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21.2.1 用配方法解一元二次方程2

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《21.2.1 用配方法解一元二次方程》

一．选择题

1．用配方法解方程x2﹣6x﹣7=0，下列配方正确的是（ ）

A．（x﹣3）2=16 B．（x+3）2=16 C．（x﹣3）2=7 D．（x﹣3）2=2

2．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ）

A．（x﹣4）2=19 B．（x+4）2=19 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=7

3．把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（ ）

A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19

4．用配方法解方程x2+x=2，应把方程的两边同时（ ）

A．加 B．加 C．减 D．减

5．已知a2﹣2a+1=0，则a2010等于（ ）

A．1 B．﹣1 C． D．﹣

6．一元二次方程2x2+3x+1=0用配方法解方程，配方结果是（ ）

A． B． C． D．

7．将方程3x2+6x﹣1=0配方，变形正确的是（ ）

A．（3x+1）2﹣1=0 B．（3x+1）2﹣2=0 C．3（x+1）2﹣4=0 D．3（x+1）2﹣1=0

8．已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的（ ）

A．（x﹣p）2=5 B．（x﹣p）2=9 C．（x﹣p+2）2=9 D．（x﹣p+2）2=5

二．填空题

9．一元二次方程x2﹣2x+1=0的根为______．

10．用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0配方后得到方程______．

11．将方程x2﹣4x﹣1=0化为（x﹣m）2=n的形式，其中m，n是常数，则m+n=______．

12．如果一个三角形的三边均满足方程x2﹣10x+25=0，则此三角形的面积是______．

13．已知点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，且在其角平分线上，则k=______．

14．方程（x﹣1）（x﹣3）=1的两个根是______．

15．当x=______时，代数式的值是0． 16．方程4x2﹣4x+1=0的解x1=x2=______．

17．解方程：9x2﹣6x+1=0，

解：9x2﹣6x+1=0，

所以（3x﹣1）2=0，

即3x﹣1=0，

解得x1=x2=______．

18．用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0，变形为（x+h）2=k，则h=______，k=______．

三．解答题

19．用配方法解方程

（1）x2﹣6x﹣15=0

（2）3x2﹣2x﹣6=0

（3）x2=3﹣2x

（4）（x+3）（x﹣1）=12．

20．证明：不论x为何实数，多项式2x4﹣4x2﹣1的值总大于x4﹣2x2﹣3的值．

21．分别按照下列条件，求x的值：分式的值为零．

22．观察下列方程及其解的特征：

（1）x+=2的解为x1=x2=1；

（2）x+=的解为x1=2，x2=；

（3）x+=的解为x1=3，x2=；

…

解答下列问题：

（1）请猜想：方程x+=的解为______；

（2）请猜想：关于x的方程x+=______的解为x1=a，x2=（a≠0）；

（3）下面以解方程x+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性．

解：原方程可化为5x2﹣26x=﹣5．

（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）

《21.2.1 用配方法解一元二次方程》

参考答案与试题解析

一．选择题

1．用配方法解方程x2﹣6x﹣7=0，下列配方正确的是（ ）

A．（x﹣3）2=16 B．（x+3）2=16 C．（x﹣3）2=7 D．（x﹣3）2=2

【解答】解：由原方程移项，得

x2﹣6x=7，

等式两边同时加上一次项系数一半的平方32，得

x2﹣6x+32=7+32，

∴（x﹣3）2=16；

故选A．

2．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ）

A．（x﹣4）2=19 B．（x+4）2=19 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=7

【解答】解：由原方程，得

x2﹣4x=3，

在等式的两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方，得

x2﹣4x+4=3+4，即x2﹣4x+4=7，

配方，得

（x﹣2）2=7；

故选D．

3．把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（ ）

A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19

【解答】解：∵x2﹣8x+3=0

∴x2﹣8x=﹣3

∴x2﹣8x+16=﹣3+16 ∴（x﹣4）2=13

∴m=﹣4，n=13

故选C．

4．用配方法解方程x2+x=2，应把方程的两边同时（ ）

A．加 B．加 C．减 D．减

【解答】解：∵x2+x=2

∴x2+x+=2+

故选：A．

5．已知a2﹣2a+1=0，则a2010等于（ ）

A．1 B．﹣1 C． D．﹣

【解答】解：由原方程，得（a﹣1）2=0，

∴a﹣1=0，即a=1；

∴a2010=12010=1．

故选A．

6．一元二次方程2x2+3x+1=0用配方法解方程，配方结果是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：∵2x2+3x+1=0

∴2x2+3x=﹣1

2（x2+x）=﹣1

2（x2+x+）=﹣1+

∴2（x+）2=

即2（x+）2﹣=0

故选B．

7．将方程3x2+6x﹣1=0配方，变形正确的是（ ）

A．（3x+1）2﹣1=0 B．（3x+1）2﹣2=0 C．3（x+1）2﹣4=0 D．3（x+1）2﹣1=0

【解答】解：∵3x2+6x﹣1=0

∴3（x2+2x）﹣1=0

∴3（x2+2x+1﹣1）﹣1=0

∴3（x2+2x+1）﹣3﹣1=0

∴3（x+1）2﹣4=0

故选C．

8．已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的（ ）

A．（x﹣p）2=5 B．（x﹣p）2=9 C．（x﹣p+2）2=9 D．（x﹣p+2）2=5

【解答】解：∵x2﹣6x+q=0

∴x2﹣6x=﹣q

∴x2﹣6x+9=﹣q+9

∴（x﹣3）2=9﹣q

据题意得p=3，9﹣q=7

∴p=3，q=2

∴x2﹣6x+q=2是x2﹣6x+2=2

∴x2﹣6x=0

∴x2﹣6x+9=9

∴（x﹣3）2=9

即（x﹣p）2=9

故选：B．

二．填空题

9．一元二次方程x2﹣2x+1=0的根为 x1=x2=1 ．

【解答】解：∵x2﹣2x+1=0

∴（x﹣1）2=0

∴x1=x2=1．

10．用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0配方后得到方程 （x﹣2）2=5 ．

【解答】解：把方程x2﹣4x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=1

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=1+4

配方得（x﹣2）2=5．

11．将方程x2﹣4x﹣1=0化为（x﹣m）2=n的形式，其中m，n是常数，则m+n=

7 ．

【解答】解：x2﹣4x﹣1=0，

移项得：x2﹣4x=1，

配方得：x2﹣4x+4=1+4，

（x﹣2）2=5，

∴m=2，n=5，

∴m+n=5+2=7，

故答案为：7．

12．如果一个三角形的三边均满足方程x2﹣10x+25=0，则此三角形的面积是 ．

【解答】解：由方程x2﹣10x+25=0，得该方程有两个相等的实数根，即5．

则此三角形的三边都是5．

则该三角形的面积为S=×5×5×sin60°=×5×5×=．

13．已知点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，且在其角平分线上，则k= ﹣2 ．

【解答】解：∵点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，

∴，

解得﹣＜x＜﹣；

又∵点（5﹣k2，2k+3）在第四象限的角平分线上，

∴5﹣k2=﹣2k﹣3，即k2﹣2k﹣8=0，

∴k1=4（不合题意，舍去），k2=﹣2．

故答案是：﹣2．

14．方程（x﹣1）（x﹣3）=1的两个根是 x1=2+，x2=2﹣

．

【解答】解：由原方程，得

x2﹣4x+2=0，

移项，得

x2﹣4x=﹣2，

等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得

x2﹣4x+4=﹣2+4，

配方，得

（x﹣2）2=2，

∴x=2±，

∴x1=2+，x2=2﹣；

故答案是：∴x1=2+，x2=2﹣．

15．当x= ﹣1 时，代数式的值是0．

【解答】解：由分式的值为零的条件得（x+2）2﹣1=0，x+3≠0，

由（x+2）2﹣1=0，得（x+2）2=1，

∴x=﹣1或x=﹣3，

由x+3≠0，得x≠﹣3．

综上，得x=﹣1．

故空中填：﹣1．

16．方程4x2﹣4x+1=0的解x1=x2= ．

【解答】解：∵4x2﹣4x+1=0

∴（2x﹣1）2=0

∴x1=x2=．

17．解方程：9x2﹣6x+1=0，

解：9x2﹣6x+1=0，

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配方法2

配方法2

1 柳树0中学16-17学年度第一学期“教学案一体化”讲学稿

课题 21．2.1 配方法(2) 学科 数学 课型 新授

主备人 刘 磊 审核人 雪臣 课时设置 1课时 使用时间 2017.09

学习

目标 1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．

2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．

重点：掌握配方法解一元二次方程．

难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程

学习过程

一、单元导入 明确目标

1、引入新课

2、单元导入

二、探究新知 理解归纳

探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?

对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？

解：移项，得x2＋6x＝16，

两边都加上__ __即__ _，使左边配成x2＋bx＋( )2的形式，得

____＋6____＋9＝16＋____，

左边写成平方形式，得

________________，

开平方，得

______________， (降次)

即 __ __或__ __，

解一次方程，得x1＝____，x2＝____．

归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．

问题2：解下列方程：

(1)3x2－1＝5； (2)4(x－1)2－9＝0； (3)4x2＋16x＋16＝9.

归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤： 教师修改及学生笔记

2 (1)整理：把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；

(2)移项：把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

3 配方法 第2课时 配方法

3 配方法 第2课时 配方法

21.2 解一元二次方程

21.2.1 配方法

第2课时 配方法

课题 第2课时 配方法 授课人

教

学

目

标 知识技能 1.了解配方法解一元二次方程的定义；

2.掌握配方法解一元二次方程的步骤，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程.

数学思考 经历用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力.

问题解决 通过配方将其转化为可利用直接开平方法解的一元二次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知(新知识)向已知(旧知识)转化，这是研究数学问题常用的方法：化未知为已知.

情感态度 通过学生间的交流、探索，进一步激发学生的学习热情和求知欲望，同时提高小组合作意识和一丝不苟的精神.

教学重点 会用配方法解一元二次方程.

教学难点 能够熟练地进行配方.

授课类型 新授课 课时

教具 多媒体

教学活动

教学步骤 师生活动 设计意图

回顾 1.引导学生回顾直接开平方法解一元二次方程的步1.巩固用直接开平方骤，解下列方程：

(1)x2＝3；(2)(x＋3)2＝5；(3)x2＋6x＋9＝7.

2.问题：什么是完全平方公式？

3.根据完全平方式的特点完成下列填空.

(1)x2－18x＋__81__＝(x－__9__)2；

(2)x2＋23x＋__19__＝x＋ 13 2；

(3)x2＋bax＋__b24a2__＝x＋ b2a 2.

提出问题：要把一个二次项系数为1的二次三项式变成一个完全平方式，常数项该如何变化？

学生讨论，发现规律：常数项是一次项系数一半的平方． 法解一元二次方程，为配方法打下基础.

2.学会利用完全平方式的知识填空，感受配方，为课题的学习做好铺垫.

活动

一：

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

大家都知道，任何一个能变形为x2＝p或(ax＋b)2＝c形式的一元二次方程，都可以用直接开平方法解，根据方程x2＋6x＋9＝1的求解思路，你能解一元二次方程x2＋6x＋8＝0吗？

21.2.1用配方法解一元二次方程(教案)

21.2.1用配方法解一元二次方程(教案)

21.2.1用配方法解一元二次方程（教案）

一、教学内容

本节课选自九年级数学教材《代数与方程》第21章第2节，主题为“21.2.1用配方法解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：

1. 掌握配方法解一元二次方程的步骤，并能熟练运用该方法解决实际问题。

2. 了解配方法的原理，理解为何配方法可以求解一元二次方程。

具体内容包括：

（1）回顾一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。

（2）介绍配方法的基本思想及步骤：将一元二次方程转化为完全平方形式，进而求解。

（3）通过例题演示如何运用配方法求解一元二次方程。

（4）让学生练习并讨论配方法在实际问题中的应用。

本节课的目标是让学生掌握配方法解一元二次方程的技能，提高他们解决实际问题的能力。

二、核心素养目标

本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：

1. 培养学生的逻辑推理能力：通过配方法解一元二次方程的过程，使学生理解数学逻辑推理的重要性，提高他们在解决问题时的逻辑思维能力。

2. 增强学生的数学建模素养：让学生在实际问题中运用配方法求解一元二次方程，培养他们将现实问题转化为数学模型的能力，从而提高解决实际问题的数学素养。

3. 提升学生的数学运算与数据分析能力：通过练习和讨论，使学生熟练掌握配方法的运算过程，提高他们在数学运算中的准确性和速度，并能对结果进行分析和解释。

本节课旨在让学生在学习过程中形成这些核心素养，为新教材下的数学学习奠定坚实基础。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

（1）掌握配方法解一元二次方程的步骤：一元二次方程的配方法解法是本节课的核心内容，学生需要熟练掌握以下步骤：

a. 将一元二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0转换为完全平方形式。

b. 利用完全平方公式解出方程的根。

c. 分析解的实际情况，如重根、无解等。

（2）运用配方法解决实际问题：学生需学会将实际问题抽象为一元二次方程，然后运用配方法求解，例如以下例题：

21.2.1配方法解一元二次方程

21.2.1配方法解一元二次方程

山阳同仁九年制学校 制作人: 王 斌 审核人： 邰兵强 班级： 姓名

1 配方法解一元二次方程

学习过程

【自主学习】

（一）复习：知识回顾：完全平方公式： 和

1.解下列方程:

(1)2430x （2）2693xx

2．填上适当的数，使下列等式成立：

(1) 212xx+____ = 2(6)x (2) 24xx____ = (x___)2

(3) 28xx____ = (x____)2 （4）22____)(_____45xxx

由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：

（二）探索新知：请阅读教材第3２页，解方程2450xx，完成下面框图：2450xx

归纳总结：

1、通过配成＿＿＿＿＿＿＿形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

2、配方是为了降次．．，把一个一元二次方程化为______________方程来解。

三．自学课本例题1:

1.观察方程（1）的解题过程，归纳用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：

①、移项，把＿＿＿＿＿移到方程右边；

②、配方，在方程的两边各加上＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，使左边成为完全平方；

③、利用直接开平方法解之。

2．观察方程（2）（3）的解题过程，归纳：方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项除以____________，将方程的二次项系数化为____。

学习目标 学习重点、难点

理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，掌握用配方法解数字系数的一般一元二次方程； 【教学重点】用配方法解一元二次方程的步骤。

【教学难点】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．

【教学方法】类比法 山阳同仁九年制学校 制作人: 王 斌 审核人： 邰兵强 班级： 姓名