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第2章_向量与矩阵习题解1

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习题2 2-1．设T)6,3,1(，T)5,1,2(，T)3,3,4(，求： （1）732； （2）23． 解（1） 7327(1,3,6)3(2,1,5)2(4,3,3)(7,24,21)TTTT. 解（2） 232(1,3,6)3(2,1,5)(4,3,3)(0,0,0)TTTT. 2-2．设(1,1,1,1)T，(1,2,2,1)T, （1）将,化为单位向量； （2）向量,是否正交.

解（1） T)1,1,1,1(211,T)1,2,2,1(1011. 解（2） 由于(,)0,所以向量,正交. 2-3．计算：

（1）390201062317423；

（2）10101211153212121132. 解（1） 247610200213132093303. 解（2） 311111173221252106341231013411. 2-4．计算下列乘积： （1）127075321134.

解 43173512328570149. （2）101112111321212113. 解 311111621212211611123101814. （3）11112122122212000000nnmmmmndaaadaaadaaa. 解 11112122122212000000nnmmmmndaaadaaadaaa 111112112212222212nn

mmmmmmn

dadadadadada

dadada











.

（4）11121121222212000000nnmmmnnaaadaaadaaad. 解 11121121222212000000nnmmmnnaaadaaadaaad 111122121122221122nnnn

mmmnn

adadadadadad

adadad











.

（5）111213112312222321323333(,,)aaaxxxxaaaxaaax. 解 111213112312222321323333(,,)aaaxxxxaaaxaaax 222111222333121213132323222axaxaxaxxaxxaxx

2-5．已知 )2,0,1,1(A，(4,1,2,1)TB,

求AB和TTBA． 解 )5(AB.





2428000012141214

TTBA.

2-6．如果)(21EBA，证明AA2当且仅当EB2时成立． 证 必要性. 已知)(21EBA,且AA2,有 4

211

()()22BEBE



,

即 2112()42BBEBE, 化简得 2BE. 充分性. 由)(21EBA得 2BAE, 又 EB2,代入得

2(2)AEE,

化简得 2AA. 证毕. 2-7．设2TAE，其中E是n阶单位矩阵，是n维单位列向量．证明对任意一个n维列向量，都有A． 证 因2TAE,故对任意一个n维列向量有,2TA, 从而有 2,2,2TTAAA

22TTT



2224444,TTTTTTTTTTTTTTTT



故有A，证毕. 2-8．对于任意的方阵A，证明： （1）TAA是对称矩阵，TAA是反对称矩阵； （2）A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和． 证（1） 由TTTTTTTAAAAAAAA,所以TAA是对称矩阵； TTTTTTTAAAAAAAA,所以TAA是反对称矩阵.

证（2） 1122TTAAAAA. 2-9．证明：如果BA,都是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B是可交换的． 证 必要性. 因,TTAABB，且TABAB,有

TTTABBABAAB,

所以A与B是可交换的. 充分性. 由,TTAABB，及ABBA，得

TTTABBABAAB，

所以AB是对称矩阵. 2-10．设A是一个n阶对称矩阵，B是一个反对称矩阵，证明BAAB是一个反对称矩阵．

证 由,TTAABB，得

TTTTTTTABBAABBABAAB

BAABBAAB，

所以BAAB是一个反对称矩阵． 2-11．设n,,1是n个线性无关的向量，nnnkkk22111，

其中12,,,nkkk全不为零．证明121,,,n中任意n个向量线性无关． 证 从向量组121,,,n中任取n个向量12111,,,,,,iin，设

有一组常数,1,,1,1,,1jljiin使得 11111111iiiinnllllO （*） 当1in时，n,,1线性无关，结论成立；

当1in时，将nnnkkk22111代入（*）式得 11111111122,iiiinnnllllkkkO

整理得

1111111111111()()()niniiniiiniillkllklkllk

1()nnnnllkO, 由于n,,1是n个线性无关的向量，所以

1111111111111111111111000000nniniinininiiniininnnnnnllkllkllkllklklkllkllkllkllk















，

由于12,,,nkkk全不为零，所以0,1,,1,1,,1jljiin，则向量组12111,,,,,,iin线性无关，故121,,,n中任意n个向量线性无关．

2-12．设向量组321,,线性相关，向量组432,,线性无关， （1）1能否由32,线性表示？证明你的结论或举出反例． （2）4能否由321,,线性表示？证明你的结论或举出反例． 解（1） 1能由32,线性表示. 因321,,线性相关，必有一组不全为零的常数123,,kkk，使得112233kkkO，下面只要证明10k即可. 若10k，则23,kk不全为0，于是有2233kkO，即23,线性相关；又由432,,线性无关，所以其部分组32,必线性无关，得出矛盾，从而各

10k，即1能由32,线性表示. 解（2） 4不能由321,,线性表示. 如，1(1,0,0)T2,(1,0,0)T，

3(0,1,0)T，4(0,0,1)T，显然，321,,线性相关，432,,线性无关，但是4不能由321,,线性表示. 2-13．求下列矩阵的秩：

（1）7931181332111511.

解 2131413115111511123027431810274139704148rrrrrr 324221151027400000000rrrr











，所以矩阵的轶为2.

（2）11011111100222021110 解 140111211011022200222001111011111101101112rr

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线性代数习题集(带答案)

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第一部分 专项同步练习第一章 队列式一、单项选择题1． 以下摆列是 5 阶偶摆列的是 ().(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523(D)243512．假如 n 阶摆列 j 1 j 2j n 的逆序数是 k , 则摆列 j n j 2 j 1 的逆序数是 (). (A) k (B) n kn! kn(n 1)k(C)(D)223. n 阶队列式的睁开式中含 a 11a 12 的项共有 ()项 .(A) 0(B) n 2(C) (n2)!(D) (n1)!0 0 0 14．0 10 ( ).0 1 0 0 1 0 0(A) 0(B) 1(C) 1(D) 20 0 1 00 1 0 0 ).5.0 0 (0 1 10 0 0(A) 0(B) 1(C) 1(D) 22x x 1 11 x 12 ).6． 在函数 f ( x)2 x 中 x3 项的系数是 (33 01(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2a11a12a131，则 D 12a 11 a 13 a 112a 127. 若 Da21 a22 a232a 21 a23a212a 22().a31a32a3322a 31a33 a312a 32(A) 4(B) 4(C) 2 (D)28． 若 a 11a 12a ，则 a 12ka 22().a 21 a 22a 11ka 21(A) ka(B) ka(C) k 2 a (D) k 2a9． 已知 4 阶队列式中第 1 行元挨次是4,0,1,3, 第 3行元的余子式挨次为2, 5,1, x , 则 x ().(A) 0(B) 3(C) 3(D) 28 7 4 310.若 D6 2 31 ).1 1 1，则 D 中第一行元的代数余子式的和为 ( 14375(A) 1(B) 2(C) 3(D) 03 04 011. 若 D1 11 1，则 D 中第四行元的余子式的和为 ().0 1 0 05322(A) 1(B) 2(C) 3(D) 0x 1 x 2 kx 3 012. k 等于以下选项中哪个值时，齐次线性方程组x 1kx 2 x 3 0 有非零解 .kx 1 x 2x 3 0()(A) 1(B) 2 (C) 3(D) 0二、填空题优选1. 2n 阶摆列24 (2n)13 ( 2n 1) 的逆序数是.2．在六阶队列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是.3．四阶队列式中包括a22a43且带正号的项是.4．若一个n阶队列式中起码有n2 n 1 个元素等于0 , 则这个队列式的值等于.1 1 1 05.0 1 0 1队列式1 1.0 10 0 1 00 1 0 00 0 2 06．队列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a11 a1(n1)a1n7．队列式a21 a2 (n 1) 0 .an1 0 0a11a12a13a11a13 3a12 3a128．假如D a21 a22a23 M ，则D1a21a23 3a22 3a22 .a31 a32a33a31a33 3a32 3a329．已知某 5 阶队列式的值为5，将其第一行与第 5 行互换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新队列式的值为.1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 10． 队列式x 1 1 .1 1 x 11 1 11 11 11111． n 阶队列式.11112． 已知三阶队列式中第二列元素挨次为 1,2,3, 其对应的余子式挨次为 3,2,1，则该队列式的值为.1 2 3 45 6 7 8 1, 2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式，13．设队列式 D 3 2 ，A 4 j ( j 4 1 8 7 6 5则 4A 41 3A 4214． 已知 D2 A 43 A 44.a bc ac b a b ， D 中第四列元的代数余子式的和为.b a cca cb d1 2 3 415． 设队列式 D3 34 4 6 ， A 4 j 为 a 4 j ( j 1, 2, 3, 4) 的代数余子式，则1 5 6 711 22A 41A42， A 43A44.优选1 3 5 2n 11 2 0 016．已知队列式 D 1 0 3 0 ， D 中第一行元的代数余子式的和为1 0n.kx 1 2x 2x 3 017．齐次线性方程组 2x 1 kx 2 0 仅有零解的充要条件是.x 1x 2 x 3 0x 12x 2 x 3 018． 若齐次线性方程组2x 25x 30 有非零解，则 k = .3x 1 2x 2 kx 3三、计算题a b c dx y x ya 2b 2c 2d 21.;2．y x y x ；a3b3c3d3x yxy b c d a c d a b d a b cx a 1 a 20 1x 1a 1 x a 2．解方程 1 0 1 x 0 ；4． a 1 a 2 x3x 1 1 01 x1 0a 1 a 2 a 3a 1 a 2 a 3a n 2 1 a n 21 a n21 ；x1a n 1 1a0 1 1 11 a1 1 15. 1 1 a2 1 ( a j1, j 0,1, , n )；1 1 1a n1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 1111(n 1) b1 1 1 1b1 a1 a1 a17. b1 b2 a2 a2 ；b1b2b3a n1 x12 x1 x2 x1x n9. x2 x1 1 x22 x2xn ;x n x1 x n x2 1 x n21 a a 0 0 01 1 a a 0 0 11． D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 ax a1 a2 a na1 x a2 a n 8． a1 a2 x a n ;a1a2a3x2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 0 10.0 0 0 2 10 0 0 1 2优选四、证明题a 2 1a1 1a2ab 2 1b1 1 1． 设 abcd 1，证明：b 2b0 . 211c c1c 2 cd 21d1 1d 2 da 1b 1 x a 1x b 1c 1 a 1 b 1 c 12． a 2 b 2 x a 2 x b 2c 2 (1 x 2 ) a 2 b 2 c 2 .a 3b 3x a 3x b 3c 3a 3b 3c 31 1 1 1 abcd3．2b 2c 2d 2 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)( d c)(a b c d ) . aa 4b 4c 4d 41 1 1 a 1a 2a n222na 1a 2a na i(a j a i ) .4．i 11 ij na 1n 2a 2n 2a n n 2a 1na 2na n n1 1 15． 设 a,b, c 两两不等，证明 a b c 0 的充要条件是 a b c0 .a 3b 3c 3参照答案一．单项选择题ADACCDABCDBB二．填空题1. n ;2. “ ” ;3. a 14 a 22 a 31a 43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1)n 1 n! ;n( n 1)7. ( 1)2a 1n a 2 (n 1) a n1 ; 8. 3M; 9. 160; 10. x 4 ; 11. ( n) n 1 ;12. 2 ;13.0 ; 14.0; 15.12,9; n117. k2,3; 18. k 716. n! (1) ;k 1k三．计算题1． ( a b cd)(b a)(c a)( d a)(cb)(db)(d c) ； 2.2( x 3y 3 ) ；x2,0,1n1a k )3.4.( x;k 1nn15.(a k1)(16.(2 b)(1 b) ((n2) b) ;0 ak) ;k 0k 1( 1) n nnn7.(b ka k ) ;8. ( xa k )( x a k ) ;k 1k 1k 1n9. 1x k ; 10. n 1;k 111. (1 a)(1 a 2a 4 ) .四 . 证明题 (略)优选第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为 n 阶方阵，则以下各式中建立的是 ( ) 。

线性代数2章精选练习题

线性代数2章精选练习题

2、单项选择题 第一章行列式1.下列排列是5阶偶排列的是（）. (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512•如果n 阶排列j 1j 2 j n 的逆序数是k,则排列j n j 2j 1的逆序数是（）.3. 4. 5.(A) k (B) n!k (C) I(D)n(n 1) k 2n 阶行列式的展开式中含 a^a 22的项共有（(A) 0(B) (C)(n 2)!(D)(n 1)!0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0).(A) 0(B) (C) (D) 20 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 01 0).(A) 0 (B)(C)(D) 26.在函数 f(x)2x1 3 01 2 3 1中x 3项的系数是（).(A) 0(B)1(C)1(D) 2a 11 a 12a 132，则2a na 13a 112a i27.若Da 21 a 22 a 23D 12a 21 a 23 a 21 2a 22a 31a 32a 332a 31a 33a 312a 32(A) 4(B)4(C) 2(D)8.若a 11 a i2则厲2ka 22( ).a ,a 21 a 22*1ka 21( 0).).2,5,1, X ,二、填空题 1. 2n 阶排列24(2n)13(2n 1)的逆序数是 _________2. 在六阶行列式中项a 32a 54a 41a 65a 13a 26所带的符号是3. 四阶行列式中包含a 22a 43且带正号的项是4.若一个n 阶行列式中至少有n 2 n 1个元素等于0,则这个行列式的值等于9. (A) ka (B)ka (C) 已知4阶行列式中第1行元依次是k 2a(D)k 2a4,0,1,3,第3行元的余子式依次为(A) 0 (B) (C) (D) 210.若 D 则D 中第一行元的代数余子式的和为().(A) 1 (B)(C)(D)11.若 D,则D 中第四行元的余子式的和为).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)kx 3X 1 X 212k :于下列选项中哪个值时， 齐次线性方程组X 1kx 2 X 30有非零解kx 1 X 2X 3()(A)1(B)2(C)3(D)32 251 1 11,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1 ,有元素，则所得的新行列式的值为11 11 1x 1x 11 10.行列式1 x 1 11x 111 1111 11. n 阶行列式1 1111112.已知三阶行列式中第二列元素依次为则该行列式的值为则 4阳 3A 42 2A 43 A 44 ______5.行列式 6 •行列式 1) a r11 耳1a 11 a 13 3a 〔2 3912a 12913 8.如果Da 21a 22a 23M ，则D 1a 21 a 233a ?23922931 932 933931 933 3932 3932a 211)7.行列式 5阶行列式的值为5,将其第一行与第9.已知某31(na 2(na 1n 0 5行交换并转置，再用2乘所1 2 3 45 6 7 8 ，A 4j (j4 3 2 18 7 6 513.设行列式D1, 2, 3, 4)为D 中第四行元的代数余子式,1.7A 44A 41 A 42kx-2x 2 X 3 017. 齐次线性方程组2x 1kx 20仅 有零解的充要条件是X 1X 2X 3 02x 2X 3 018. 若齐次线性方程组2x 2 5X 3 0有非零解，则k=.3为 2x 2 kx 3 0、计算题abcd2,22,2X y x y a b c d ； 2.3 ,3 3 ,3 yx yxabcd14.已知D 中第四列元的代数余子式的和为15.设行列式D1 3 1 123 5 1 34 6 26，A 4j 为a 4j (j 1,2,3, 4)的代数余子式，则16.已知行列式D2n 1 0 0,D 中第一行元的代数余子式的和为x y X ybed a c d a b d a b c1.7xa i1x1711.a ia 2a n 2 3 •解方程a 2 a n 2a 2 a 3 a 2a 3a n 15. 1 1 a 1 1 1 a 2(a j1,j0,1,,n)；a n6. (n 1) b11 1 1x a 1 a 2 a na a 1 a 1a 1 x a 2a n 7.b b 2 a 2 a 2 ； 8.a 1 a 2 x a nb b 2 b 3a na 1a 2 a 3x210 10 0X 1 %x 2x 2x 1 x f X 2X nJX n X 1x n X 21 X ：1 aa 0 0 01 1 a a 0 0 D0 1 1 aa 0 0 0 1 1 a a11 a29. 10.四、证明题设 abed 1,证明:ai Dxa 1xa 2b 2x a 2xa 3b 3x a 3X 1 1 1 abe2.22a b e 4.4 4ab e2. 13. b ib 2 b 3 d d 2 d 41 1 a 1a 24. 2a 12a 2n 2a 1n 2a 2na 1 na 2(b a n2a nb 21 a 1 b2 丄e1a1 b 10.a 1b 1 Ci (1 x 2) a 2b 2 C 2a 3b 3 e 3C1C 2C 3 a)(c a)(d a)(e b)(d b)(d e)(ana i(a j aj .i 11 i j nn 2a n a n1 1 5.设a,b,e 两两不等，证明a b3,3a b1 e 3e0的充要条件是a b参考答案.单项选择题A D A C C D ABCD B B3.2,0,1;4.(x aQn n 1 \5.(a k1)(1 —);6k 0k 0 a k 17. n(1)n(b k a k );8.k 1(2 b)(1 b) ((n 2) b);nn(xaQ(x a k );k 1k 110.•填空题 1. n ；2. ;3. a 【14a22a31 印3 ;4. 0 ;5.0 ;6. ( 1)n 1n!n(n 1)7.(1)a 1n a 2( n 1)a n1;8.3M ; 9. 160; 10. 4x ; 11.( n) n 112..2 ; 13. 0 ;14. 0 ;15. 12, 9 ;16. n!(1"-k);17. k 2,3k1k18..k 7三 -•计算题1 • (a b c d)(ba)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)；2. 2(x 3 y 3)；n 111. (1 a)(1 a 2 a 4). 四.证明题(略)第二章 矩阵、 1. A 、 单项选择题B 为n 阶方阵， 则下列各式中成立的是（）。

线性代数课后习题与答案

线性代数课后习题与答案

《线性代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式： （1）2345 （2）2163- （3）xxx x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。

同济大学第四版线性代数习题解答

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线性代数答案解答第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---； （2）b a c a c b cb a（3）222111c b a c b a ； （4）yxyx x y x y y x y x +++.解 （1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=（4）yxyx x y x y y x y x+++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-260523********12； （3）⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c ba100110011001 解(1)7110025102021421434327c c c c --010142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--321132c c c c ++141717201099-=0(2)2605232112131412-24c c -260532122130412-24r r -0412032122130412-14r r -0000032122130412-=0(3)efcfbfde cd bd ae ac ab---=ecbe c b e c badf ---=111111111---adfbce=abcdef 4(4)d cb a10110011001---21ar r +d cb a ab 10011011010---+=12)1)(1(+--d c a ab 101101--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab=23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明:(1)1112222b b a a b aba +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bzay byax +++++++++=yxzx z y z yxb a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a dcbad c b a))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅; (5)1221100000100001a x a a a a x xx n n n +----- n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)122222221312a b a b aa b a ab a c c c c ------=左边ab a b ab a ab 22)1(22213-----=+ 21))((ab a a b a b +--=右边=-=3)(b a (2)bzay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++++++++002yby ax z x bxaz y zbzay x a 分别再分bzay y x byax x zbxaz z y b +++zyxy x z x z yb y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yxzx z yzy x b yxzx z yz y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423dd c cb b a ac c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+d dd c c cb b b a a a(4) 444444422222220001a d a c ab a ad ac ab aa d a c ab a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a xD n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D :1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得nnnn a a a a D 11111=， 11112n nnn a a a a D = ，11113a a a a D n nnn=，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴=--=--nnn n nn n n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nn n nn n a a a a111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnnn n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaa x a a a xD n=; (3); 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+提示：利用范德蒙德行列式的结果．(4) nnnnnd c d c b a b a D000011112=;(5)ji a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nna a a D +++=11111111121,021≠n a a a 其中.解(1)aa aa aD n 00010000000001000=按最后一行展开)1()1(100000000010000)1(-⨯-+-n n n a aa)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax xa a x xa a x x a a a a xD n ------=0000000 ax a x a x a a a an x D n ----+=0000000)1(再将各列都加到第一列上，得)(])1([1a x a n x n --+=-(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4)nnnnn d c d c b a b a D 0011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 00000011111111----展开按第一行0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i i i nD c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)ji a ij -=432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n,3221r r r r --0432111111111111111111111--------------n n n n ,,141312c c c c c c +++1524232102221002210002100001---------------n n n n n=212)1()1(----n n n(6)nn a a a D +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------0000000000000000000000000022433221n n n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++nn n a a a a a a a a -------000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑+==n i in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D812073503211111------=145008130032101111---=142142005410032101111-=---=112105132412211151------=D 112105132********----=1121023313090509151------=233130905112109151------= 1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=11235122412111512-----=D 81150731203271151-------=31390011230023101151-=28428401910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DD x DD x DD x D D x(2)510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',)5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-=1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+=703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651-- 51065106565--=395-=11000051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即0=-μλμ得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？ 解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1．已知线性变换：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．解 由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ,150421321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B 求.23B A A AB T及-解A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=22942017222132 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算下列乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛; (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x;(6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635 (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142 (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876 (5)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321x x x a a a a a a a a a x x x()333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++= (6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问：(1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗?解(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2914148但=++222B AB A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610故2222)(B AB A B A ++≠+(3) =-+))((B A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10205222⎪⎪⎭⎫⎝⎛9060 而 =-22B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎪⎭⎫⎝⎛7182 故22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明下列命题是错误的:（１）若02=A ,则0=A ; （２）若A A =2,则0=A 或E A =;（３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =.解 (1) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 02=A ,但0≠A(2) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A A A =2,但0≠A 且E A ≠(3) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011YAY AX =且0≠A 但Y X ≠7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA ,求k A A A ,,,32 . 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A 利用数学归纳法证明: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A kk 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求k A .解 首先观察⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明: 当2=k时,显然成立.假设k 时成立，则1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵.证明 已知：A A T=则 AB B B A B A B B AB B T T T T TT T T ===)()(从而 AB B T也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =.证明 由已知：A A T = B B T=充分性：BA AB =⇒A B AB TT =⇒)(AB AB T = 即AB 是对称矩阵.必要性：AB AB T =)(⇒AB A B TT =⇒AB BA =.11．求下列矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001; (5)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2500380000120025; (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n 解(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5221A 1=A1),1(2),1(2,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A *-=A A A 11故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-12251A(2)01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A (3) 2=A , 故1-A 存在024312111==-=A A A 而 1613322212-==-=A A A21432332313-==-=A A A故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4121031200210001A24=A 0434232413121======A A A A A A68122444332211====A A A A12411032001)1(312-=-=A 12421012021)1(413-=-=A3121312021)1(514=-=A 4421012001)1(523-=-=A5121312001)1(624-=-=A 2121021001)1(734-=-=A*-=A AA11故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-4112124581031612100212100011A(5)01≠=A 故1-A 存在而002141312111==-==A A A A005242322212===-=A A A A 320043332313-====A A A A 850044342414=-===A A A A从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-85003200005200211A(6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解下列矩阵方程：(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ;(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 (1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2)1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)11110210132141--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111(4)11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x解 (1)方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x (2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x 14．设O A k =(k 为正整数),证明121)(--++++=-k A A A E A E .证明 一方面， )()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k=有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E A A A E k -++++=-两端同时右乘1)(--A E就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 满足O E A A =--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及 1)2(-+E A .证明 由O E A A =--22得E A A 22=-两端同时取行列式: 22=-A A即 2=-E A A ,故 0≠A所以A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A =--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒-又由O E A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒ E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ,B A AB 2+=,求B . 解 由B A AB 2+=可得A B E A =-)2(故A E A B 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3210113301210113321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133017．设Λ=-AP P 1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001,求11A .解 Λ=-AP P 1故1-Λ=P P A 所以11111-Λ=P P A3=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*1141P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120012001故⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273118．设m 次多项式m m x a x a x a a x f ++++= 2210)(,记m m A a A a A a E a A f ++++= 2210)()(A f 称为方阵A 的m 次多项式.(1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ2100λλ,证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λk k k2100λλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ)(00)()(21λλf f f ; (2)设1-Λ=P P A ,证明: 1-Λ=P P A k k ,1)()(-Λ=P Pf A f .证明(1) i)利用数学归纳法.当2=k 时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ212120000λλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222100λλ命题成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛ=Λ+212110000λλλλk k k k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++121100k k λλ 故命题成立. ii)左边m m a a a E a f Λ++Λ+Λ+=Λ= 2210)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m m m a a a 21211000001001λλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++=m m m m a a a a a a a a 2222210121211000λλλλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)(00)(21λλf f =右边 (2) i) 利用数学归纳法.当2=k 时12112---Λ=ΛΛ=P P P P P P A 成立假设k 时成立,则1+k 时11111-+--+Λ=ΛΛ=⋅=P P P P P P A A A k k k k 成立,故命题成立,即 1-Λ=P P A k kii) 证明 右边1)(-Λ=P Pf12210)(-Λ++Λ+Λ+=P a a a E a P m m11221110----Λ++Λ+Λ+=P P a P P a P P a PEP a m m m m A a A a A a E a ++++= 2210)(A f ==左边19．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若0=A ,则0=*A ;(2) 1-*=n AA .证明(1) 用反证法证明．假设0≠*A 则有E A A =-**1)(由此得O A E A A AA A ===-*-**11)()(O A =∴*这与0≠*A 矛盾，故当0=A 时有0=*A(2) 由于*-=A A A11, 则E A AA =*取行列式得到: nAA A =* 若0≠A 则1-*=n AA若0=A 由(1)知0=*A 此时命题也成立 故有1-*=n AA20．取⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A ,验证DC B ADC B A ≠检验: =D C BA =--10100101101001011010010100200002--410012002==而01111==D C B A故 DC B AD C B A ≠21．设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ,求8A 及4A解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故8218⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A OO A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8281A O O A 1682818281810===A A A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A OO A A22．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ．解 将1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O 分块为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C其中 1C 为n s ⨯矩阵, 2C 为s s ⨯矩阵3C 为n n ⨯矩阵, 4C 为s n ⨯矩阵则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯O B A O s s n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ==E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛s n E O O E 由此得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒==⇒==⇒==⇒=----122111144133)()(B C E BC B O C O BC A O C O AC A C E AC s n 存在存在故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111．第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02003100121)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--30003100120133~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201 3121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---310031001320 21233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----221002210022*******12423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000000221003211(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110 141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201 32~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的1-r 阶子式?有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000010000100001α 3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样?解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得 到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ， 故而)()(B R A R ≥.4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(- 解 设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100000100000011001015．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-．(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0230102420536307121131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x(3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x xx故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x7．求解下列非齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60003411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201~即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000100011112~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----00007579751025341253414312311112~ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00757610797101757121k k w z y x8．λ取何值时,非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1)0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2))()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ 得2-=λ时,方程组无解.(3)3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解.9．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解。