高中物理辩识概念过好卫星关.doc

专题 万有引力定律

复习策略

一、辨析概念，解除疑惑。

1．万有引力与重力

放在地球表面的物体受到两个力的作用：万有引力F万和地面对物体的支持力N（如图5-1中a点所示），由于物体随地球一起转动，也需要向心力的作用，它由万有引力的一个分力f来提供，另一分力就是物体受到的重力mg。当物体在赤道上时（如图5-1中b点所示），F向=F万－N=ma向，而a向=0. 034m/s2，远远小于地面上的重力加速度g=9.8m/s2，在忽略地球自转影响下，万有引力等于物体受到的重力，当物体在两极上时，由于 F向=mrω2=0，此时万有引力等于物体受到的重力。

例1，地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a, 要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的( )

A．g/a倍 B．aag/)(倍

C．aag/)(倍 D．ag/倍

解析：赤道上的物体随地球自转时.2020mamRFRMmGN 其中FN=mg，要使赤道的物体“飘”起来，即变为近地卫星,则应FN=0，于是2020mRRMmG. 由前两式得ω′/ω=

./)(aag 故选B。

2．自转与公转

星体在围绕某一天体运行的同时还在不停地自转，星体的自转情况与公转情况一般是不相等的。如地球绕日公转周期为1年，公转速度约为29.8km/s（相对于太阳），而地球自转的周期为1日，地球表面自转的线速度则随纬度的升高而减小，在赤道上最大为470m/s（相对于地心），在两极最小为零。

例2，宇宙中某星体，每隔4.4×10－4s就向地球发出一次电磁波脉冲，有人曾经乐观地认为，这是外星人向我们地球人发出的联络信号。天文学家否定了这种看法，并认为该星体上有一个能连续发出电磁波的发射源，由于星体围绕自转轴高速旋转，才使得地球上接收到的电磁波是不连续的。请根据记录的数据以及万有引力恒量G的值（6.67×10－11Nm2/kg2）估算该星体的最小密度。（保留两位有效数字）

解析：根据题意可知，接收到的两个脉冲之间的时间间隔即为星体的最大自转周期，星体高速自转时，选位于星体赤道表面处质量m的一块星体岩石为研究对象，它所需的向心力不能超过对应的万有引力，否则将会因不能保持匀速圆周运动而使星体破裂解体，因此有

)2(2),1(22TRGMmRm ω为星体的自转角速度，T=4.4×10－4s为星体的自转周期

(4)GT3)3(3423由以上三式得为星体的密度RM

代入数据得该星体的最小密度ρ0=7.3×1017kg/m3.

3．地球同步卫星、极地卫星、近地卫星

地球同步卫星相对地球是静止的，同步卫星的运行方向与地球自转方向一致，且卫星圆周运动轨迹的圆心和地球球心位置重合时，即同步卫星只能位于赤道上空时，卫星所受万有引力方向才和卫星圆周运动轨道重合，卫星才能稳定在该轨道平面上运行。

同步卫星运行周期与地球自转周期相同，一般取24小时，轨道半径2432GM4.2410 h=35786km, 3.07/4 rGMTrkmvkms为定值，线速度。

极地卫星运行时每圈都经过南北两极，其轨道平面相对地心是不动，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7 .9km/s。T=84分钟，r=R

以上卫星的轨道平面一定通过地球的球心。

例3，地球赤道上有一物体随地球的自转做圆周运动，所受向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3，已知地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则（ ）

A．F1=F2＞F3 B．a1=a2=g＞a3

C．v1=v2=v＞v3 D．ω1=ω3＜ω2

解析：赤道上的物体随地球自转的向心力为万有引力与地面对物体支持力的合力；近地卫星的向心力等于万有引力；同步卫星的向心力就是同步卫星所在处的万有引力，故有F1＜F2，F2＞F3；加速度a1＜a2=g，a3＞a2；线速度v1=ωR，v3=ω（R+h），因此v1＞v3，而v2＞v3；角速度ω1=ω3，ω2＞ω3。

故选D。

4．地表附近重力加速度与卫星引力势能

地表附近重力加速度pEmgh 2GMgR不变

卫星引力势能 pMmEGr（取无穷远处引力势能为零，g不能看作常数）

5．卫星的发射速度和运行速度(均相对于地心)

发射速度是指被发射物体在地面附近离开发射装置时的初速度，并且一旦发射后就再无能量补充，被发射物体仍依靠自身的初动能克服地球引力上升一定高度，进入运行轨道。若发射速度等于7.9km/s，卫星可贴着地面近地运行；若发射速度满足：7.9km/s＜v发＜11.2km/s，卫星可在高空沿着圆周轨道或椭圆轨道运行。 运行速度指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度，其大小公式skmRGMhRGMv/9.7＜.

例4，某人在一星球上以速度v0竖直上抛一物体，设t秒钟后物体落回到手里，已知星球的半径为R，那么至少要用多大的速度沿星球表面抛出，才能使物体不再落回星球表面

A．Rtv0 B．tRv02 C．tRv0 D．Rtv0

解析：星球表面重力加速度设为g，竖直上抛一物体时，t2vg 200可得gvt

在星球表面发射物体使物体绕星球表面匀速圆周运动时的最小发射速度为v，Rvmmg2 ，可得tRvgRv02

故选C。

6．三个宇宙速度 (均相对于地心，均是发射速度)

第一宇宙速度又称环绕速度，是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速率圆周运动的速度，其大小./9.71skmRGMv

第二宇宙速度又称脱离速度，是将人造卫星发射到地球引力以外的最小发射速度，其大小v2=11.2km/s。

221()02MmMmmvGGRr

2211.2GMvRkm/s

第三宇宙速度又称逃逸速度，是使人造卫星脱离太阳引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度，其大小v3=16.7km/s。

例5，一颗人造地球卫星以初速度v发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度变为2v，则该卫星可能（ ）

A．绕地球做匀速圆周运动，运行半径变大，周期变大

B．绕地球运动，轨道变为椭圆

C．不绕地球运动，成为太阳系的人造行星

D．挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙中

解析：绕地球做匀速圆周运动的卫星发射速度介于7.9km/s和11.2km/s之间，变为2v时则在15.8km/s到22.4km/s之间。

如果发射速度11.2km/s≤v发＜16.7km/s时，卫星将摆脱地球引力的束缚，成为太阳系的人造卫星，如果发射速度16.7km/s≤v发 ≤22.4km/s时，卫星将摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙中，故选C、D。

二、天体中的圆周运动

1．基本规律公式

卫星m绕行星M做半径为r的匀速率圆周运动的向心力，由它们间的万有引力提供，由此可得： 图5-3 m R 222222244rfmTrmmvmrrrmmarMmGn

以上几种表达形式，只要根据具体情况，选择使用即可。

2．基本物理模型

（1）卫星模型

如图5-2所示，星体m(如行星、卫星)绕中心天体M（如太阳、行星）做匀速率圆周运动时，根据基本规律公式可得233 ,4T ,GM ,rGMaGMrrrGMvn等公式。

（2）球体模型

如图5-3所示，物体m在天体M的表面上，如果不考虑天体M的自转，则m受到的万有引力等于重力，有mgRMmG2，因而可得黄金代换公式GM=gR2

如果考虑地球自转时，赤道上放置的物体随地球自转，有maNRMmG2，且N=mg，因而可得agRMG2（式中a 为赤道上自转的向心加速度，a=0.034m/s2）。由于g>>a，所以往往近似认为gRMG2

例6，一颗行星上一昼夜的时间为6h，弹簧秤在此行星赤道上称某物体重力比在两极小10%，则此行星平均密度是多少？（G=6.67×10－11N · m2/kg2）

解析：物体在两极处所受的重力20RMmGG

物体在赤道上做圆周运动RTmGG2204视

因为G视=G0·90%

所以，由前三式得：2224101TmRRMmG

∴行星的密度233034GTRMvM

代入数据得ρ=3.03×103kg/m3.

三、天体中的椭圆运动

1．开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。

开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，即kTr23。

我们把行星的椭圆轨道近似地当作圆，由rTmrMmG2224，即得kGMTr2234（恒量），可见k只与恒星的质量M有关，而与行星无关。

例7，飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如图5-4的所示，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某点A将速度降低到适当的数值，从而使飞r m

M

图5-2 图5-5 A B 船沿着地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，求飞船由A点到B点所需的时间。（已知地球半径为R0）

解析：由开普勒第三定律可知，无论是人造地球卫星还是宇宙飞船，它们的23TR都相等，设飞船沿椭圆轨道运动时周期为T′，椭圆的半长轴为21(R+R0)，根据开普勒第三定律有

23230)](21[TRTRR

所以TRRT30)1(221

飞船由A点到B点的时间t等于周期T的一半，即

TRRTt30)1(2412

2．卫星发射与变轨

通讯同步卫星的发射，先是用火箭将卫星送到近地轨道上（r近≈R地），并调整到赤道平面内做近地圆周运动，稳定运行后，根据需要在适当位置启动卫星上的发动机，使卫星在切线方向上加速，卫星从圆轨道变轨到椭圆轨道，变轨后，发动机关闭，卫星将向椭圆轨道的远地点处运行，若不计大气阻力，从近地点向远地点的运动过程中，机械能守恒。但由于引力做负功，运行速度逐渐减小，至远地点时减至最小，由于椭圆轨道远地点的速度小于该点所在的圆轨道的线速度，则卫星在远地点时，需再次启动发动机使卫星速度增至地球同步圆轨道的线速度3.08km/s，这样卫星进入地球同步圆轨道运行。这种卫星发射方式最经济，现今技术也很成熟。如图5-5所示。

另一种发射方式为直线发射，由火箭把卫星发射到3000km赤道上空，然后做90°转折飞行，使卫星进入轨道。但这种方式发射场要设备在赤道上，且要消耗大量能量。

例8，质量为m的宇宙飞船绕地球椭圆轨道上运行，假设在飞行中的速度最大值为Vm，当它由远地点运行到近地点的过程中，地球引力对它做功为W，则：①在远地点的速度多大？②若飞船以远地点的速度绕地球作匀速圆周运动，飞船运行半轨为多大？(已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g)