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向量与矩阵的基本运算与性质向量与矩阵是线性代数的基础概念，它们在数学和物理领域中扮演着重要的角色。
本文将介绍向量与矩阵的基本运算以及它们的性质。
一、向量向量是具有大小和方向的量，通常表示为一个有序的实数列表或箭头。
向量可以用于表示力、速度、加速度等概念。
在线性代数中，向量通常表示为一个列向量或行向量。
1. 向量的表示向量可以用单个变量加上一个箭头表示，例如a→。
在文本中，向量通常以粗体字母表示，例如a。
2. 向量的加法向量的加法是指对应位置上的元素相加得到新的向量。
设有两个n 维向量a=(a1,a2,...,aa)和a=(a1,a2,...,aa)，则它们的和为：a+a=(a1+a1,a2+a2,...,aa+aa)3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量的每个元素与一个实数相乘得到新的向量。
设有一个n维向量a=(a1,a2,...,aa)和实数a，则其数量乘积为：aa=(aa1,aa2,...,aaa)4. 向量的点积向量的点积，也称为内积或数量积，是两个向量对应位置上的元素相乘再相加的结果。
设有两个n维向量a=(a1,a2,...,aa)和a=(a1,a2,...,aa)，则它们的点积为：a·a=a1a1+a2a2+...+aaaa二、矩阵矩阵是一个二维数组，通常用于表示一组数据或线性变换。
矩阵由行和列组成，行表示矩阵的水平方向，列表示矩阵的垂直方向。
1. 矩阵的表示矩阵通常以大写字母表示，例如a、a。
一个m行n列的矩阵可以表示为：a=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣a11 a12 ⋯a1a a21 a22 ⋯a2a⋮⋮⋱⋮aa1 aa2 ⋯aaa⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦2. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加得到新的矩阵。
设有两个m 行n列的矩阵a和a，则它们的和为：a+a=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣a11+a11 a12+a12 ⋯a1a+a1a a21+a21a22+a22 ⋯a2a+a2a⋮⋮⋱⋮aa1+aa1 aa2+aa2 ⋯aaa+aaa⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦3. 矩阵的数量乘法矩阵的数量乘法是指将矩阵的每个元素与一个实数相乘得到新的矩阵。
线性代数中的矩阵与向量之运算技巧矩阵和向量是线性代数中最基础的概念之一。
了解它们的运算技巧是学好线性代数的前提。
本文将介绍一些常用的矩阵和向量运算技巧。
一、矩阵基本运算1. 加减法运算对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和(A+B)和差(A-B)分别对应位置上的元素相加减得到。
例如：A = [[1,2],[3,4]]B = [[-1,3],[4,-2]]则 A+B = [[0,5],[7,2]]，A-B = [[2,-1],[-1,6]]2. 数乘运算对于数k和一个矩阵A，它们的积(kA)就是把A的每个元素都乘以k得到。
例如：A = [[1,2],[3,4]]k = 2则 kA = [[2,4],[6,8]]3. 矩阵乘法对于两个矩阵A和B，若A的列数等于B的行数，则它们可以相乘得到一个新的矩阵C。
C的每个元素都是A的一行与B的一列对应元素的乘积之和。
例如：A = [[1,2,3],[4,5,6]]B = [[-1,3],[2,-4],[5,1]]则 AB = [[18,-8],[39,9]]注意：矩阵乘法不满足交换律，即A×B ≠ B×A。
二、向量基本运算1. 加减法运算对于两个相同长度的向量v和w，它们的和(v+w)和差(v-w)分别对应位上的元素相加减得到。
例如：v = [1,2,3]w = [-1,4,2]则 v+w = [0,6,5]，v-w = [2,-2,1]2. 数乘运算对于数k和一个向量v，它们的积(kv)就是把v的每个元素都乘以k得到。
例如：v = [1,2,3]k = 2则 kv = [2,4,6]3. 点积运算对于两个长度相同的向量v和w，它们的点积(v·w)是将两个向量对应位置元素的乘积相加得到的一个数。
例如：v = [1,2,3]w = [-1,4,2]则 v·w = 9本文介绍的是矩阵和向量的基本运算技巧，仅是线性代数的冰山一角，线性代数是一门内涵丰富的课程，需要大家认真研究，深入理解。
向量与矩阵运算在高中数学学科中，向量与矩阵运算是一项重要的内容。
向量与矩阵的概念与运算规则不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程、计算机科学等领域也有着重要的地位。
本文将详细介绍向量与矩阵的定义、基本运算以及一些常见应用。
一、向量的定义与基本运算向量是有方向和大小的量，通常用箭头表示。
向量可表示为一个有序的数字组成的列，也可以视为从原点指向某一点的箭头。
例如，向量A可以表示为(A1, A2, ..., An)。
向量的基本运算包括加法和数乘。
向量的加法是对应元素相加，即A +B = (A1 + B1, A2 + B2, ..., An + Bn)，其中A和B为同维数的向量。
数乘是将向量的每个元素都乘以一个实数，即kA = (kA1, kA2, ..., kAn)，其中k为实数。
二、矩阵的定义与基本运算矩阵是一个按照矩形排列的数表，通常用大写字母表示。
矩阵有行与列组成，用m×n表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的基本运算包括矩阵加法、矩阵数乘和矩阵乘法。
矩阵的加法是对应元素相加，即A + B = [aij + bij]，其中A和B为同维数的矩阵。
矩阵的数乘是将矩阵的每个元素都乘以一个实数，即kA = [kaij]。
矩阵的乘法是一种复合运算，需要满足乘法的规则。
若A为m×n 的矩阵，B为n×p的矩阵，则AB为m×p的矩阵。
矩阵AB的第i行第j列元素可以表示为：ABij = aij * bij，其中aij表示A矩阵的第i行第j 列元素，bij表示B矩阵的第i行第j列元素。
三、向量与矩阵的应用向量与矩阵运算在许多实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：在物理学中，向量和矩阵可以用来描述物体的运动和力的作用。
例如，位移向量可以用来描述物体的位置变化，力矩矩阵可以用来描述物体受到的力的作用。
2. 工程学：向量和矩阵可以用来描述工程中的各种变量和关系。
向量与矩阵计算在数学中，向量和矩阵是非常重要的概念和工具。
它们在各种领域的数学和物理问题中都扮演着重要的角色。
本文将详细介绍向量和矩阵的计算方法以及其应用。
1. 向量的表示和计算向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
在坐标系中，向量可以用有序数对表示。
例如，对于一个二维空间中的向量v，可以表示为v=(x, y)，其中x和y分别是向量v在x轴和y轴上的分量。
向量的计算包括加法、减法和数量乘法。
向量的加法是将两个向量相应分量相加，即v1+v2=(x1+x2, y1+y2)。
向量的减法是将被减向量的分量分别减去减向量的分量，即v1-v2=(x1-x2, y1-y2)。
数量乘法是将向量的每个分量乘以一个实数，即k*v=(k*x, k*y)，其中k是实数。
2. 矩阵的表示和计算矩阵是一个矩形的数表，由行和列组成。
一个m×n的矩阵有m行和n列。
矩阵中的元素可以是实数或复数。
矩阵可以用方括号表示。
例如，一个2×3矩阵A可以表示为：A = [a11, a12, a13;a21, a22, a23]矩阵的加法是将对应元素相加，即A+B=[a11+b11, a12+b12,a13+b13; a21+b21, a22+b22, a23+b23]。
矩阵的数量乘法是将矩阵的每个元素乘以一个实数，即kA=[ka11, ka12, ka13; ka21, ka22, ka23]，其中k是实数。
矩阵的乘法是两个矩阵相乘的操作。
如果矩阵A是一个m×n的矩阵，矩阵B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积矩阵C是一个m×p的矩阵。
矩阵的乘法遵循分配律和结合律。
3. 向量的点积和叉积向量的点积也称为内积，计算方法是将两个向量对应分量相乘，并将结果相加。
对于二维向量v=(x1, y1)和w=(x2, y2)，它们的点积为v·w=x1*x2+y1*y2。
向量的点积有很多应用，例如计算向量间的夹角、计算向量在某个方向上的投影等。
第3章 实验二矩阵与向量运算实验目的：在MATLAB 里，会对矩阵与向量进行加、减、数乘、求逆及矩阵的特征值运算，以及矩阵的LU 分解。
3.1 矩阵、逆矩阵运算 例3.1 设矩阵A 、B 如下：1221,3415A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，分别求出B A +、B A *、A 的逆矩阵，A 矩阵的行列式的值。
在matlab 软件中的命令窗口输入： A=[1 2;3 4]; B=[-2 1;1 5]; A+B 得到： ans =-1 3 4 9A 的逆矩阵由命令inv(A)计算，例如：令A=[1 2;3 4]; 则 C=inv(A) 得到： C =-2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000对于任意非奇异的方阵，都可以用命令inv 计算其逆矩阵。
在matlab 里，矩阵乘法用乘法运算符表示，可以通过命令输入：A*B得到：ans =0 11 -2 23在matlab 里，可以通过命令输入：det(A)得到： -2在matlab 里，在矩阵的后面加一个撇号得到该矩阵的转置，例如： F=A ’ 使矩阵F 变为A 的转置。
下面的命令创建一个m ×m 的单位矩阵： s=eye(m)m ×n 的零矩阵用s=zeros(m*n)给出。
m ×n 的元素都是1的矩阵用写为： w=ones(m,n)如果A 是一个矩阵，则zeros(size(A))和ones(size(A))分别得到与A 大小相同的零矩阵和单位矩阵。
命令rand(m,n)创建一个m ×n 的随机矩阵。
命令hilb(m)创建一个Hilbert 矩阵的特殊矩阵。
3.2 矩阵的特征值设A 是一个n ×n 方阵，X 是一个n 维向量，乘积Y=AX 可以看作是n 维空间变换。
如果能够找到一个标量λ，使得存在一个非零向量X ，满足：AX=λX （3.1） 则可以认为线性变换T(X)=AX 将X 映射为λX,此时，称X 是对应于特征值λ的特征向量。
向量与矩阵运算
（摘自：华东师范大学数学系）
§2.1向量及矩阵的生成
§2.1.1 通过语句和函数产生
§2.1.2 通过后缀为.m的命令文件产生
§2.2 矩阵操作
Matlab能处理数、向量和矩阵．但一个数事实上是一个1×1的矩阵，1个n 维向量也不过是一个1×n或n×1的矩阵．从这个角度上来讲，Matlab处理的所有的数据都是矩阵．Matlab的矩阵处理能力是非常灵活、强大的．以下我们将从矩阵的产生、基本运算、矩阵函数等几个方面来说明．
§2.1向量及矩阵的生成
除了我们在上节介绍的直接列出矩阵元素的输入方法，矩阵还可以通过几种不同的方式输入到Matlab中．
§2.1.1 通过语句和函数产生
1. 向量的产生
除了直接列出向量元素（即所谓的“穷举法”）外，最常用的用来产生相同增量的向量的方法是利用“:”算符（即所谓的“描述法”）．在Matlab中，它是一个很重要的字符．如：
z=1:5
z =
1 2 3 4 5
即产生一个1~5的单位增量是1的行向量，此为默认情况.
用“:”号也可以产生单位增量不等于1的行向量，语法是把增量放在起始量和结尾量的中间．如：
x=0:pi/4:pi
即产生一个由0~pi的行向量，单位增量是pi/4=3.1416/4=0.7854．
x =
0 0.7854 1.5708 2.3562 3
.1416
也可以产生单位增量为负数的行向量．如：
y=6:-1:1
y =
6 5 4 3 2 1
2. 矩阵的产生
Matlab提供了一批产生矩阵的函数：
例如：
ones(3)
ans =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
eye(3)
ans =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
除了以上产生标准矩阵的函数外，Matlab还提供了产生随机（向量）矩阵的函数rand和randn，及产生均匀级数的函数linspace、产生对数级数的函数logspace和产生网格的函数meshgrid等等．详细使用请查阅随机文档．
“ : ”冒号可以用来产生简易的表格，为了产生纵向表格形式，首先用冒号“ : ”产生行向量，再进行转置，计算函数值的列，然后形成有二列的矩阵．例如命令：
x=(0.0:0.2:3.0)';
y=exp(-x).*sin(x);
[x y]
产生结果为：
ans =
0 0
0.2000 0.1627
0.4000 0.2610
0.6000 0.3099
0.8000 0.3223
1.0000 0.3096
1.2000 0.2807
1.4000 0.2430
1.6000 0.2018
1.8000 0.1610
2.0000 0.1231
2.2000 0.0896
2.4000 0.0613
2.6000 0.0383
2.8000 0.0204
3.0000 0.0070
§2.1.2 通过后缀为.m的命令文件产生
如有文件data.m，其中包括正文：
A=[ 1 2 3
4 5 6
7 8 0]
则用data命令执行data.m，可以产生名为A的矩阵．
§2.2 矩阵操作
在Matlab中可以对矩阵进行任意操作，包括改变它的形式，取出子矩阵，扩充矩阵，旋转矩阵等．其中最重要的操作符为“:”，它的作用是取出选定的行与列．
例如：
A(:,:) 代表A的所有元素；试比较A(:), 将A按列的方向拉成长长的1列（向量）；
A(:,J) 代表A的第J列；
A(J:K) 代表A(J), A(J+1), …, A(K)，如同A(:)的第J到第K个元素；
A(:,J:K) 代表A(:,J), A(:,J+1), …, A(:,K)，如此类推.
对矩阵可以进行各种各样的旋转、变形、扩充：
Matlab中有内部函数fliplr ( Flip matrix in the left/right direction)，它对矩阵进行左右旋转.
例 x = 1 2 3 fliplr(x)为 3 2 1
4 5 6 6 5 4
同样有flipud：
x = 1 4 flipud(x)为 3 6
2 5 2 5
3 6 1 4
矩阵的转置用符号“ ' ”表示：
如A=[1 2 3; 4 5 6 ; 7 8 0]
那么：计算B=A'
B =
1 4 7
2 5 8
3 6 0
符号“ ' ”为矩阵的转置，如果Z为复矩阵，则Z'为它的复数共轭转置，非共轭转置使用Z.' 或conj(Z')求得．
reshape改变矩阵的形状，这是什么意思呢？可举一个例子来说明．
A=[A;[10 11 12]]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 0
10 11 12
则 reshape(A,2,6)
ans =
1 7
2 8
3 0
4 10
5 11
6 12
可见，reshape 是将矩阵元素以列为单位进行重组，原来4×3的矩阵变为了2×6的矩阵．那么以下的语句也不难理解了，它将矩阵A按列打开（size函数返回矩阵A的行数与列数）．
reshape(A,1,size(A,1)*size(A,2))，它等价于A(:)' .
还有函数rot90，它可以将矩阵进行各种90度的旋转；tril及triu取出矩阵的下三角及上三角阵等．详细的用法可以在需要使用时查阅手册．。
