江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第5讲 导数(2)教学案
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1 赣榆智贤中学2014-2015学年度第二学期教学案例
年 级：ZX-12 学科：SX
编写时间：2015-03-16 编号：NO:014.
主备人： 复备人：
教学内容：导数及其应用（2）
教学目标：
1.导数的几何意义
2.利用导数研究函数的性质
教学重点：
1.导数的实际运用；
2.导数的综合运用
教学难点：
导数的综合运用
教学过程：
一、小题训练
1、(2014·盐城模拟) 函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．
解析： 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.又由题设知在区间[－3，2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20答案：20
2、(2014·武汉模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)
解析：由F(x)＝xf(x)，得F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝xf′(x)－f(－x)<0，所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，又可证F(x)为偶函数，从而F(x)在[0，＋∞)上单调递增，故原不等式可化为－3<2x－1<3，解得－1 答案：(－1,2) 二、例题教学： 例1 已知函数f(x)＝aln x， x≥1－x3＋x2＋bx＋c，x<1，的图象过点(－1,2)，且在x＝32处取得极值． (1)求实数b，c的值； (2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值． 解：(1) 当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＋b， 由题意得＝0，2即＋b＝0，4 解得b＝c＝0. (2) 由(1)知，f(x)＝aln x， x≥1.－x3＋x2， x<1， ①当－1≤x<1时，f′(x)＝－x(3x－2)， 复备栏 2 令f′(x)>0，解得0 由f′(x)＝－x(3x－2)＝0得，x＝0或x＝32， 因为f(－1)＝2，f32＝274，f(0)＝0，f(1)＝0， 所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x， 当a≤0时，f(x)≤0，f (x)在[1，e]单调递减，此时f(x)在[1，e]上的最大值为0； 当a>0时，f(x)>0，f(x)在[1，e]单调递增，此时，所以f(x)在[1，e]上的最大值为a. 综合①②得，所以当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a； 当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2. 例2、如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为︵EF的中点，其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EFM内)，∠EOF＝32π.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点A、D在︵EF上，设∠AOD＝2θ. (1)求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式； (2)当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cos θ的值． [解] (1)设矩形铁片的面积为S，∠AOM＝θ. 当0<θ<3π时(如图①)，AB＝4cos θ＋2，AD＝2×4sin θ， S＝AB×AD＝(4cos θ＋2)(2×4sin θ) ＝16sin θ(2cos θ＋1)． 当3π≤θ<2π时(如图②)，AB＝2×4cos θ， AD＝2×4sin θ， 故S＝AB×AD＝64sin θcos θ＝32sin 2θ. 综上得，矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为 S＝.π (2)当0<θ<3π时，求导，得 S′＝16*cos θ(2cos θ＋1)＋sin θ(－2sin θ)+ ＝16(4cos2θ＋cos θ－2)． 令S′＝0，得cos θ＝833－1. 3 记区间(0，3π)内余弦值等于833－1的角为θ0(惟一存在)．列表： θ (0，θ0) θ0 (θ0，3π) S′ ＋ 0 － S 增函数 极大值 减函数 又当3π≤θ<2π时，S＝32sin 2θ在[3π，2π)上为单调减函数， 所以当θ＝θ0即cos θ＝833－1时，矩形的面积最 变式训练： 一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)． (1)求V关于θ的函数表达式； (2)求θ的值，使体积V最大； (3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由． 解：(1)梯形ABCD的面积 SABCD＝22cos θ＋2·sin θ＝sin θcos θ＋sin θ，θ∈(0，2π)， 体积V(θ)＝10(sin θcos θ＋sin θ)，θ∈(0，2π)． (2)V′(θ)＝10(2cos2θ＋cos θ－1)＝10(2cos θ－1)(cos θ＋1)． 令V′(θ)＝0，得cos θ＝21，或cos θ＝－1(舍)． ∵θ∈(0，2π)，∴θ＝3π. 当θ∈(0，3π)时，21 当θ∈(3π，2π)时，0 ∴当θ＝3π时，体积V最大． (3)木梁的侧面积S侧＝(AB＋2BC＋CD)·10 ＝20(cos θ＋2sin2θ＋1)，θ∈(0，2π)． S＝2SABCD＋S侧＝2(sin θcos θ＋sin θ)＋20(cos θ＋2sin2θ＋1)，θ∈(0，2π)． 设g(θ)＝cos θ＋2sin2θ＋1，θ∈(0，2π)． ∵g(θ)＝－2sin22θ＋2sin2θ＋2， 4 课后反思： ∴当sin2θ＝21，即θ＝3π时，g(θ)最大． 又由(2)知θ＝3π时，sin θcos θ＋sin θ取得最大值， 所以θ＝3π时，木梁的表面积S最大． 综上，当木梁的体积V最大。 巩固练习： 完成专题强化训练的相应内容。
