高一数学知识点总结--必修5

第 1 页 共 7 页 高中数学必修5知识点

第一章：解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC．

2、正弦定理的变形公式：①2sinaR，2sinbR，2sincRC；

②，，；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）

；．

3、三角形面积公式：．

4、余弦定理：在中，有，，．

5、余弦定理的推论：，，．

6、设、、是的角、、的对边，则：若，则为直角三角形；

若，则为锐角三角形；若，则为钝角三角形．

第二章：数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列．

4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

7、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

9、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

12、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．

13、若等差数列的首项是，公差是，则．通项公式的变形：；

；；；．

14、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。

15、等差数列的前项和的公式：；．

16、等差数列的前项和的性质：若项数为，则，且，．若项数为，则，且，（其中，）．

17、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

18、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．

19、若等比数列的首项是，公比是，则．

20、通项公式的变形：；；；．

21、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m项和构成的数列成等比数列。

22、等比数列的前项和的公式：．

时，，即常数项与项系数互为相反数。

23、等比数列的前项和的性质：若项数为，则．

． ，，成等比数列．

24、与的关系：

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一些方法：

一、求通项公式的方法：

1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法

①若相邻两项相减后为同一个常数设为，列两个方程求解；

②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为，列三个方程求解；

③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为，q为相除后的常数，列两个方程求解；

2、由递推公式求通项公式：

①若化简后为形式，可用等差数列的通项公式代入求解；

②若化简后为形式，可用叠加法求解；

③若化简后为形式，可用等比数列的通项公式代入求解；

④若化简后为形式，则可化为，从而新数列是等比数列，用等比数列求解的通项公式，再反过来求原来那个。（其中是用待定系数法来求得）

3、由求和公式求通项公式：

① ② ③检验，若满足则为，不满足用分段函数写。

4、其他

（1）形式，便于求和，方法：迭加；

例如：

有：

（2）形式，同除以，构造倒数为等差数列；

例如：，则，即为以-2为公差的等差数列。

（3）形式，，方法：构造：为等比数列；

例如：，通过待定系数法求得：，即等比，公比为2。

（4）形式：构造：为等比数列；

（5）形式，同除，转化为上面的几种情况进行构造；

因为，则，若转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方法

二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

①若，则有最大值，当n=k时取到的最大值k满足

②若，则有最小值，当n=k时取到的最大值k满足

三、数列求和的方法：

①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；

②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：；

③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：，等；

④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：等；

四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；

②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以相乘约掉。

第三章：不等式

1、；；．

比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。

2、不等式的性质： ；；；

，；；

；；

．

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．

4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式

第 3 页 共 7 页 二次函数

的图象

一元二次方程

的根 有两个相异实数根

有两个相等实数根 没有实数根

一元二次不等式的解集

5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式．

6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．

8、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．

若，，则点在直线的上方．

若，，则点在直线的下方．

9、在平面直角坐标系中，已知直线．

若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．

若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．

10、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．

线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

11、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．

12、均值不等式定理： 若，，则，即．

13、常用的基本不等式：

；

；

；．

14、极值定理：设、都为正数，则有

若（和为定值），则当时，积取得最大值．

若（积为定值），则当时，和取得最小值．

不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,abcd，则acbd（若,abcd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0abcd，则acbd（若0,0abcd，则abcd）；

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或nnab；

4．若0ab，ab，则11ab；若0ab，ab，则11ab。如

第 4 页 共 7 页 （1）对于实数cba,,中，给出下列命题：

①22,bcacba则若； ②babcac则若,22；

③22,0bababa则若； ④baba11,0则若；

⑤baabba则若,0； ⑥baba则若,0；

⑦bcbacabac则若,0； ⑧11,abab若，则0,0ab。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知11xy，13xy，则3xy的取值范围是______（答：137xy）；

（3）已知cba，且,0cba则ac的取值范围是______（答：12,2）

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；

3．分析法；

4．平方法；

5．分子（或分母）有理化；

6．利用函数的单调性；

7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）设0,10taa且，比较21loglog21ttaa和的大小

（答：当1a时，11loglog22aatt（1t时取等号）；当01a时，11loglog22aatt（1t时取等号））；

（2）设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小

（答：pq）；

（3）比较1+3logx与)10(2log2xxx且的大小

（答：当01x或43x时，1+3logx＞2log2x；当413x时，1+3logx＜2log2x；当43x时，1+3logx＝2log2x）

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如

（1）下列命题中正确的是

A、1yxx的最小值是2 B、2232xyx的最小值是2

C、423(0)yxxx的最大值是243 D、423(0)yxxx的最小值是243

（答：C）；

（2）若21xy，则24xy的最小值是______ （答：22）；

（3）正数,xy满足21xy，则yx11的最小值为______ （答：322）；