抛物线的简单几何性质 课件

x2＝2py
x2＝－2py
方程 (p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
焦半径 |PF|＝x0＋p2 |PF|＝p2－ |PF| x0
|PF|＝y0＋p2 |PF|＝p2－y0
焦点弦 |AB|＝x1＋ |AB|＝ |AB|＝y1＋y2＋ |AB|＝
|AB|
x2＋p p－(x1＋x2)
p
p－(y1＋y2)
(5)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值， 即 x1·x2＝p42，y1·y2＝－p2. (6)|A1F|＋|B1F|为定值p2.
变式训练 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线 于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． (1)如果x1＋x2＝7，求线段AB的长； (2)若点A，B是倾斜角为60°的直线与抛物线的交点， 则|AB|等于多少？
4．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则 其方程为________． 【答案】y2＝8x或y2＝－8x
5．已知点(－2，3)与抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的距离 是 5，则 p＝________．
【解析】因为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点坐标是p2，0，
类型 3 抛物线几何性质的简单应用
典例 3 已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，
P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若F→P＝
4F→Q，则|QF|＝( )
7
5
A.2
B.2
C.3
D.2
【解析】因为F→P＝4F→Q，所以|F→P|＝4|F→Q|，所以||PPQF||＝43. 示意图如图所示，过点 Q 作 QQ′⊥l，垂足为 Q′，设 l 与 x 轴的交点为 A， 则|AF|＝4，所以||PPQF||＝|Q|AQF|′|＝43. 所以|QQ′|＝3.根据抛物线的定义可知|QQ′|＝|QF|＝3. 【答案】C

02
抛物线的几何特征
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点： 抛物线与x轴的
交点
焦点到准线的距 离：p（抛物线
的参数）
准线：抛物线与 y轴的交点
抛物线的标准 方程：
y^2=2px （p>0）
抛物线的开口方向和大小
开口方向：抛物线开口方向由其系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。 开口大小：抛物线开口大小由其系数b决定，b>0时开口较大，b<0时开口较小。 抛物线顶点：抛物线顶点是抛物线与x轴的交点，其横坐标为-b/2a。 抛物线对称性：抛物线关于其顶点对称，顶点将抛物线分为对称的两部分。
抛物线的顶点和离心率
顶点：抛物线的最高点或最低点，决定了抛物线的位置和形状 离心率：抛物线开口的大小，决定了抛物线的扁平程度 顶点的坐标：可以通过二次公式求解得到 离心率的计算：可以通过二次公式求解得到，也可以根据顶点和焦点的位置关系求解得到
03
抛物线与坐标轴的 交点
抛物线与x轴的交点
抛物线与x轴的交点称为x轴的交点，是抛物线与x轴的公共点。 x轴的交点决定了抛物线的开口方向和大小。 x轴的交点可以通过求解二次方程得到。 x轴的交点在图形上表现为抛物线与x轴的交点，是抛物0时， 抛物线与y轴的 交点为(0,y1)和 (0,y2)，其中y1 和y2是抛物线 与y轴的交点坐 标。
0 2
抛物线与坐标轴 的交点个数：抛 物线与x轴和y轴 的交点个数等于 抛物线的解数， 即抛物线与x轴 和y轴的交点坐 标的个数。
0 3
抛物线与坐标轴 的交点性质：抛 物线与x轴和y轴 的交点坐标决定 了抛物线的开口 方向、对称轴位 置和顶点位置等 几何性质。
抛物线与直线垂直 ：当直线与抛物线 相交，且交点在抛 物线上时，这两个 直线在抛物线上垂 直。

A．y2＝8x B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝20x
答案：A
解析：由题意知6a＋3＝5，解得a＝13，因此抛物线方程为y2＝8x.
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上， 则点A到焦点的距离为________．
答案：4 解析：把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦 点为(2，0)．故点A到焦点的距离为4.
6)或(－9，－6)．
答案：x2＝8y或x2＝－16y
解析：y＝mx2(m≠0)可化为x2＝m1 y，其准线方程为y＝－41m.由题意知－41m＝－2
或－ 1 ＝4，解得m＝1或m＝－ 1 ，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
4m
8
16
【易错警示】 易错原因
纠错心得
求与抛物线方程有关问题时， 首先要把抛物线方程化为标 准方程，其次再根据题意求 解，求解时，一定要考虑抛 物线的几种情况，否则漏解 致误．
_(_－_p2_，__0_)_
__(_0，__p2_)__
_(_0，__－__p2_)_
__x_＝_－__p2__
___x_＝__p2__
__y_＝__－_p2__
___y_＝__p2__
x_≥__0_，_y_∈__R x_≤__0_，_y_∈__R y_≥_0_，__x_∈__R y_≤__0_，__x∈__R
[课堂1，4)，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(1，0)
C．
0，
1 16
B．
1 ，0
16
D．(0，1)
答案：C
解析：由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2，

_________
2
顶点
准线
x2=-2py(p>0)

F 0,
_________
2

F 0,_________
2
原点(0,0)
_________

x=_________
2
离心率
开口方向

F(- ,0)
2
_________
x2=2py(p>0)

x=
_________
2

y=_________
2

y=
变式训练2(1)[人教B版教材例题]已知抛物线的对称轴为x轴,顶点是坐标
原点且开口向左,又抛物线经过点M(-4,2 3),求这个抛物线的标准方程.
解 根据已知条件可设抛物线的标准方程为 y2=-2px(p>0),因为点 M(-4,2 3)
在抛物线上,
所以(2 3)2=-2p×(-4),因此 2p=3.
对称,∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2 3,∴|y1|=|y2|= 3,代入圆 x2+y2=4,得 x2+3=4,
∴x=±1,∴A(±1, 3)或 A(±1,- 3),代入抛物线方程,得( 3)2=±a,∴a=±3.
∴所求抛物线方程是y2=3x或y2=-3x.
规律方法
利用抛物线的性质可以解决的问题
A. 5
B.2
C. 3
D. 2
解析 过点P作PP'垂直于直线x=-1,垂足为P',设抛物线的焦点为F,则F(1,0).
由y2=4x,可知x=-1是抛物线的准线.由抛物线的定义知点P到该抛物线准线
的距离为|PP'|=|PF|,则点P到点A(0,-1)的距离与点P到该抛物线准线的距