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解三角形的应用举例

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第2讲 解三角形应用举例 ★ 知 识 梳理 ★ 1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b． 2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角． 3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况． 4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C．

5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目 标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度. 6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD、OE是视线，DOC是仰角，EOC 是俯角.

7.关于三角形面积问题 ①ABCS=21aha＝21bhb＝21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；

②ABCS＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB； ③ABCS＝2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径） ④ABCS＝Rabc4； ⑤ABCS＝))()((csbsass,)(21cbas； ⑥ABCS＝r·s,( r为△ABC内切圆的半径)

★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题 2.难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 3.重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法； （1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角 形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题， 问题1. 如图，为了计算北江岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得ADCD，10ADkm，14ABkm，60BDA ，

135BCD，求两景点B与C的距离（假设,,,ABCD在同一平面内，测量结果保留整

数；参考数据：21.414,31.732,52.236）

解：在△ABD中，设BD=x， 则BDAADBDADBDBAcos2222， 即60cos1021014222xx整理得：096102xx 解之：161x ，62x（舍去），

由正弦定理，得：BCDBDCDBBCsinsin ,

∴2830sin135sin

16

BC≈11(km).

答：两景点B与C的距离约为11.km.

（2）解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.

问题2. 用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度. 分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC中有较多已知条件，故可在△EAC中考虑EA边长的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA. 解：在△ACE中，AC＝BD＝a，∠ACE＝β，∠AEC＝α－β，

根据正弦定理，得AE＝a sinβsin（α－β）

在Rt△AEG中，EG＝AEsinα＝a sinαsinβsin（α－β） ∴EF＝EG＋b＝a sinαsinβsin（α－β） ＋b，

答：气球的高度是a sinαsinβsin（α－β） ＋b.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1:测量问题 题型:运用正、余弦定理解决测量问题

[例1] (2007·山东) 如图4-4-12，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固

定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的

2B处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？

【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用Svt求出边长,再进行进一步分析.

[解析]如图，连结11AB，由已知22102AB，

122030210260AA，

1221AAAB，

又12218012060AAB∠， 122AAB△是等边三角形，

1212102ABAA，

由已知，1120AB，1121056045BAB∠， 在121ABB△中，由余弦定理，22212111212122cos45BBABABABAB

22220(102)2201022200

．12102BB．

因此，乙船的速度的大小为1026030220（海里/小时）． 答：乙船每小时航行302海里． 【名师指引】解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 【新题导练】 1．甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？ A

北 1B 2B 1A

2A 120

105 甲 乙

图4-4-12 解析：、解: 两点甲船和乙船分别到达小时后设经过DCx,, xBDABADxAC1020,8则

,,6170.,614800)6170(24440056024421)1020(82)1020()8(60cos222222222取得最小值时当取得最小值取得最小值时当CDxCDCDxxxxxxxADACADACCD

 此时,甲、乙两船相距最近 2．在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线

成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）

解： 设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，4vABt。 在△AOB中，由正弦定理，得sinsin15OBABOAB，

∴62sinsin1562/44OBvtOABABvt 而2(62)843841.741，即sin∠OAB>1, ∴这样的∠OAB不存在，因此，游击手不能接着球.

考点2 运用正、余弦定理解决与几何计算有关的实际问题 题型:利用解三角形知识研究几何图形的性质 [例2] （08上海高考）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在

A B D C 点A及点C处，小区里有两条笔直的小路ADDC，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分

钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．

【解题思路】转化条件,分析图形建模. 【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得

CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=060……………………………4分

在CDO中，22022cos60,CDODCDODOC……………6分 即22215003002500300,2rrr…………………….9分 解得490044511r（米）. …………………………………………….13分 【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分 由题意，得CD=500（米），AD=300（米），0120CDA………….4分 2220222,2cos12015003002500300700,2ACDACCDADCDAD在中

∴ AC=700（米） …………………………..6分 22211cos.214ACADCDCADACAD



………….…….9分

在直角11,350,cos0,14HAOAHHA中（米） ∴ 4900445cos11AHOAHAO（米）. ………………………13分 【名师指引】解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图; （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型; （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解; （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

【新题导练】 1.如图，货轮在海上以35公里/小时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半

H1200O

CA

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解三角形应用举例

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1.2│ 新课感知 新课感知
在日常生活和工农业生产中，为了达到某种目的，常常 想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的 两个物体之间的距离，这样的想法能实现吗？如何实现呢？
测量距离的问题
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出 75 ， C 60 AC的距离是55cm， A＝ ＝ ，求A、B 6 2.449 ). 两点间的距离(精确到0.1m ，
10 A
50 40
B

BC 28
∴我舰的追击速度为14n mile/h
又在△ABC中由正弦定理得：
AC BC sin B sin A
即 B=38.2° 故我舰行的方向为北偏东
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14
50°- 38.2°=11.8°
课堂小结 1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知 与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。 3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为： 实际问题
15 45
解：在⊿ABC中， ∠A=15°, ∠C=45°-15°=30°. 根据正弦定理，
15 45
BC AB sin A sin C
AB sin A 5sin15 5( 6 2) BC 2.5875(km). sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn C sin 30 2
CD=BC×tan∠DBC=BC×tan15°≈693(m) 答：山的高度约为693米。
28 cos30 sin 60 sin(60 30 ) 42( m)
高三数学解三角形及应用PPT优秀课件

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（从而进一步求出其他的边和角）； 利用余弦定理，可以解决以下两类问题： （1）已知三边，求三角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
内角和定理：
A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
cos C =sin A B
2
2
sin C =cos A B
面积S的最大值．
例5：在某海滨城市附近海面有一台风，(据检测ar，c当c前o2台s)
风30中0 心km位的于海城面市P处O(，如并图以)的20东k偏m南/ h方的向速度向西偏北451的0方 向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ， 并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受 到台风的侵袭。
2
2
面积公式：
S= 1 absinC= 1 bcsinA= 1 casinB
2
2
2
S= pr = p (p a )p ( b )p ( c ) 其中p= abc , r为内切圆半径
2
射影定理： a = bcosC + ccosB； b = acosC + ccosA； c = aco 3 ,b= 2 ,B=45°， 求A,C及边c．
例2：ΔABC的三个内角A、B、C的对边
分别是 a,b,c ，如果 a2b(bc)，
求证：A＝2B
例3．已知锐角ΔABC中， siA n B ) ( 5 3 ,siA n B ) ( 1 5，
（1）求证：taA n 2taB n ；
高考数学复习 强化双基系列课件
29《平面向量 －解三角形及应用》
解三角形及应用举例
正余弦定理： a2=b2+c2-2bccosθ,
高考数学复习考点知识讲解课件25 解三角形应用举例

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测量距离问题的求解策略 (1)确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量 放在另外三角形中求解． (2)确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
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(新教材) 高三总复习•数学
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即 DE＝si1n0705s°itna4n51°5°＝sin17050°×sincs4oi5ns°1155°°＝sin17050°s×inss4ii5nn°1755°°＝10s0insi1n54°5°.
又 sin15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2，所以 DE＝10s0insi1n54°5°＝100(
图形表示
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术语意义
图形表示 例：(1)北偏东 α：
方向角
正北或正南方向线与目标 方向线所成的__锐__角__，通
常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西 α：
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术语 名称
术语意义
图形表示
术语 名称
术语意义
在目标视线与水平视线(两者在
同一铅垂平面内)所成的角中， 仰角与俯角 目标视线在水平视线__上__方__的
叫做仰角，目标视线在水平视线 _下__方__的叫做俯角
图形表示
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术语 名称
方位角
术语意义
从某点的指北方向线起按 _顺__时__针__方向到目标方向线 之间的夹角叫做方位角．方 位角 θ 的范围是0_°_≤__θ_<_3_6_0_°
解三角形的实际应用举例

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第二章 解三角形
(2)由正弦定理得 AC＝sin[180°20－sin（（3405°°＋＋4650°°＋）60°）] ＝20ssiinn4150°5°＝20sisnin4575°° ＝10(1＋ 3)(米)， BC＝sin[180°－（206s0i°n 4＋5°30°＋45°）] ＝20sisnin4455°°＝20(米)．
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第二章 解三角形
测量高度问题 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在 西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处， 测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的 高度 CD＝________m.
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第二章 解三角形
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第二章 解三角形
若 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的( )
A．东偏北 46°
B．东偏北 44°
C．南偏西 44°
D．西偏南 44°
解析：选 C.如图，因为 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的南 偏西 44°.
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第二章 解三角形
A，B 两点间有一小山，选定能直接到达点 A，B 的点 C， 测得 AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB＝60°，则 A，B 两点间 的距离为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos 60° ＝602＋1602－2×60×160cos 60°＝196 00， 所以 AB＝140 m，即 A、B 两点间的距离为 140 m. 答案：140
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第二章 解三角形
1.(1)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶