，由抛物线的定义知x0＋1＝10，∴x0＝9，∴点M到y轴的距离为9.]A(x0，y0)是C上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1 B.2 C ．4D.8(2)(2017·广东汕头调研)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A ．3 B.4 C ．5D.2＋1(1)A (2)A [(1)由y 2＝x ，知2p ＝1，即p ＝12， 因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线l 的方程为x ＝－14.设点A (x 0，y 0)到准线l 的距离为d ，则由抛物线的定义可知d ＝|AF |. 从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1.(2)由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，所以N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.][规律方法] 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出．[变式训练1] (2017·郑州调研)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4 FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3D.2C [∵FP →＝4 FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3.根据抛物线定义可知|QF |＝|QQ ′|＝3.]程是( )【导学号：01772323】A ．x 2＝112yB.x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD.x 2＝12y 或x 2＝－36y(2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2 B.4 C ．6D.8(1)D (2)B [(1)将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝112. 当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136.∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .(2)设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2， ∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.][规律方法] 1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．[变式训练2] (1)(2017·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝6x B.y 2＝8x C ．y 2＝16xD.y 2＝15x2(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．(1)B (2)x ＝－2 [(1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |， 所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ， 所以x ＝32p ，所以y ＝±3p . 又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)． 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5， 所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2. 因此椭圆的右焦点为(2,0)， 又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.依题意，得p2＝2， 于是抛物线的准线x ＝－2.]☞角度(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． [解](1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，2分故直线ON 的方程为y ＝p t x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0,解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.5分 (2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ).8分 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点.12分[规律方法] 1.(1)本题求解的关键是求出点N ，H 的坐标．(2)第(2)问将直线MH 的方程与抛物线C 的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断．2．(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．☞角度2 与抛物线弦长或中点有关的问题(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.【导学号：01772324】(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1的垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．[解](1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，2分 ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .5分(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .6分由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.8分由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0).10分 故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2| ＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.12分[规律方法] 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等方法．3．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[思想与方法]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．2．抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用．3．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ＝x 1＋x 2＋p . [易错与防范]1．认真区分四种形式的标准方程．(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．3．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切．。