边界元法 chapter 01—概述

电磁场边界元
电磁场边界元法（Electromagnetic Boundary Element Method，EMBEM）是求解电磁场问题的数值方法之一。

这种方法通过将求解区域划分为
较小的子区域，然后在边界上构建基函数来逼近解。

与有限元法和有
限差分法相比，边界元法在处理复杂几何形状和不同介质交界处的问
题时具有较高的精度和效率。

边界元法的基本步骤如下：
1、将求解区域划分为较小的子区域。

这些子区域通常包括一个
内区域（计算域）和一个外区域（屏蔽域）。

2、为每个子区域构建一个合适的基函数。

这些基函数通常是基
于格林公式或复势理论的解。

3、将未知场量（如电场、磁场等）表示为基函数的线性组合。

这些未知场量仅位于边界上。

应用边界的边界条件（如连续性、
辐射条件等）来约束未知场量。

4、将求解区域上的场量表示为边界上的未知场量的线性组合。

这可以通过应用分域原理或复势原理来实现。

5、利用矩阵运算求解边界上的未知场量。

这通常涉及到求解一
个线性系统方程组。

6、将求得的边界上的场量扩展到整个求解区域，以获得内区域
和外区域的场量。

边界元法在许多领域都有广泛的应用，如电
磁兼容性分析、天线设计、电磁场计算等。

由于这种方法在处理复杂几何形状和不同介质交界处的问题时具有
较高的精度和效率，因此它在许多情况下是一种非常有效的求解电磁
场问题的工具。

√
泊松方程的有限元方法(6/11)
有限元方程(关于 um 的线性方程组)
, j：电荷和电流密度，u,A：标势和磁矢
d：体积元
电磁学的作用量是时间积分
S t2 Ldt t1
运动方程由泛函的的极小值决定(即 S 0 )
√
物理问题的变分原理(3/3)
例：静电场的泊松方程
第一类边界条件
x 2u 2 y 2u 2f(x,y), u(x,y)u0(x,y) 等价的变分问题为求解泛函的极值问题
计算物理
有限元和边界元方法
125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics
有限元和边界元方法
物理问题的变分原理 泊松方程的有限元方法 扩散方程的有限元方法 波动方程的有限元方法 边界积分方程 边界元近似 单一边界下的边界元法 两种介质的边界元方法
n

等价的变分问题为求解泛函的极值问题
J ( u ){ 1 [ u ( ) 2 ( u ) 2 ] f} d x u d y ( 12 u ) u d s
2 x பைடு நூலகம்y
2
边界条件包含泛函中：自然边界条件 √
泊松方程的有限元方法(1/11)
B
静电场中二维泊松方程的有限元方法
√
物理问题的变分原理(1/3)
有限元方法
基于变分原理的离散化方法——部分逼近地离散化 划分整体区域为有限个基本块(单元) 在单元上插值逼近，得到结构简单的函数集(有限元空 间，是泛函 J(y) 的定义域的子集)
将边值问题转化为泛函的极值问题 在有限元空间中寻找泛函 J(y) 的极小值，作为近似解

样条边界元法摘要：1.样条边界元法的概述2.样条边界元法的基本原理3.样条边界元法的应用领域4.样条边界元法的优缺点分析正文：样条边界元法是一种数值分析方法，主要用于求解偏微分方程的边界值问题。

它以边界上的函数值为基本变量，通过构造合适的边界元函数，将边界值问题转化为求解边界元函数的线性或非线性方程组。

这种方法具有广泛的应用领域，如工程技术、物理学、地球物理学等。

下面将对样条边界元法的基本原理、应用领域以及优缺点进行详细介绍。

一、样条边界元法的基本原理样条边界元法的基本思想是：首先对求解域进行边界离散，然后将边界离散点上的函数值作为基本变量，构造边界元函数。

接着通过引入边界元系数，将边界值问题转化为求解边界元函数的线性或非线性方程组。

最后，利用数值方法求解该方程组，得到边界值问题的解。

样条边界元法的基本原理主要包括以下几个方面：1.边界离散：将求解域的边界进行离散，形成一组边界节点。

这些边界节点通常是等分布的，可以根据实际问题进行调整。

2.构造边界元函数：根据边界节点上的函数值，构造边界元函数。

样条边界元法通常采用Bézier 曲线或NURBS 曲线作为边界元函数的基函数。

3.引入边界元系数：在构造边界元函数的基础上，引入边界元系数，将边界值问题转化为求解边界元函数的线性或非线性方程组。

4.数值求解：利用数值方法（如有限元法、直接解法等）求解边界元方程组，得到边界值问题的解。

二、样条边界元法的应用领域样条边界元法作为一种高效的数值分析方法，在多个领域具有广泛的应用，如：1.工程技术：在机械结构分析、流体力学、热传导等方面有广泛应用。

2.物理学：在场论、量子力学、相对论等领域有重要应用。

3.地球物理学：在地震波传播、地壳构造、重力场模拟等方面具有重要意义。

三、样条边界元法的优缺点分析样条边界元法具有以下优点：1.灵活性：样条边界元法可以根据求解域的特点，灵活地选择边界元函数，提高了求解效率。

声波边界元法
（1）边界元法：用于模拟声辐射或声散射，其与有限元法在连续体域划分单元的思想不同，只是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，具有单元个数少、数据准备简单的优势；
（2）无限元法：几何上趋于无穷的单元，是一种特殊的有限元，也是对有限元求解无界域问题上的有效补充，并可实现与有限元间的无缝连接；
（3）声波吸收层法：试图在边界外建立一个薄层，使声波在该层内快速衰减；
（4）无反射边界法：是把无限剩余的计算域中声波，用其在边界上的未知解及其导数的关系式表示。

声波是机械波，其传播过程是能量的传播过程。

传播时引起周围介质质点振动，振动质点又引起其他周围质点的振动，这样振动就在介质中传播开来。

根据振源不同，可将声分为机械声和气动声，前者指机械振动产生的声，后者指流体流动或物体在流体中运动引起流体振动产生的声，如风中的电线杆，因此气动声是研究声和流动流体的相互作用。