2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法 (新人教A版选修4-2)PPT课件

=
5 14
,
3
������2 + 1
5
答案:2
再见
2019/11/23
二 二阶矩阵与平面向量的乘法
-1-
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重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
1.理解列向量、行向量的概念,掌握二阶矩阵与平面向量的乘法 法则.
2.会利用二阶矩阵与平面向量的乘法法则,计算矩阵与向量的乘 积、求已知点在矩阵A所对应的线性变换下的像的坐标.
10
反思与单位矩阵
相乘,向量 α 保持不变.
01
题型一 题型二 题型三
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重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型二 根据矩阵与向量的积求点的坐标
42
【例 2】已知 A=
, 点������在A 对应变换的作用下的像为
3 -1 P'(6,7),求点 P 的坐标.
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D典例透析 IANLI TOUXI
如何求平面内点对应的像? x
剖析:因为平面内点 P 的坐标(x,y)就是向量������������的坐标 ,
y
所以在已知平面内的点P(x,y)在二阶矩阵 A 所对应的线性变换的作
用下的像 P'(x',y')中的两个条件,就可以求剩余的一个.求解时可通过
的二阶矩阵为 A,点 P(1,3)在此变换作用下的像为
7 5
,
14 5
,
则������ =

0 1 1 1 , 0 1 0 0 , 0 1 2 2
9 S ∴新图形的面积 2
答案：C。
3 ，而原图形面积S原= 2
。
x 2 y 1 0 例3.求直线 经二阶矩阵 A= 换作用后的图形的方程。 1 0 3 1
请尝试破解 “fcqo”可能含义。
a b x , 矩阵与向量的乘法 定义：设 A c d y ax by 规定二阶矩阵A与向量 的乘积为向量 cx dy
a b x a b x ax by 记为 A 或者 即 A c d y c d y cx dy
类似于一个加工工厂，将原料转化为产品，这个比喻 和我们学过的
因为他们描述的都是一种对应关系（映射）变化前为 原像变换之后为像。
应用探究
' x ax by ' y cx dy
简化与还原线性变换的坐标变换公式

x ' a b x ' c d y y
x 2 0 x0 y 0 1 y 0
，即
x 2 x0 y y0
x x ，∴ 0 2 y0 y
2 2
2 2 x0 y0 1 又∵点P在曲线 x y 1 上，∴ 2 有 2 2 ， x 2 即圆 x y 1 经矩阵A对应的变换下变为椭 y 1 4 圆 。
x2 y2 1 ，故 4
【真题再现】： 【2013福建高考理科试题】 (本小题满分7分) 选修4-2：矩阵与变换 1 2 A( ) 已知直线 l : ax y 1 在矩阵 对应的变 0 1 l ' : x by 1 换作用下变为直线 （I）求实数 a, b 的值 x0 x0 P ( x , y ) l （II）若点 0 0 在直线 上，且 ， A y y 0 0 求点P的坐标.

例５.设Ａ＝2y
x 3
,
B＝2mx-
n y
xy m n
, 若Ａ＝Ｂ，
求x, y, m, n的值.
15
例６.用矩阵Ｍ＝０ ０１２３２４０ 表示平面中的图形， 请问：该图形有什么几何特征 ?
16
小结： 1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵; 2.矩阵的表示； 3.相等的矩阵; 4.用矩阵表示实际生活中的问题 ，数学问 题.
5
1 3
,
2 1矩阵
80 90 60 85 ,
2 2矩阵
2 3 m
3 2
4
2 3矩阵
所有元素均为0的矩阵叫做0矩阵.
对于两个矩阵A、B的行数与列数分别相等， 且对应位置上的元素也分别相等时，A和B才相等, 记作A B.
a11 a12 称为行矩阵（仅有一行），
6
a11 a12
称为列矩阵（仅有一列）,用，
1)左乘矩阵
1 ０
2 １
后变成一个新的点(5, -1)；
平面上的点( x,
y)左乘矩阵
２ ０
０ １
后变成一个新的点
2x
y
.
24
一般地，对于平面上的任意一点（向量）
(x, y),若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量）（x, y),则称T为一个变换，简记 为
T：(x, y) （x, y)， 或
3 2
m
4
4
形如
1 3
,
80 60
90 85
,
2 3
3 2
m
4
的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常 用大写的拉丁字母A、B、C…表示，或者 用(aij)表示，其中i,j 分别表示元素aij 所在的 行与列.

某公司负责从两个矿区向三个城市送煤： 从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240
万吨、160万吨； 从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360
万吨、820万吨。 城市A 城市B 城市C
甲矿区 200 240 160 乙矿区 400 360 820
二阶矩阵与平面向量
4.矩阵通常用大写黑体字母表示.如;矩阵A, 行矩阵和列 矩阵通常用希腊字母α、β等表示. 5.两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的 元素也分别相等时两矩阵相等.
2 0 x 2x
0
1
y
y
x x 2x
T
:
y
y
y
表示的几何变换为:纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍.
8.二元一次方程组 ax by e 可以表示为
cx
dy f
系数矩阵
a
c
b x e
d
y
f
7
二元一次方程组可以表示为axcxdy系数矩阵其实一说到传统很多人想到落后其实我告诉你我们餐饮现在已经不落后了因为我们现在有了很时髦的武器
1
二阶矩阵与平面向量
建议课时:2课时 教育目标: 1.了解矩阵产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题. 2.了解矩阵的相关知识. 3.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则. 4.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.
6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为:
a11
a21
a12 a22
x0
y0
aa12 a22
y0 y0
二阶矩阵与平面向量
7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义 理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合 的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础.

=
5 14
,
3
������2 + 1
5
答案:2
1234 5
-2 3
4
1.矩阵 A=
与向量������ =
的乘积为( )
2 -4
-1
-10
14
A.
B.
16
-18
-11
12
4 5
ab 解析:矩阵与向量的乘积法则为
-2 3 所以Aα=
cd
4
-11
=
.
2 -4 -1
12
答案:C
x
y
y
123
名师点拨二阶矩阵与平面向量的乘法实现了用二阶矩阵和平面 向量的乘积表示线性变换的目的,可以用二阶矩阵求出平面内的任 意一点在线性变换作用下的像的坐标.
123
【做一做 3】
线性变换
������' = ������ + 2������, ������' = 3������ + 4������
ax + by
=
,
y
cx + dy
1234 5
10
2.曲线 y= ������(������≥0)在矩阵
0 -1 对应的变换作用下所得的曲线方程为( ) A.y= ������(������≥0) B.y=− ������(������≥0) C.y=x2(x≥0) D.y=-x2(x≥0)
1234 5
-1 × 3 + 4 × 2
5
Bα=
=
=
.
35 2
3×3+5×2
19
10
反思与单位矩阵
相乘,向量 α 保持不变.

例1
设A
1 0
12, 31,求A.
解：A
1 0
1231 10((11))2133 35.
定义了二阶矩阵与平面向量的乘法以后，任何一个线性变换
x'
y'
ax cx
by, (a,
dy
b,
c,
d均为常数）
都可以表示成
xy''
a c
b d
x y
;
反之，在直角坐标系 xoy内，任何一个二阶矩阵 A都唯一确定了一个线性 变换，
ax cx
by dy
,
记为A或
a c
b d
x y
,即
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a c
b d
x y
ax cx
by dy
.这样就定义了矩阵
a c
b d
与向量
x y
的乘法.
由上述定义可知，二阶矩阵A与平面向量的乘积仍然是一个平面向量， 它的第一个分量为A的第一行的元素与的对应位置元素乘积的和， 第二个分量为A的第二行的元素与的对应位置元素乘积的和.
这个变换把每一个向量
x y
变成了新向量
A
A
x y
.这样，我们就
实现了用二阶矩阵和平 面向量的乘积表示线性 变换的目的.
例2
设矩阵A
1 0
10 , 求点P(2,2)在A所对应的线性变换的作用下的
像P'的坐标.
解：因为向量
2 2
在矩阵A对应的线性变换作用下变为向量
A
22
-1 0
0 1
2 2
-2 2
，
向量(x, y)是一对有序数组，x, y叫做它的两个分量.我们把这两个分量

考察
由上一节知道旋转角是30°的旋转变换公
式是:
x′= 3 x－1 y , 22
表明:向量
y′= 1 x +
3 y.
2 x
2
3 x－1 y
向量 2 2
y
13 x+ y
22
引入二阶矩阵与平面向量的乘法
3 －1 22
x=
3 x－1 y 22
1 3y 1 3
22
x+ y 22
则旋转角是30°的旋转变换的坐
∴ a = 4 ,b = 7 ,c. =－1 ,d = 7 .
55
55
47
∴A=
5 －1
5 7
55
47
∴M’=
5 －1
5 7
1 2
55
18
=5 13
好棒 噢
5
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求， 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了 无私的人。

解析:∵ A=
又 Aα= 答案:3
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YUXI DAOYIN
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HUDONG KETANG
1
2
3
4
5
3.设矩阵 A= -1 1 ,则点 P(3,1)在 A 所对应的线性变换的作用下的像 2 0 P'为 解析:∵ A . 3 = 1 -1 1 2 0 3 = 1 -2 , 6
二 二阶矩阵与平面向量的乘法
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相传在远古的伏羲时代,有一神奇的龙马背负着一张神秘的图,出现在 黄河水面;到了大禹治水的年代,又有一只神奇的龟背负着另一张神秘 的图浮出洛水.这龙马载河图、神龟背洛书一出现就带有浓厚的神秘色 彩,被当作圣人出世的预兆和安邦治世的奇书,其实这河图、 洛书只不过 是将 1 到 9 这九个数字排成一个 3×3 的立方阵.那么对于矩阵与向量之 间有怎样的运算?与前面学习的实数与向量的数乘运算有什么联系?
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1.列向量、行向量 向量(x,y)是一对有序数组,x,y 叫做它的两个分量.我们把这两个分 ������ 量按照 x 在上,y 在下的次序写成一列 ������ ,这种形式的向量称为列向量. 相应的,形如(x,y)的向量称为行向量. 2.矩阵与向量的乘法 ������ ������ ������ (1)设 A= ,α= ������ ,规定二阶矩阵 A 与向量 α 的乘积为向量 ������ ������ ������������ + ������������ ������ ������ ,记为 Aα 或 ������������ + ������������ ������ ������ ������ ������ ������ , 即 A α = ������ ������ ������ ������ ������������ + ������������ = . ������ ������������ + ������������

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二 二阶矩阵与平面向量的乘法
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HONGNAN JVJIAO
典例透析
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-3-
二 二阶矩阵与平面向量的乘法
题型一 题型二 题型三
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1.理解列向量、行向量的概念,掌握二阶矩阵与平面向量的乘法 法则.
2.会利用二阶矩阵与平面向量的乘法法则,计算矩阵与向量的乘 积、求已知点在矩阵A所对应的线性变换下的像的坐标.

考察
由上一节知道旋转角是30°的旋转变换 公式是: 3 1 x′ = x－ y , 2 2 1 3 y′ = x+ y. 2 2 3 1 x－ y x 2 表明:向量 向量 2 1 3 y x+ y 2 2
引入二阶矩阵与平面向量的乘法
3 1 － 2 2 1 3 2 2
3 1 x x － y = 2 2 y 1 3 x+ y 2 2
情感态度和价值观
培养学生的反向思维,进一步搞清二阶 矩阵与线性变换之间的联系.
教学重难点
重点
二阶矩阵与平面向量的乘积.
难点
以变换的观点认识矩阵与向 量乘法的意义.
引入定义
向量(x,y)是 一对有序数组, x,y是 x 它的两个分量.写成 这种形式的向 y 量称为列向量. 规定:所有平面向量都写成列向量 的形式.
－ 1 13
3
3 2
例3 设矩阵A对应的线性变换把点 P (2 ,1) 变 (2 ,3) ,那么 (3 ,1) ,把点Q( － 1， 2) 变成点 Q′ 成点 P′ 这个线性变化把点M(1,2)变成什么.
解：设A=
a c a c b d a c b d
,则
2 1
=
3 1
①
b － 2 1 = d 2 3
3 － 1 ∴ x′ = 2
a b 4.A0 = c d
1+ 3 y′ = 2
0 0 = 0 0
a b Ai = c d
1 a = 0 c 0 b = d 1
a c b d
a b Aj= c d
5.设矩阵M=
则：
a ; 2d 2
a + 2b
=
2 3

当xy表示某个平面图形F上的任意点时，
这些点就组成了图形F，它在TM的作用下，将得到 一个新的图形F——原象集F的象集.
解决教材上的思考题P.8
例题
（1）已知变换xy
x y
1 3
42 xy，
试将它写成坐标变换的形式；
（2）已知变换xyxyxy3y， 试将它写成矩阵乘法的形式.
小结:
(1)二阶矩阵与平面向量的乘法规则;
xy左乘矩阵０ ２１ ０ 后变成一个新的向量2yx.
也就是平面上的点(3,
1)左乘矩阵
1 ０
2 １
后变成一个新的点(5, -1)；
平 面 上 的 点( x,
y)左乘矩阵
２ ０
０ １
后变
成一个新的点
2x
y
.
一般地，对于平面上的任意一点（向量）
(x, y),若按照对应法则T，总能对应唯一的一个
平 面 点(向 量 ）（ x, y), 则 称 T 为 一 个 变 换 ， 简 记
二阶矩阵与平面列向量 的乘法
记Ｄ8600 8950,C00..46，
则甲、乙两人的成绩可计算如下：
ＤC
80 60
8950 00..64＝860000..44980500..66
86 75.
规定：
行矩阵a11 a12与列矩阵bb1211的乘法法则为 a11 a12 bb1211＝a11b11 a12b21 ,
(2)理解矩阵对应着向量集合到向量集 合的映射;
(3)待定系数法是由原象和象确定矩阵 的常用方法.
,
坐 标 变 换 的 形 式
那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为
T： xy
x y
a c
b

二 阶 矩 阵 b a2 11 1 a b 12 22与 列 向 量 x y0 0的 乘 法 规 则 为
a11 b21
a b 12 22x y0 0＝ b a2 11 1 x x0 0 b a2 12 2 y y0 0.
计算：
1 2 3
1 . ０
１
1
;
2
.
２ ０
０ １
x y
.
一般地，对于平面上的任意一点（向量）
(x, y),若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量） （x, y),则称T为一个变换，简记 为
T：(x, y) （x, y)， 或
T：xy
x y.
０ ２ １ ０ 就 确 定 了 一 个 变 换 ：
T ： ( x ,y ) ( x ,y ) ( 2 x ,y )
212二阶矩阵与平面列向量的乘法
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
二阶矩阵与平面列向量 的乘法
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选 手初赛、复赛成绩如表：
初赛 复赛
甲
80
90
乙
60
85
规定比赛的最后成绩由初赛和复赛综 合裁定,其中初赛占40%,复赛占60%.
则甲和乙的综合成绩分别是多少?
甲 ： 8 0 0 .4 9 0 0 .6 8 6 ;
记 A80 90,C0 0..4 6， 记AC80 9000..46
＝800.4+900.686.
乙 : 6 0 0 . 4 8 5 0 . 6 7 5 .