1.面积公式：
（1）三角形的面积：S三角形＝1/2×底×高
（2）梯形的面积：S梯形＝1/2×（上底+下底）×高
2.两点间的距离：
（1）当两点横坐标相同时，两点间的距离为这两点纵坐标差的绝对值
（2）当两点纵坐标相同时，两点间的距离为这两点横坐标差的绝对值
基础篇——三角形面积的求法
题型1 三角形有一边在坐标轴上
【例1】如图，平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（-4，0），C（4，0），求三角形ABC的面积.
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【方法归纳】
当三角边有一边在坐标轴上时，将此边作为底边，那么高便垂直于坐标轴，底和高就能通过两点间的距离很快求出.
题型2 三角形有一边与坐标轴平行
【例2】如图，平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（-1，-4），B（2，0），C（-4，-4），求三角形ABC的面积.
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【方法归纳】
当三角边有一边与坐标轴平行时，将此边作为底边，那么高便垂直于坐标轴，底和高就能通过两点间的距离很快求出.根据图形特殊，我们通常把平行于坐标轴的一边作为底边.
题型3 三角形三边均不与坐标轴平行
【例3】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点.
（1）写出图中所示各顶点的坐标；
（2）求三角形ABC的面积.
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【方法归纳】 当三角边的三边均不与坐标轴平行时：
（1）将原三角形围在一个梯形或长方形中，用长方形或梯形的面积，减去长方形或梯形边缘的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积，这种方法叫做补形法；
（2）若三角形内一割线长度已知，并且它平行于坐标轴，那么可将其作为底边，把原三角形拆分为两个三角形，则两高的长度可得，面积即可求得，这种方法叫做分割法.
平面直角坐标系中三角形面积的求法
嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——如何在平面直角坐标系中求三角形的面积。我知道你们可能会觉得这个话题有点儿枯燥，但是别担心，我会用一种轻松幽默的方式来讲解这个问题，让你们在轻松愉快的氛围中学到知识。
我们要明确什么是三角形。三角形就是由三条线段相互连接的图形，这三条线段叫做三角形的边，而它们相互连接的地方叫做三角形的顶点。好了，现在我们知道了三角形的基本概念，接下来我们就要开始求三角形的面积了。
那么，三角形的面积到底是怎么求出来的呢？其实，这个问题还有一个更简单的方法，那就是：如果一个三角形的底边长是a,高是h,那么它的面积就是ah/2。这个公式是不是很简单呢？而且还很好记，因为它的名字叫做“海伦公式”。
那么，我们如何应用这个公式来求解具体的三角形面积呢？其实，只要知道三角形的底边长和高，就可以直接将这两个数值代入公式进行计算了。比如说，我们有一个三角形，它的底边长是10,高是8,那么它的面积就是10 * 8/2=40。
有时候我们并不知道三角形的具体尺寸，只知道其中两个顶点的坐标。这时候，我们就需要运用一些几何知识来求解了。具体来说，我们可以先求出三角形的另外两个顶点的坐标，然后再将这些坐标代入海伦公式进行计算。这个过程可能会比较复杂一点儿，但是只要你掌握了方法，就一定能够成功求解。
那么，我们如何求出三角形的另外两个顶点的坐标呢？这里就要用到一些基本的几何知识了。我们要知道三角形的三个顶点是共线的，也就是说它们在同一条直线上。我们要知道三角形的内角和是180度。有了这两个条件，我们就可以根据已知的两个顶
点的坐标来求出第三个顶点的坐标了。具体的求法有很多种，这里我就不一一介绍了，你们可以去网上找一些相关的教程学习一下。
求解三角形的面积并不是一件难事儿。只要你掌握了海伦公式和一些基本的几何知识，就可以轻松地解决这个问题了。如果你觉得这个问题还是有点儿难度的话，也不要灰心丧气。毕竟，学习是一个循序渐进的过程，只要你肯下功夫，就一定能够取得进步。所以，加油吧，伙计们！让我们一起在求解三角形的道路上越走越远！
1 小专题——平面直角坐标系中图形面积的求法
方法1 直接利用点的坐标求图形的面积
当图形有边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可考虑直接将点的坐标转化为线段长，进而计算图形面积．
1．如图1，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(－3，0)，B(0，3)，C(0，－1)，则三角形ABC的面积为_______
图1 图2
2．如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4，2)，B(4，6)，C(－1，3)，三角形ABC的面积为______．
方法2 利用补形法求图形的面积
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，－1)，B(1，3)，C(2，－3)，你能求出三角形ABC的面积吗？
2 方法3 利用分割法求图形的面积
4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的面积．
方法4 根据已知图形的面积利用逆向思维求点的坐标
已知坐标系中图形的面积，求点的坐标时，可将点的横(纵)坐标转化为到坐标轴的距离，利用面积来解决线段数量关系，从而求出点的坐标．
5．如图，A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.
(1)点B的坐标为______________；
(2)三角形ABC的面积为__________；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
在直角坐标系中求图形的面积
图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标。我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积和一些不规则图形面积的问题，解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧。现对这类题目的解法举例说明如下：
一、有一边在坐标轴上
例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？
分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.
解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，
二、有一边与坐标轴平行
例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.
分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.
解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.
三、三边均不与坐标轴平行
例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？
分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.
