【配套K12】2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.1.1
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教案试题
3.1.1 倾斜角与斜率
学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
知识点一 直线的倾斜角
思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？
答案 不能．
思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？
答案 不同．
梳理 (1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 最新K12教育
教案试题 知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系
思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？
答案 不同，因为32≠22.
思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？
答案 存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β.
梳理 (1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan
α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角
(范围) α＝0° 0°
斜率
(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
知识点三 过两点的直线的斜率公式
直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)．
类型一 直线的倾斜角
例1 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋40° 最新K12教育
教案试题 B．α－140°
C．140°－α
D．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°
答案 D
解析 根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.
反思与感悟 (1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
跟踪训练1 已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 ．
答案 60°或120°
解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
类型二 直线的斜率
例2 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)． 最新K12教育
教案试题 解 (1)存在．直线AB的斜率kAB＝5－34－2＝1，即tan α＝1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝－1－32－－2＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
反思与感悟 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 33 1 3 －3 －1 －33
跟踪训练2 如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解 设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率．
由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以
k1＝－1－2－2－3＝35，k2＝－2－24－3＝－4，k3＝2－2－3－3＝0. 最新K12教育
教案试题 由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°.
类型三 直线的倾斜角、斜率的应用
命题角度1 三点共线问题
例3 如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．
解 kAB＝m－1－2－2＝1－m4，kAC＝8－16－2＝74，
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，
即1－m4＝74，∴m＝－6.
反思与感悟 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．
跟踪训练3 已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由题意可得2m＝2，解得m＝1.
命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围
例4 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．
解 如图所示．
∵kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，
∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°. 最新K12教育
教案试题 反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．
跟踪训练4 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．
解 如图所示．
当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是17，53.
1．对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①②③正确．
2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
答案 A
解析 tan 45°＝2－31－m，得m＝2.
3．若三点A(2,3)，B(3,2)，C(12，m)共线，则实数m的值为 ．
答案 92 最新K12教育
教案试题 解析 设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，则由斜率公式，得kAB＝3－22－3＝－1，kBC＝m－212－3＝－25(m－2)．
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，
即－1＝－25(m－2)，解得m＝92.
4．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 ．(其中m≥1)
答案 (0°，90°]
解析 当m＝1时，倾斜角α＝90°，
当m>1时，tan α＝3－2m－1>0，
∴0°
5．已知交于点M(8,6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角．
解 l2的斜率为6－38－5＝1，
∴l2的倾斜角为45°，
由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°.
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
直线情况
平行于x轴 垂直于x轴
α的大小 0° 0°
k的范围 0 k>0 不存在 k<0
k的增减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大
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教案试题 课时作业
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]
C．和x轴平行的直线的倾斜角为180°
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
答案 D
解析 倾斜角是直线向上方向与x轴的正方向所成的角，故选项A不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故选项B不正确；当直线与x轴平行时，倾斜角为0°，故选项C不正确．
2．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为( )
A．60° B．120° C．30° D．150°
答案 D
解析 两直线垂直时，它们的倾斜角相差90°，由l1的倾斜角为60°知，l2的倾斜角为150°.
3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 A
解析 由题意知k＝2＋3－24－1＝33，
∴直线的倾斜角为30°.
4．已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线l的倾斜角为( )
A．60° B．30°
C．60°或120° D．30°或150°
答案 C
解析 由题意知|tan α|＝3，
即tan α＝3或tan α＝－3，
∴直线l的倾斜角为60°或120°.
5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( )
A．(1,3)、(5,7)、(10,12) B．(－1,4)、(2,1)、(－2,5)
