【高中数学课件】抛物线的几何性质1 ppt课件
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抛物线的性质ppt课件
x
p
2
P1
l
p
p
端点为
(
, p )
特别地, 当x1 x2 时, AB 2 p, 此时 AB 为抛物线的通径.
2
2
y
y
设P ( x0 , y0 )，
l
P
P1
F
P
O
l
则由抛物线的定义，
|PF| | P1 P | x0
p
2
设P ( x0 , y0 )，
P1
x
O
则由抛物线的定义，
p
y k ( x 1)
联立 2
得k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0(k 0).
y 4x
4
4
x1 x2 2 2 . PQ PF QF x1 x2 2 4 2 8.
k
k 2 1. k tan [1,0) (0,1].
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
2
2
3
9
y 3( x ) 2
联立
2 得x 5 x 0. 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
F
B
p
AF AA' p AF cos AF (1 cos ) p AF
1 cos
p
BF p BF cos BF
1 cos
上－下+
为直线的倾斜角.
高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口大小与函数值随x变化的幅度有关，开口越小，函数值变化幅度越小；开口 越大，函数值变化幅度越大。
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时PPT课件(人教版)
（2）关于y轴对称，准线经过点E(5,-5)；
（3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16 的点P，且FP平行于准线.
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线 相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为 F (1，0)， 所以直线 AB 的方程为 y 0 1 ( x 1) ，即 y x 1 ， ①
p y＝ 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1.范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0 x 0
p0
所以抛物线的范围为 x 0
o F ( p ,0) x
2
2.对称性 视察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p＞0)
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
作业：课本136页练习1,2,3,4
2.4.2抛物线的简单几 何性质(1)
1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.归纳、对照四种方程所表示的抛物线的几何性质.
1.数学抽象：抛物线的几何性质 2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质 3.数学运算：抛物线几何性质的简单应用
1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的准线 .
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
（3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16 的点P，且FP平行于准线.
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线 相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为 F (1，0)， 所以直线 AB 的方程为 y 0 1 ( x 1) ，即 y x 1 ， ①
p y＝ 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1.范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0 x 0
p0
所以抛物线的范围为 x 0
o F ( p ,0) x
2
2.对称性 视察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p＞0)
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
作业：课本136页练习1,2,3,4
2.4.2抛物线的简单几 何性质(1)
1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.归纳、对照四种方程所表示的抛物线的几何性质.
1.数学抽象：抛物线的几何性质 2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质 3.数学运算：抛物线几何性质的简单应用
1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的准线 .
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
抛物线的几何性质 教学课件(共46张PPT)高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
2
5.已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点坐标为 F(1,0) ，则抛物线上的动点 P 到点
C M (3p,0) 的距离 MP 的最小值为( )
A.2
B.4
C. 2 5
D.4 5
解析：由题意，得抛物线的标准方程为 y2 4x .设抛物线上动点 P 的坐标为
x0, y0 ，则 y02 4x0 .由 M (6, 0) ，得| MP |2 x0 62 y02 x02 12x0 36 4x0 x0 42 20 .因为 x0 0 ，所以当 x0 4 时，| MP |2 取得最小值 20，即| MP |2 20 ，
y2
4ty
4s
0
.
则 y1 y2 4t ， y1 y2 4s .
OA OB ，OAOB 0 ，即 x1x2 y1y2 0 ，
即
y12 4
y22 4
y1 y2
0
，化简，得
y1 y2
16
解析： 抛物线 y 4x2 的标准方程为 x2 1 y ， 其准线方程为 y 1 .
4
16
直线 y 1 关于 y x 对称的直线的方程为 x 1 ，
16
16
所求的抛物线的准线方程为 x 1 . 16
9.抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，过抛物线上一点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴 于点 M，抛物线的准线交 x 轴于点 N，四边形 PMNF 为平行四边形，则点 P 到 x
所以| MP | 2 5 ，即动点 P 到点 M (3p,0) 的距离的最小值为 2 5 .故选 C.
6.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，且| AB | 16 . 3
D 若 AF t FB （其中t 1），则实数 t 的值为( )
5.已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点坐标为 F(1,0) ，则抛物线上的动点 P 到点
C M (3p,0) 的距离 MP 的最小值为( )
A.2
B.4
C. 2 5
D.4 5
解析：由题意，得抛物线的标准方程为 y2 4x .设抛物线上动点 P 的坐标为
x0, y0 ，则 y02 4x0 .由 M (6, 0) ，得| MP |2 x0 62 y02 x02 12x0 36 4x0 x0 42 20 .因为 x0 0 ，所以当 x0 4 时，| MP |2 取得最小值 20，即| MP |2 20 ，
y2
4ty
4s
0
.
则 y1 y2 4t ， y1 y2 4s .
OA OB ，OAOB 0 ，即 x1x2 y1y2 0 ，
即
y12 4
y22 4
y1 y2
0
，化简，得
y1 y2
16
解析： 抛物线 y 4x2 的标准方程为 x2 1 y ， 其准线方程为 y 1 .
4
16
直线 y 1 关于 y x 对称的直线的方程为 x 1 ，
16
16
所求的抛物线的准线方程为 x 1 . 16
9.抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，过抛物线上一点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴 于点 M，抛物线的准线交 x 轴于点 N，四边形 PMNF 为平行四边形，则点 P 到 x
所以| MP | 2 5 ，即动点 P 到点 M (3p,0) 的距离的最小值为 2 5 .故选 C.
6.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，且| AB | 16 . 3
D 若 AF t FB （其中t 1），则实数 t 的值为( )
抛物线的简单几何性质ppt课件
所以开口向左，焦点坐标为
1 2
,
0
，准线为
x
1 2
，对称轴为
x
轴，
即 D 正确，ABC 错误.
2.若抛物线 y2 4x 过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式
为( C )
A. m n 4
B. mn 4
C. 1 1 1 mn
D. 1 1 2 mn
解析：令过焦点的弦为 x ky 1，与抛物线交点分别为 A、B，
下面介绍另一种方法——数形结合的方法
在图中，设 A x1, y1 ， B x2, y2 .由抛物线的定义可知， AF 等于点 A 到准线的
距离 AA' .由 p
2， p 2
1 ，得 AA'
x1
BF
BB '
x2
p 2
x2 1 ，于是得 AB
p 2
x1
AF
1 .于是 AF x1 1 ，同理， BF =x1+x2 +p x1+x2 +2 .
4.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
高二数学抛物线的简单几何性质1省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
PF QF
PF QF 0 即( p, y1) ( p, y2 ) 0
p2 y1 y2 0
即y1 y2 p2
易得：x1x2
p2 4
Py A
O •F
x
Q
B
12/15
例5、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外 两个顶点在抛物线y2 2 px（p 0）上，求这个 正三角形的边长.
K.
OF
x
－－抛物线标准方程
2/15
2、抛物线标准方程：
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
8/15
三、例题选讲：
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,而且过点
M(2, 2 2 )抛物线有几条,求它标准方程.
当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时, 设为y2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可 防止讨论！
1.抛物线只位于半个坐标平面内,即使它能够无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线离心率是确定e=1; 5.抛物线标准方程中p对抛物线开口影响.
3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3
4
y＝ （x－1），
3
与抛物线方程联立，得
消去 y，
y2＝4x，
整理得 4x 2－17x＋4＝0.
17
25
由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p＝
＋2＝
.
4
4
25
所以线段 AB 的长为
.
4
典例剖析
[方法提升] 求过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长：
(1)焦点弦长公式；
(2)两点间距离公式；
2
法三：
y
2
p
p
AFx1 , BFx2 ,
2
2
AB AFBFx1 x2 p.
o
’
l
F
B
x
典例剖析
题型一：抛物线几何性质的应用
例 1：已知 A，B 是抛物线 y2＝2px(p＞0)上两点，O 为
坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的
焦点 F，求直线 AB 的方程.
复习导入
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线 ( 不
H
经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
┑
d
P
F
l
图形
复
习
导
入
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y2=2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x
y2=-2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x2=2py
(p＞0)
p
F (0, )
4
y＝ （x－1），
3
与抛物线方程联立，得
消去 y，
y2＝4x，
整理得 4x 2－17x＋4＝0.
17
25
由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p＝
＋2＝
.
4
4
25
所以线段 AB 的长为
.
4
典例剖析
[方法提升] 求过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长：
(1)焦点弦长公式；
(2)两点间距离公式；
2
法三：
y
2
p
p
AFx1 , BFx2 ,
2
2
AB AFBFx1 x2 p.
o
’
l
F
B
x
典例剖析
题型一：抛物线几何性质的应用
例 1：已知 A，B 是抛物线 y2＝2px(p＞0)上两点，O 为
坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的
焦点 F，求直线 AB 的方程.
复习导入
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线 ( 不
H
经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
┑
d
P
F
l
图形
复
习
导
入
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y2=2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x
y2=-2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x2=2py
(p＞0)
p
F (0, )
抛物线的简单几何性质 PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修一)
国家中小学：XX
日期：XX年XX月XX日
问题1：在椭圆、双曲线中我们研究了它们哪些几何性
质？用什么方法研究的？
标准方程
2
2
+
2
2
2
−
2
2
=1
1
O
2
x
y
=1
> 0, > 0
高中数学
性质
研究方法
y
>>0
2
图象
1
O
2
x
范围、对称性、
顶点、离心率
谢谢观看
祝同学们学习生活愉快！
高中数学
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
y
A
那么 还等于 1 + 2 + 吗？
+
= 1 + + 2 +
2
2
= 1 + 2 + >
高中数学
O
F
x
B
小结：
解
法
特
点
联立直线与抛物线
1
方程，解方程组
直接，
具有一般性
计算量大
2 应用根与系数关系
简化计算
需要掌握技巧
3 用抛物线定义转化
运算极简
适用有局限
日期：XX年XX月XX日
问题1：在椭圆、双曲线中我们研究了它们哪些几何性
质？用什么方法研究的？
标准方程
2
2
+
2
2
2
−
2
2
=1
1
O
2
x
y
=1
> 0, > 0
高中数学
性质
研究方法
y
>>0
2
图象
1
O
2
x
范围、对称性、
顶点、离心率
谢谢观看
祝同学们学习生活愉快！
高中数学
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
y
A
那么 还等于 1 + 2 + 吗？
+
= 1 + + 2 +
2
2
= 1 + 2 + >
高中数学
O
F
x
B
小结：
解
法
特
点
联立直线与抛物线
1
方程，解方程组
直接，
具有一般性
计算量大
2 应用根与系数关系
简化计算
需要掌握技巧
3 用抛物线定义转化
运算极简
适用有局限
3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
关于x轴
对称
( x, y )
O
•
F
(
p
,0)
2
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
x
3.顶点
定义：抛物线与它的对称轴的交
y
点叫做抛物线的顶点.
y2
= 2px (p>0)中，
叫做抛物线的焦半径.
y
焦半径公式：
p
MF x0
2
H
y2 = 2px
d
M (x0,y0)
O
•
F( p ,0) x
2
方程 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py
图
形
y
l
M
O F
M
x
F
y
y
l
O
F M
x
O
l
焦半
径
y
x
O
F
l
M x
p
p
p
p
MF x0
MF
例4.斜率为1的直线 l 经过抛物线
且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
解:F(1,0),直线l:y=x-1
y x 1
由 2
消y得：x 2 6 x 1 0
y 4xyA来自oFB
法2：设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
x1 x2 6
x1 x2 1
由 2
y 4x
高中抛物线通用课件
02 抛物线的焦点和准线是相互垂直的，且距离为 $|p|$。
抛物线的开口方向与大小
抛物线的开口方向由焦点的位置 决定，焦点在 $x$ 轴正半轴上 时，开口向右；焦点在 $x$ 轴
负半轴上时，开口向左。
抛物线的开口大小由焦距 $p$ 的绝对值决定，$|p|$ 值越大， 开口越大；$|p|$ 值越小，开口
04
抛物线的作图与计算
抛物线的作图方法
直接作图法
通过抛物线的定义，利用 直尺、圆规等工具直接画 出抛物线。
参数法
引入参数方程，通过参数 的变化来绘制抛物线。
坐标法
利用抛物线的标准方程， 通过坐标变换和函数图像 绘制抛物线。
抛物线的计算方法
标准方程法
利用抛物线的标准方程， 求出焦点、准线等几何量 。
越小。
当 $p = 0$ 时，抛物线退化为 一条直线，即 $y = 0$。
03
抛物线的应用
抛物线在几何图形中的应用
抛物线与椭圆、双曲线的比较
通过比较抛物线与椭圆、双曲线的定义和性质，理解抛 物线的几何特性。
抛物线与直线的位置关系
研究抛物线与直线相交、平行和垂直的条件，以及这些 条件下的几何意义。
抛物线在实际问题中的应用
01
抛物线与物理学
理解抛物线在物理学中的应用，如斜抛运动、光 线的反射和折射等。
02
抛物线与经济学的关系
探讨抛物线在经济学中的运用，如需求曲线、成 本曲线等。
抛物线与其他数学知识的综合应用
抛物线与三角函数
结合三角函数的知识，研究抛物线的周期性和对 称性。
抛物线与导数
利用导数研究抛物线的极值点和切线斜率，解决 实际问题中的最优化问题。
当 $p > 0$ 时，抛物线开口向右；当 $p < 0$ 时 02 ，抛物线开口向左。
高中数学抛物线的几何性质总结课件
准线上的点到抛物线焦点的距离相等 。
抛物线的离心率与焦距的关系
01
02
03
04
离心率
抛物线的离心率等于1。
焦距
抛物线的焦距等于2p，其中p 是抛物线的准线到焦点的距离
。
关系
离心率与焦距之间存在直接关 系，离心率越大，焦距越小；
离心率越小，焦距越大。
应用
了解离心率与焦距的关系有助 于解决一些与抛物线相关的几
将直线方程代入抛物线方 程，得到一元二次方程， 利用判别式非负求出交点 。
参数方程法
设定参数表示交点的坐标 ，代入抛物线方程和直线 方程，解出参数。
交点的性质
对称性
抛物线与直线交点的对称 性取决于抛物线的对称性 和直线的斜率。
唯一性
当直线与抛物线相切时， 交点唯一；当直线与抛物 线相交时，交点可能有两 个。
02
抛物线的几何性质
抛物线的对称性
总结词
抛物线具有对称性，其对称轴是 抛物线的准线。
详细描述
抛物线关于其准线对称，这意味着 对于抛物线上的任意一点P，其关 于准线的对称点也在抛物线上。
数学表达
如果点P(x,y)在抛物线上，那么点 P'(-x,-y)也在抛物线上。
抛物线的范围
01
总结词
抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的。
何问题。
THANK YOU
感谢各位观看
02 03
详细描述
对于开口向上的抛物线，其顶点是最低点，对于开口向下的抛物线，其 顶点是最高点。抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的，形成一个完 整的图形。
数学表达
对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，当a>0时，顶点为最低点；当 a<0时，顶点为最高点。
3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)(1)
于是 AB AF BF x1 x2 + 2.
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p
(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p
(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
3.3.2抛物线的简单几何性质1课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
思考：完成P136练习题2，思考抛物线标准方程中的p对抛物线开口有何影响？
y2=4x
4 3 2 1
-2 -1 -2 -3 -4 -5
y2=2x y2=x1 y2= 2 x
2
4
6
8
10
2p越大，抛物线张口越大. P越大,开口越开阔
y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
y
l A
F
O
B
B
A
x
P136练习题3、4
课堂小结
方程
抛
图
物
线
形
的
范围
简
单
对称性
几
顶点
何
性
焦半径
质
焦点弦
的长度
y2 = 2px （p＞0）
y2 = -2px （p＞0）
x2 = 2py （p＞0）
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0
关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
（0,0）
p 2
x0
思考 如果直线 l 不经过焦点 F ，AB 的长还等于 x1 x2 2 吗？
分析：如图，设 A(x1, y1) ，B(x2 , y2 ) ．由抛物
线的定义可知， AA 同理得 BF BB
x2
p
AF p
x1
2
2 x2 1
x1
AB AF BF x1 x2 2．
经过点 M (2, 2 2) ，所以可设它的标准方程为y2 2 px( p 0). 因为点 M 在抛物线上，所以 (2 2)2 2 p 2，
解得 p 2，因此，所求抛物线的标准方程是 y2 4x ．
抛物线的几何性质(一)精选教学PPT课件
我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不 到！” 猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经尽力而为了呀！” 再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？” 兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！” 泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会。 《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。 几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。 泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？” 这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
数学人教A版选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质课件(1)
由抛物线 = ( > )
有 2 px y 2 0
p0
x 0
所以抛物线的范围为 x 0, y R
2.对称性
问题2 视察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的对称性如何？
以−代，方程 = ( > )不变，
所以抛物线关于轴对称．
把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
距离的比
，叫做抛物线的离心率，用e表示．
由抛物线的定义可知， = .
5.焦半径
抛物线的焦半径：
连接抛物线任意一点与焦点的线段.
思考: 如图 , 是抛物线上任意一点，
焦点为，如何求焦半径 ？
p
焦半径公式： MF x0
2
6.焦点弦
过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦.
长度为2p
利用抛出抛物线的草图.
p
, p
2
2p
O
l
F
p
, p
B 2
x
方程
y2 = 2px
y
y
图形
对称性
x
x≥0, y∈R
焦点弦
通径
l
x
x≤0, y∈R
y
F
O
l
O F
x
l
x∈R, y≥0
x
x∈R, y≤0
关于y轴对称
关于x轴对称
【课本】例4 斜率为1的直线经过抛物线 = 的焦点，且与抛物线
相交于、两点，求线段的长.
解: (法3)由题可知，焦点的坐标为(，)，准线方程为 = −.
如果直线不经过
如图，设( , ) ， ( , )
人教版高中数学课件-抛物线的简单几何性质(1)
x p
y02
2 p
.
2p 2
联立可得点B的纵坐标为y
p2
.
y0
DB
所以DB// x轴。
例4.已知拋物線y=x2,動弦AB的長為2，求AB中 點縱坐標的最小值。
y
M
AF
o
解：设A(x , y ), B(x y ), AB中点M (x, y)
11
22
B
2 MN
AD BC ,
MN
p y 1 y,
证明：以抛物线的对称 轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛 物线的方程为 y2 2 px,
点A的坐标为( y02 2p
抛物线的准线是
, y0),则直线OA的方程为y x p
2p y0
x,
y
A
2 联立可得点D的纵坐标为y
p2
.
因为点F的坐标是(
p
y0
,0),所以直线A
F的
2
OF
x
方程为 y y0
焦點F，且與拋物線相交於A，B兩點，求線 段AB的長。
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
例2、已知過拋物線 y2 2 px( p 0) 的焦點F的
直線交拋物線於 A(x1, y1)、B(x2, y2)兩點。
（1）x1 x2 是否為定值？y1 y2 呢？
（2）|
1 FA
|
|
1 FB
|
是否為定值？
y
A ( x1, y1)
1抛物线的几何性质 人教版高中数学第三册课件
标准方程:x为 2 8y
2020/7/2
练习2 求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2 =2py，得p= 9 4
当焦点在x轴的负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
3
∴抛物线的标准方程为x2
=
9
2
2020/7/2
焦点坐标
准线方程
（1） （2） （3） （4）
（5，0） （0，—18 ） （- —5 ，0）
8
（0，-2）
x= -5
y= - —1
8
x= —5
8
y=2
2020/7/2
新授内容
一、抛物线的范围: y2=2px
Y
•X 0 X •y取全体实数
2020/7/2
新授内容
二、抛物线的对称性 y2=2px
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜ y
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜C
B
所以EH是以AB为 直径的圆E的半径， 且EH⊥l，因而圆E 和准线l相切．
H
E
OF
x
DA
2020/7/2
练习 求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
x2 16y
2020/7/2
例．过抛物线y2=2px的焦点F任作一
条直线m，交这抛物线于A,B两点，求
证：以AB为直径的圆和这抛物线的准
线相切．
y
C
B
分析：运用
抛物线的定 H
E
义和平面几
OF
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-1
因为点M在-2 抛物线上，所以 (2 2)2 2p•2
-3
即: p=2. -4 因此所求抛物线的方程为 y2=4x.
-5
将方程变形为 y 2 x，.
思考x 题0：抛1 物2 线3y2=42px…中 的py对图0 形2有2影.8 响3.5 吗4？…
.A 抛物线的通径
o.
.
F
x
B
对称轴方程 y= 0
(0, 0)
y=0
(0 , 0)
x= 0
(0,0)
x=0
§8.6抛物线的简单几何性质
例1:已知抛物线关于 坐x 标轴轴 对称y，2=它4的x 顶点在坐标原点，并且
经过解点：M因(为2抛,4321物2 线2 关) ，于求x轴它对的称标，准它y方yy222的=程==2顶x，12x点并x在用原描点点，法画出图形. 并且过-2M（ 2,2 2 2 ）4，所以6 可设8 它的10 标准方程为y2=2px(p>0)
抛物线y2=2px(p>0)的顶点是坐标原点（0，0）. 4.离心率
抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离的比叫做离心率.
抛物线y2=2px(p>0)的离心率为 1.
§8.6抛物线的简单几何性质
图形 y
oF x
y F ox
y F ox y o Fx
范围 x≥0 x≤0 y≥0
y≤0
顶点坐标 (0, 0)
【高中数学课件】抛物线的几 何性质1 ppt课件
复习
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y
oF
x
y2=2px(p>0)
（ P ，0 ） 2
xP 2
y F ox
y
y2= -2px(p>0) （ P ，0）
2
x P 2
F
x2=2py(p>0)
ox
（ 0 ，P ） 2
yP 2
y 天Fo马行空官x方博客x：2=htt-p2://pt.qyq.(cpom>/t0m)xk_do（ cin ；0Q， Q:1318P2241） 189；QQ群：y1755696P232
§8.6抛物线的简单几何性质
思考例题3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2 米，水面宽4米. 水若下在降水1面米上后有，一水宽面为宽2多米少，？高为1.6米
的船只，能否安全通过此拱桥？
A（2，-2） x2=-2y
水面宽 2 6
B（1，y） y=-0.5
y
o
l
2B A
x
4
作业：P123习题8.6 1、2、3
（2）x2 20y （4）x2 32y
§8.6抛物线的简单几何性质
例2:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛 物线的焦点处,已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛 物线的标准方程和焦点的位置.
y A
A（40，30）
· O F
x
B
P 45 4
y245x 2
F（45， 0） 8
课件制作：王志毅
§8.6抛物线的简单几何性质
对于抛物线 y2=2px(p>0), 我们来研究它的几何性质: 1.范围
抛物线y2=2px(p>0)上的每一点都位于y轴的右侧,即x≥0. 2.对称性
抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,即x轴是它的对称轴.
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 3.顶点
抛物线与其对称轴的交点叫做顶点.
x2 2y
§8.6抛物线的简单几何性质
练习
求适合下列条件的抛物线方程：
（1）顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点M（5，-4）;
（2）顶点在原点，焦点是F（0，5）;
先定型，再定量 （3）顶点在原点，准线是 x=4;
（4）焦点是F（0，-8），准线是 y=8.
（1）y2
16 5
x
（3）y2 16x
因为点M在-2 抛物线上，所以 (2 2)2 2p•2
-3
即: p=2. -4 因此所求抛物线的方程为 y2=4x.
-5
将方程变形为 y 2 x，.
思考x 题0：抛1 物2 线3y2=42px…中 的py对图0 形2有2影.8 响3.5 吗4？…
.A 抛物线的通径
o.
.
F
x
B
对称轴方程 y= 0
(0, 0)
y=0
(0 , 0)
x= 0
(0,0)
x=0
§8.6抛物线的简单几何性质
例1:已知抛物线关于 坐x 标轴轴 对称y，2=它4的x 顶点在坐标原点，并且
经过解点：M因(为2抛,4321物2 线2 关) ，于求x轴它对的称标，准它y方yy222的=程==2顶x，12x点并x在用原描点点，法画出图形. 并且过-2M（ 2,2 2 2 ）4，所以6 可设8 它的10 标准方程为y2=2px(p>0)
抛物线y2=2px(p>0)的顶点是坐标原点（0，0）. 4.离心率
抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离的比叫做离心率.
抛物线y2=2px(p>0)的离心率为 1.
§8.6抛物线的简单几何性质
图形 y
oF x
y F ox
y F ox y o Fx
范围 x≥0 x≤0 y≥0
y≤0
顶点坐标 (0, 0)
【高中数学课件】抛物线的几 何性质1 ppt课件
复习
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y
oF
x
y2=2px(p>0)
（ P ，0 ） 2
xP 2
y F ox
y
y2= -2px(p>0) （ P ，0）
2
x P 2
F
x2=2py(p>0)
ox
（ 0 ，P ） 2
yP 2
y 天Fo马行空官x方博客x：2=htt-p2://pt.qyq.(cpom>/t0m)xk_do（ cin ；0Q， Q:1318P2241） 189；QQ群：y1755696P232
§8.6抛物线的简单几何性质
思考例题3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2 米，水面宽4米. 水若下在降水1面米上后有，一水宽面为宽2多米少，？高为1.6米
的船只，能否安全通过此拱桥？
A（2，-2） x2=-2y
水面宽 2 6
B（1，y） y=-0.5
y
o
l
2B A
x
4
作业：P123习题8.6 1、2、3
（2）x2 20y （4）x2 32y
§8.6抛物线的简单几何性质
例2:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛 物线的焦点处,已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛 物线的标准方程和焦点的位置.
y A
A（40，30）
· O F
x
B
P 45 4
y245x 2
F（45， 0） 8
课件制作：王志毅
§8.6抛物线的简单几何性质
对于抛物线 y2=2px(p>0), 我们来研究它的几何性质: 1.范围
抛物线y2=2px(p>0)上的每一点都位于y轴的右侧,即x≥0. 2.对称性
抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,即x轴是它的对称轴.
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 3.顶点
抛物线与其对称轴的交点叫做顶点.
x2 2y
§8.6抛物线的简单几何性质
练习
求适合下列条件的抛物线方程：
（1）顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点M（5，-4）;
（2）顶点在原点，焦点是F（0，5）;
先定型，再定量 （3）顶点在原点，准线是 x=4;
（4）焦点是F（0，-8），准线是 y=8.
（1）y2
16 5
x
（3）y2 16x