平方根和立方根知识点总结及练习

【基础知识巩固】

一、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果ax2，那么x叫做a的平方根．

（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3

（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；

一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算

（5）符号：正数a的正的平方根可用a表示，a也是a的算术平方根；

正数a的负的平方根可用-a表示．

（6）ax2 <—> ax

a是x的平方 x的平方是a

x是a的平方根 a的平方根是x

2、算术平方根

（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数．

规定：0的算术平方根是0.

也就是，在等式ax2 (x≥0)中，规定ax。

（2）a的结果有两种情况：当a是完全平方数时，a是一个有限数；

当a不是一个完全平方数时，a是一个无限不循环小数。

（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；

当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

一般来说，被开放数扩大（或缩小）a倍，算术平方根扩大（或缩小）a倍，例如错误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。

（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小

（5）ax2 (x≥0) <—> ax

a是x的平方 x的平方是a

x是a的算术平方根 a的算术平方根是x

（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a（a0） 0a

aa2

；注意a的双重非负性：

-a（a<0） a0

（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：

区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；

联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

3、立方根

（1）立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，这个数叫做a的立方根（也叫做三次方根），即如果3xa，那么x叫做a的立方根

（2）一个数a的立方根，记作3a，读作：“三次根号a”，

其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。

（3） 一个正数有一个正的立方根；

0有一个立方根，是它本身；

一个负数有一个负的立方根；

任何数都有唯一的立方根。

（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，

求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即330aaa。

（5）ax3 <—> 3ax

a是x的立方 x的立方是a

x是a的立方根 a的立方根是x

（6）33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

【典型例题分析】

知识点一：有关概念的识别

1、下列说法中正确的是（ ）

A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数

2、下列语句中，正确的是（ ）

A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数

B．负数没有立方根

C．一个实数的立方根不是正数就是负数

D．立方根是这个数本身的数共有三个

3、下列说法中：①3都是27的立方根，②yy33，③64的立方根是2，④4832。其中正确的有 （ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

4、20.7的平方根是（ ）

A．0.7

B．0.7

C．0.7

D．0.49

5、下列各组数中，互为相反数的组是（ ）

A、－2与2)2(

B、－2和38 C、－21与2

D、︱－2︱和2

知识点二：计算类题型

1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.

___________， ___________，___________.

2、2)4( ； 33)6( ；

2)196(= . 38=

.

3、① 2+32—52 ② 7(71-7)

③ |23 | + |23|- |12 | ④ 41)2(823

4、（1）327＋2)3(－31 （2）33364631125.041027

（3）

知识点三：利用平方根和立方根解方程

1、（1）（2x-1）2-169=0； （2）12142x （3）125)2(3x

知识点四：关于有意义的题

a本身为非负数，有非负性，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。

要使 1a有意义，必须满足a0.

1、若a的算术平方根有意义，则a的取值范围是（ ）

A、一切数 B、正数 C、非负数 D、非零数

2、要使62x有意义，x 应满足的条件是

3、当________x时，式子21xx有意义。

知识点五：有关平方根的解答题

1、一个正数a的平方根是3x―4与2―x，则a是多少？

2、若5a＋1和a－19是数m的平方根，求m的值。

3、已知x、y都是实数，且334yxx，求xy的平方根。

知识点六：非负性的应用

1、已知实数x，y满足 2x+(y+1)2=0，则x-y等于

解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，

解得x=2，y=-1，

所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．

2、已知a、b满足0382ba，解关于x的方程122abxa。

3、若0)13(12yxx，求25yx的值。

4、若a、b、c满足01)5(32cba，求代数式acb的值。

5、已知a31和︱8b－3︱互为相反数，求(ab)－2－27 的值。

【重点知识巩固】

考点、平方根、算术平方根、立方根

1、概念、定义

（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，

那么x叫做a的平方根。

（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果，那么x叫做a的立方根。

2、运算名称

（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。

3、运算符号

（1）正数a的算术平方根，记作“a”。

（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。

（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。

4、运算公式

4、开方规律小结

（1）若a≥0，则a的平方根是a，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

（2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。

（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。