传热学课件：第四章 数值解法

上的标号m、n来表示。
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导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n △y
步长
m,n
△x
m
2、步长（step length）： 相邻两节点之间的距离称
为步长。记为△x、 △y。
M
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导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
3、均分网格
x方向和y方向是各自均分的， 称为均分网格。根据实际问 题的需要，网格的划分常常
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
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导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场 （initial field）
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导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
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导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
上节回顾
能量守恒方程
傅里叶导热定律
稳态导热 非稳态导热
导热微分方程 边界条件 初始条件
数值解法
典型一维稳态 肋片导热 有内热源的导热

y 其中，规定：导入元体（ m,n ）的热 流量为正；导出元体（ m,n ）的热流 量为负。 在未知温度高低的情况下一律以周围 节点或流体温度都高于该节点温度来 列方程。
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
x
2014年5月14日10时21分
杨祥花
说明： ① 上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进 行的； ② 热平衡法概念清晰，过程简捷； ③ 热平衡法与建立微分方程的思路与过程 一致，但不同的是前者是有限大小的元体， 后者是微元体。
控制容积：节点代表的区域
n
y
y x
x
m
2014年5月14日10时21分 杨祥花
M
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其 过程如下： • 首先划分各节点的类型； • 其次，建立节点离散方程； • 最后，代数方程组的形成。 对节点 (m,n) 的代数方程，当 △x=△y 时，有：
2014年5月14日10时21分
杨祥花
• 数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概 括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量 的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上 的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物 理量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物 理量的数值解。
2014年5月14日10时21分
杨祥花
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 2 2 2 t t t t ( 2 2 2) c x y z c 一、问题提出
1、对于一维稳态导热，可用理论法求解
2、若 H 不满足，二维导热，如图 3、二维稳态无内热源的导热微分方程式 2t 2t 2 0 2 x y （ a）

若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
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(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
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第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
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第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt

(8c)
(8b)
aP aW aE ( S p A) P x
bP ( Sc A) P x

(8d)
下标：大写字母表示在节点处取值，小写字母表示在 相应的控制面处取值
4.1 一维稳态导热问题的数值解

可能的改进方案：对源项积分时采用线性分布
A (x) (x) w w S P AP aW 2(x) w x w
dT dx T2 T1 (x)1 (9)
x 0
T2 T1 dT qB 1 (x)1 dx x 0
4.1 一维稳态导热问题的数值解 边界条件的处理

整理后得到：
T1 T2 (x)1
1
qB
(10)

特点： 最简单的处理方法 只有一阶精度 与控制方程的精度不匹配
( Sc A) P x ( S p A) P xTP 0 (7)

整理后得到，
aPTP aW TW aETE bP (8)

其中，
4.1 一维稳态导热问题的数值解
aPTP aW TW aETE bP

(8)
其中，
A aW x w (8a) A aE x e
e
(5)
(x)w
(x)+w (x)-e
(x)e
W
(x)-w
w
P
x
e
E
(x)+e
图 1 一维问题空间区域的离散化
4.1 一维稳态导热问题的数值解
SA( x)dx (S
w w
e
e
c
S pT ) A( x)dx