高中数学立体几何线面角知识点
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高中数学 立体几何知识点整理
一．直线和平面的三种位置关系：
1. 线面平行 2. 线面相交 3. 线在面内
二．平行关系：
1. 线线平行：
方法一：用线面平行实现。
方法二：用面面平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
若ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：
若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。
2. 线面平行：
方法一：用线线平行实现。
////llmml γmβαllmmlml////mlmll////αlαlαAl
高中数学 方法二：用面面平行实现。
////ll
方法三：用平面法向量实现。
若n为平面的一个法向量，ln且l,则//l。
3. 面面平行：
方法一：用线线平行实现。
//',','//'//且相交且相交mlmlmmll
方法二：用线面平行实现。
//,////且相交mlml
三．垂直关系：
1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
lABACAABACABlACl,
方法二：用面面垂直实现。
llmlm,
lαβnαlm'l'lαβmmβαlABCαllβαm
高中数学 2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
ll
方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
mlml
方法二：三垂线定理及其逆定理。
POlOAlPAl
方法三：用向量方法：
若向量l和向量m的数量积为0，则ml。
三．夹角问题。
（一）异面直线所成的角：
（1）范围：]90,0(
（2）求法：
方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理）
余弦定理：
abcba2cos222
（计算结果可能是其补角） lβαmαlθcbaABCθlAOPα
高中数学 方法二：向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角)：
ACABACABcos
（二）线面角
（1）定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。
（2）范围：]90,0[
当0时，l或//l；当90时，l
（3）求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
（三）二面角及其平面角
（1）定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。
（2）范围：]180,0[
（3）求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。
步骤2：解三角形，求出二面角。
nAOθPαθAOPαβAOθPαnmlP
高中数学 方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
步骤一：计算121212cosnnnnnn
步骤二：判断与12nn的关系，可能相等或者互补。
四．距离问题。
1．点面距。
方法一：几何法。
步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。
步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
2．线面距、面面距均可转化为点面距。
3．异面直线之间的距离
方法一：转化为线面距离。
如图，m和n为两条异面直线，n且//m，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。
方法三：公式法。
如图，AD是直线m和n的公垂线段，m∥m`，则异面直线m和n的距离为
cos2222abbacd θn1n2nmOAPdcbam'DCBAmn
