“三次函数的图象与性质”教学设计
一、教学内容解析：
三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，围绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一大亮点，特别是文科数学。因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。
本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过几何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为：
重点：
（1）探究系数a,b,c,d 的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律； （2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。 难点：
根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。
二、教学目标设置：
根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标： 1、知识与能力：
①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。
②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。 ③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。 2、过程与方法：
通过对函数)0(,)(2
3
≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究，引导学生建立讨论函数
性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，掌握研究函数性质的基本过程和方法。 3、情感态度与价值观：
通过直观的图形和抽象的函数性质的统一，培养学生的辨证唯物主义思想观；在研究
的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养合作精神。 三、学生学情分析：
本节课，学生已初步搭建起研究函数的基本平台，借助导数的工具和图形技术（几
何画板）来研究三次函数的图象和性质，符合学生的认知规律。三次函数的导数是二次函数，二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数，学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识，并在某些方面具备了把握规律的能力。三次函数虽同样是初等函数，学生能通过导数解决一些三次函数性质相关的题型，但利用几何画板探究三次函数的性质仍显力不从心。首先学生对《几何画板》不够熟悉。其次三次函数的图像与性质本身就有一定的难度。对于观察图像探究系数的变化对图像的影响，学生通过自己的努力基本能够解决。但由此归纳总结性质就存在问题，因为函数的图像与性质本身就很复杂，对学生能力方面的要求较高，不仅需要调动广泛的知识，而且需要有比较清晰的思路。因此这方面教师要通过设置问题、追问、恰当提示等方法加强引导，从而达到突破教学难点。 四、教学策略分析：
根据这节课内容的特点，本节课设计强调学生主动探究式的学习方式，这也是新课程所倡导的教学理念。为突破难点，紧紧围绕教学重点，结合学生已有的基础：会用导数研究三次函数的性质，通过创设问题情境，搭设台阶，并以追问或问题串的形式引导学生积极参与教学。利用多媒体呈现和结合几何画板动态演示，让学生凭借图象的直觉去发现、去探索，逐步加深对三次函数图象和性质的认识，实现从具体到抽象，从感性到理性。对于基础较弱的学生，让他们回答较为基础的问题，若如需要，适时给予点拨、提示、鼓励，并给他们充分思考的时间和空间。对于有良好数学基础的同学通过提问和追问的形式满足他们的求知欲望，激励他们进行深入学习，并适时给他们提供展示的平台。在探究图像和性质的过程中为充分调动每个学生的积极性，让同学们在小组内通过自主、合作探究达到教学目标。
教学中通过学生对问题的回答和练习的情况、以及学生的精神状态的观察来了解学生学习对知识的理解和掌握情况并判断其原因、及时调控教学进度或采取有针对性的补救教学。同时为学生提供反思学习过程的机会、引导学生检查学习效果。 五、教学流程： （一）、设置情景、导入新课
同学们，我们已经学习了二次函数的一般形式？那么你能类比二次函数给出三次函数的定义吗？
学生回答，教师根据学生回答归纳：
形如)0(2
3
≠+++=a d cx bx ax y 的函数叫做三次函数。定义域：R ； 思考：三次函数的导函数是什么？
答：导数是：,23)(2
c bx ax x f ++=)0(≠a ，是二次函数。 思考：判别式是ac b 42
-=∆吗？
答：不是，是)
3(434)2(2
2
ac b c a b -=⨯⨯-=∆
追问：二次函数的系数会对函数的图像与性质有怎样的影响？请同学们回想一下、然后思考并回答以下问题
（同学们虽说对二次函数较熟悉，但提高到理论层面仍有点难度：所以通过以下问题串引导。）
（1）系数a 是如何影响图像的？
答：开口：a 为正时开口向上，a 为负时开口向下
大小：a 的绝对值越大，开口越小。
a 的绝对值越小，开口越大。 （2）系数a 和
b 的变化是如何影响图像的？
答：对称轴的左右平移变化
（3）系数c 对图像的影响是怎样的？对函数的单调性影响吗？
答：（上下平移、不影响）
（4）图像与x 轴的交点个数由谁来确定？
（由判别式ac b 42
-=∆来确定，这里∆是个综合参量）
学生思考回答，教师因势利导：
由刚才的复习，我们知道，三次函数的导数是二次函数，而二次函数的图像与性质和系数的变化有关，不难看出，三次函数)0(,)(2
3≠+++=a d cx bx ax x f 的图像与性质和系数a,b,c,d 的变化有直接的影响。那么系数是如何影响函数的图像与性质呢？就让我们带着这个问题一同进入今天的学习探究中。（引入课题）
设计意图：旨在引导学生从熟知的二次函数的情形出发，类比联想，发散、拓展学生思维。为接下来探究三次函数的图像与性质作铺垫。并由此导入新课。
（二）、借助工具、尝试探究：
1、探究一：初识系数a,b,c,d 的变化将怎样影响三次函数的图像与性质 例：利用几何画板画出三次函数 的图像，观察图像并思考一下问题。
思考：①你能猜想哪个系数对函数的单调性没有影响？
让学生类比二次函数做出猜想，之后几何画板演示验证 结论：系数d 不影响函数的单调性
②观察系数a 变化时函数图像有何特征？
（教师通过几何画板演示让学生观察，教师适时提示引导学生思考、归纳图像的特征）
③当系数a >0时，系数b 和c 分别变化时，图像有何特征？ 追问：（1）当系数a >0时，系数b 和c 都变化呢？
（2）那么当系数a >0时，系数a,b,c 三个都变化时，图像特征会变化吗？
引导学生分析得出结论：分析函数的图像时只要看两个量：系数a 和导函数的判别式∆。
（3）那么当系数a<0时，请同学们类比a>0猜想一下图像变化的规律？
（学生类比 a>0猜想，教师通过几何画板演示验证） （4）根据系数a 和导函数的判别式∆的不同情况，完成下表。
（鉴于学生的不同认知程度，教师在通过几何画板演示，让学生认真观察，自主探究或同桌或前后讨论交流、合作研究。教师适时加以点拨、归纳总结）
归纳总结：三次函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠图象
)
0(,)(2
3≠+++=a d cx bx ax x f
设计意图：本题探究系数对单调性的影响，让学生观察图像有多种情形下引导学生明确探究思路和方向，并正确进行分类。
2、探究二：三次函数的单调性、极值
问题：由探究一不难发现，三次函数)0(,)(2
3≠+++=a d cx bx ax x f 单调性和极
值。其中：o a o a ≤∆<≤∆>且和且00两种情形下三次函数在R 上是单调函数，另外两
种不是单调函数。那么它在R 上一定有几个单调区间，如何来确定单调区间？
答：利用导函数来确定。（教师根据学生回答情况引导学生思考三次函数与导函数的图像间的关系）
追问：①观察下面图像，你能说出它们的单调区间吗？
追问：图中的21x x 和的值如何来确定呢？
生直观感知。明确21x x 和的实际意义和求法）
注：)(x f ' =2
32ax bx c ++，记∆=2
2
4124(3)b ac b ac -=-，（其中x 1,x 2是方程
)(x f '=0的根，且x 1 ac b b x 3321-+-= ，a ac b b x 3322---= ） ②根据上图能说三次函数的极值情况吗？ 学生回答，教师引导归纳、并完成下表。 归纳总结： 函数3 2 ()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图像与性质（单调性、极值）。 单调区间 在12(,),(,)x x -∞+∞上,是增函数； 在12(,)x x 上,是减函数； 在R 上是增函数 在12(,)x x 上，是增函 数； 在12(,),(,)x x -∞+∞上，是减函数 在R 上是减函数 极值 ) ()() ()(21x f x f x f x f ==极小值极大值 无极值 ) ()()()(21x f x f x f x f ==极大值极小值 无极值 设计意图：利用多媒体呈现三次函数的图象，从感性到理性，凭借图象的直觉去发现、去探索，从数形结合层面进行思考逐步加深对三次函数图象与性质的认识。 3、探究应用、加深理解： 例1、已知三次函数f(x) ＝ax 3 +bx 2 +cx+d 的导函数)(x f '的图象如右图所示,则y =f (x )的图象最有可能的是 （ C ） 设计意图：直接给出导函数图像，然后设计了四个选项，意在通过对图像的观察，问题的判断，直接考查三次函数的性质。同时也培养 学生的数形结合意识和能力。 例2、（2010北京卷） 设定函数)0(,3 )(23>+++= a d cx bx x a x f ，且方程' ()90f x x -=的两个根分别为1，4。 （Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。 解：由d cx bx x a x f +++= 23 3 )(，得： c bx ax x f ++='2)(2 因为0929)(2 =-++=-'x c bx ax x x f 的两根分别是1，4 x y O 1 2 y O 1 2 x y y x y x 1 2 O 1 2 1 2 x O O 所以：⎩⎨ ⎧=-++=-++0 368160 92c b a c b a ------ ⑴ （Ⅰ）当3=a 时，由（1）式得：⎩⎨⎧=++=-+0 1280 62c b c b 解得：12,3=-=c b 又因为0=d 所以：x x x x f 123)(2 3 +-= （Ⅱ）由于0>a ，所以若)(x f 在(,)-∞+∞无极值点等价于02)(2 ≥++='c bx ax x f 在 ),(+∞-∞内恒成立。 也即：04)2(2 ≤-=∆ac b ------（2） 又由（1）式得：a c a b 4,592=-= 所以： 0)9)(1(9≤--=∆a a ，解得：91≤≤a 4、深化练习、巩固提升： （2010江西卷）设函数3 2 ()63(2)2f x x a x ax =+++. （1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值； （2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由。 解：由 3 2 ()63(2)2f x x a x ax =+++得： 2()186(2)2f x x a x a '=+++ （1）由已知有12()()0f x f x ''==， 所以122118a x x ==，解得：9a =； （2）由22 36(2)418236(4)0a a a ∆=+-⨯⨯=+>， 所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数. 设计意图：本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识。通过练习，加深对所学内容的理解，推进了三次函数性质的深化与三次函数方法的研究。同时也提升学生运用导数研究函数的性质的能力。 5、课堂小结： 1，请学生对今天所学内容进行小结。 2，本节课涉及的思想方法有哪些？ 3、同学们通过学习本节课还有什么体会和疑惑，通过整理下面的数学日志反馈上来。 设计意图：让学生系统化、条理化所学知识。并引导学生体会几何画板的作用，和蕴含的数学思想方法，并将研究的方法迁移到其他函数的研究之中。 数学日志的设计意图：通过学生的数学日记，沟通教师与学生的交流，从中了解到学生理解问题的方式，看到学生的解题思路、推理过程、数学方法的掌握情况以及还存在的问题，这不但有利于教师及时掌握各个学生的学习情况并加以帮助，更有利于提高教师自己对学生数学学习的把握能力以及教学调控能力。重要的还可以通过疑惑解答使学生再生知识，激起探究未知的欲望。 6、作业： 1、完成课本P 33习题2 2、设函数1)1()(2 3 +++-=x a x x x f ，其中a 为实数 （Ⅰ）已知函数f （x ）在x=1处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）已知不等式1)(2 +-->a x x x f 对任意),0(+∞∈a 都成立，求实数x 的取值范围。 3、探究题：利用几何画板尝试探究三次函数的零点问题 设计意图：弹性题不作统一要求，为不同学生提供更为广阔的探求空间，让学生在课堂教学基础上加深对知识的理解和运用，扩大知识面，提高能力，发展智力，同时也体现了分层教学的思想，达到因材施教的目的。 以上是我对这节课的教学设想，若有不妥之处，恳请各位专家和评委提出宝贵意见和建议。谢谢大家！ 高中数学一次函数二次函数的图像与性质学案新人教B版必修1 1、熟练掌握一次函数、二次函数的概念和性质与图象。 2、能解决带有参数的一次函数二次函数有关问题。 3、能用数形结合，分类讨论等数学思想解题。 一次函数的图像与性质： 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与性质 题型一：一次函数的图像与性质 例1、已知关于x 的函数m x m m y m m +-=-2 22)(，m 为何值时，该函数是一次函数？ 跟踪练习：已知函数()2113y m x m =-+-,m 为何值时, ①这个函数为正比例函数； ②这个函数为一次函数； ③函数值y 随x 的大而减小； 例2、求函数51y x =--,[]1,4x ∈的最值. 例3、已知函数12)(++=a ax x f ， （1）当11≤≤-x 时，)(x f 的值恒为正值，求实数a 的取值范围。 （2）当11≤≤-x 时，)(x f 的值有正也有负，求实数a 的取值范围。 跟踪练习： 1．下列说法错误的是 （ ） Ａ．b ax y +=叫做一次函数 Ｂ．b ax y +=的图象是一条直线 Ｃ．当ａ＞０时，函数b ax y +=在Ｒ上递增 Ｄ．一次函数的平均变化率就是其对应直线的斜率 2．已知一次函数过点（2 1 ，０）且在ｙ轴截距为４则其表达式为 （ ） Ａ．ｙ＝－４x ＋８ Ｂ．ｙ＝－８x －４ Ｃ．ｙ＝－４x －８ Ｄ．ｙ＝－８x ＋４ 3．已知点（３，５）和（ａ，７）在直线ｙ＝２x ＋ｂ上，则ａ，ｂ的值分别为（ ） Ａ．－４，１ Ｂ－４，－２ Ｃ．４，－１ Ｄ．－４，－１ 4．直线ｙ＝x ＋３与ｙ＝－２x 的交点坐标为 ( ） Ａ．（－１，２） Ｂ．（１，－２） Ｃ．（１，２） Ｄ．（－１，－２） 5．已知一次函数b kx y +=的图象不经过第二象限，则k 的取值范围是 ， b 的取值范围是 。 题型二：二次函数的图像与性质 例4、试述二次函数342+--=x x y 的性质，并作出函数图象 x y 7.3.2正弦型函数的性质与图像 教学课时：1课时 教学目标： 1、能根据解析式总结y＝Asinx(A>0)、y＝sin(x＋φ)、y＝sinωx(ω>0)、y＝Asin(ωx＋φ)的性质； 2、能用五点法作上述函数的简图。通过作图过程明确A、ω、φ对函数性质与图像的影响，概括出三角函数图像变换的实质和规律，并用图象变换画出函数y=Asin(ωx＋φ)的图像； 3、结合观览车和弹簧实例，体会y＝Asin(ωx＋φ)这类函数模型与生活的联系，了解A、ω、φ的实际意义及周期、频率、初相的定义； 4、通过对探索过程的体验，培养观察能力和探索问题的能力，体会数形结合以及从特殊到一般的数学思想，锻炼从具体到抽象的思维方法，达到从感性认识到理性认识的飞跃. 教学重点： A、ω、φ对函数性质与图像的影响及y=sinx的图像到y=Asin(ωx＋φ)的图像变换过程. 教学难点： y=sinx的图像到y=Asin(ωx＋φ)的图像的变换过程. 教学过程： 一、创设情境、引出问题 问题1：如图，摩天轮圆C的半径为A，为圆C上一点，以射线C为终边的角为φ，点P从出发随着时间推移而逆时针运动，P点每秒转过的弧度为ω，记圆心C的高度为0.，你能用一个合适的函数模型刻画的高度y与时间x 的关系吗？ 【教师活动】用GGB展示摩天轮，提出问题1，先引导学生思考当φ=0时的纵坐标y，再将移动到图示所示位置，求y. 【学生活动】当φ=0，由正弦函数的定义，得到y＝Asinωx；将置于如图所示位置，得到在时刻x秒时点P的纵坐标y＝Asin(ωx＋φ). 问题2：y＝Asin(ωx＋φ)图像与学过的哪个函数图像相似？它们有何关系？ 【教师活动】用GGB动态展示纵坐标y随x变化形成的函数y＝Asin(ωx＋φ)图像，生活中的许多现象，例如弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移，潮汐现象中水位的高度也是这类函数模型的应用，前面我们已经学习了正弦 个单位 B.向右平移个单位 个单位个单位 ）=sin［2（x，就能得到y=sin（2）的图象. ）的图象向右平移 ，则所得图象的函数解 ） ）的图象向右平移个单位，得y=sin［2（x ）+］，即 ，就得到函数y=sin2（2x），即 ）的振幅为 ，初期. ）的对称轴为 =k（k∈ ）的图象，只需将函数y=sin（2x+）的图象 ，横坐标保持不变 )，x∈ 个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） ），x∈ +), ）的图象是（ ） =2为最大值.所以直线x= , B., , D., =2 .排除A、B. x+ 满足sin(×1+)=1. ×1+ x→y=3sin（x x- x- ，，作出该函数在一个周期内的草图； ，当x= ，求 -），列出下表： （2）依题意，有∴ 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内，当x=时，y =2；当x= 最大 =-2，那么函数的解析式为（ ） 时，y 最小 A.y=2sin（2x+） B.y=2sin（2x-） C.y=2sin（2x+） D.y=2sin（2x-） 解析：由x=时，y =2，知A=2，同一周期内，y取最大与最小值时x相差- 最大 =. ∴=,T=π. ∴ω==2. ∴y=2sin（2x+φ），代入最大值坐标，得φ=. 答案：A 2.函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴方程为（ ） A.x= B.x=- C.x=- D.x= 解析：依题意，令sin（2x+）=±1，则2x+=kπ+， 从而x=kπ-π，k∈Z.显然k=1时，x=，符合题意. 答案：C 3.已知正弦函数在一个周期内的图象如图1-3- 3所示，则它的表达式应为 …（ ） “三次函数的图象与性质”教学设计 一、教学内容解析： 三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，围绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一大亮点，特别是文科数学。因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。 本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过几何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为： 重点： （1）探究系数a,b,c,d的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律； （2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。 难点： 根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。 二、教学目标设置： 根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标： 1、知识与能力： ①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。 ②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。 ③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。 2、过程与方法： 通过对函数)0(,)(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究，引导学生建立讨论函数性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，掌握研究函数性质的基本过程和方法。 3、情感态度与价值观： 通过直观的图形和抽象的函数性质的统一，培养学生的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养合作精神。 三、学生学情分析： 本节课，学生已初步搭建起研究函数的基本平台，借助导数 2.2.2 二次函数的性质与图象 课堂探究 探究一二次函数的定义 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝c＝0时，函数变为y＝ax2(a≠0)，它的图象是一 条以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线；另外二次函数有以下几种形式： (1)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为其图象的顶点坐标． (2)交点式(也称两根式)：f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是其图象与x轴 交点的横坐标． (3)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 【典型例题1】当m为何值时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x是二次函数？ 思路分析：根据二次函数的定义，只要保证二次项系数2－m≠0且x的指数m2＋m－4＝2 即可． 20 －m， 解：由二次函数的定义知 m＋m－4＝2， 2 m2 m2，， 即解得 所以m＝－3. 2 ＋－＝，＝－或＝， m m60m3m2 所以当m＝－3时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x为二次函数． 点评在求解本题时，一定要严格把握二次函数的定义，也就是说函数y＝ax2＋bx＋c只有 在a≠0的条件下才是二次函数，同时注意二次函数的每一项都是整式形式． 探究二二次函数的图象和性质 1．根据配方法及函数的性质画函数图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性， 使画图更简便，使图象更精确． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的根，二次函数图象在x轴上方部分对应的x取值范围即为不等式ax2＋bx＋c＞0的解；同样二次函数图象在x轴下方部分对应的x取值范围，即为不等式ax2＋bx＋c＜0的解．【典型例题2】已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3. (1)用配方法求出函数的对称轴、顶点坐标，并作出图象，指出其单调区间； (2)由图象写出y≥0时x的取值范围． 思路分析：本题考查配方法和二次函数的图象与性质．解题的关键是配方，完成配方后再 结合图象研究其性质． 《对数函数图像与性质》的教学设计 必修1的《对数函数图像与性质》。设计分为：教材分析、学情分析、教学目标、教学重点与难点、教法与学法、教学过程六个部分。 第一部分：教材分析 函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具。本节的主要内容就是函数x y 2log =的图像和性质。它是函数x y a log =的直观体现，是进一步学习对数函数的图像和性质的准备，又是学习函数图像作法的载体，学习它也是培养和建立数形结合思想的有效途径。本节内容还涉及到前面的指数函数，所以它应该是从指数函数向对数函数过渡的有效纽带。 第二部分：学情分析。 在学习本节课之前，学生们已经学习了二次函数、指数函数图像画法及有关性质，经历了作图、观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证的学习过程，已经了解如何去分析函数式到作图，研究性质去应用，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。但是学生对指、对数及运算还不灵活，函数定义不甚理解，也不能灵活应用图像及有关性质去解题。 第三部分：教学目标：知识与技能，过程与方法，情感、态度、价值观： （1）学生经历学习，掌握函数图像求作的两种基本方法，即描点法和图像变换法，并会用它们作函数x y 2log =的图像；学生经历作图的过程，感受到图像对函数性质的探究非常重要，并会通过图像获知互为反函数的两个函数的图像关于直线y = x 对称，会用x y 2log =的图像特征概括出函数x y 2log =的性质，会用研究x y 2log =的图像和性质的方法类比研究函数x y a log =的图像和性质。 （2）学生能从作函数x y 2log =和x y 2=的图像的过程中较深刻的体会出图像变换法作图的特点和意义，并以此感悟出转化思想在数学中的重要意义；学生在不断感受用图形解题的过程中，会逐步建立起数形结合的思想意识；学生在自己做出的美妙的曲线中感悟出数学的美，并知道数学也具有形象的一面和很感性的地方，学生会更加喜爱数学这门学科。 第四部分：重点难点。 重点：函数x y a log =的概念、图像的作法和应用。 难点：①对数函数在a>1和0 函数的单调性教学设计 一、教材分析 函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示X作用。 二、学情分析 根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点 三、教学目标 1．知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法； 2.过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力． 3.情感、态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用．虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成． 四、教学重点、难点 教学重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性 教学难点：归纳并抽象函数单调性定义；用定义判断单调性的基本步骤 五、学法与教法 学法： 〔1〕合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题 〔2〕自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动 〔3〕探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知〔如例题的处理〕。 教学用具：电脑、多媒体。 教法： 整堂课围绕“一切为了学生发展〞的教学原那么 22.1.3 二次函数2 y a x h k =-+的图像和性质〔第1课时〕教案 () 一、【教材分析】 二、【教学流程】 吗？ 【问题2】单项式 2 12 x 的最小值是多少？你是怎么得出的？ 21 (2)2 x -的呢？ 多项式2 1222 x x -+的最小值 呢？说一说你的研究。 从平方的定义入手，说一说为什 么21222x x -+=2 1(2)02 x -≥？ 多角度看问题，才能把 问题理解透彻. 自 主 探 究 探究1．在同一直角坐标系中，画出以下函数的图象． 221x y =，2)2(2 1+=x y ， 2)2(2 1-=x y ，并指出它们的 开口方向、对称轴和顶点坐标． 探究2．多项式2 1222x x -+的最小值和2 )2(21-=x y 的顶点坐标有什么关联？ 充分放手，让生到黑板画图，并在生观察的根底上，指名答复特征及 它们的联系。 y x y = 0.5∙x + 2()2 y = 0.5∙x 2()2 y = 0.5∙x 2 –1 1 23456789–7–6–5–4–3–2–11234567 移动2 还原1 移动1 O 当多项式中x 取2时，多项式有最小值，也就是二次函数当x 取2时，有最低点，x =2是二次函数的对称轴。 21222 y x x =-+ 21(44)2y x x =-+=21(2)2x - 回忆与反思： 对于抛物线2 )2(2 1+=x y ，当 作 业 必做：1.《同步学习与探究》开放作业10题. 选做： 《同步学习与探究》拓展学习11题. 教师布置作业，并提出要求. 学生课下独立完成，延续课堂. 三、【板书设计】 22.1.3 二次函数2()(0)y a x h a =-≠的图像和性质 y x y = 0.5∙x + 2()2 y = 0.5∙x 2()2 y = 0.5∙x 2 –1 1 2345 678 9–7–6–5–4–3–2–1 1234567 移动2 还原1 移动1O … … 四、【教后反思】 二次函数在授课时，从多角度观察问题，二次三项式、图像、几何画板等会加深对问题的理解，但要掌握时机，电脑不能代替人脑.几何画板时机呈现过早，会使理解浅薄化. 知识的补充是应该的，课本的弊端只有“编着教材上课〞才能防止，教材的变革势在必行了. 用生活化的语言来理解函数也是一种手段. 2019-2020年高中数学2.2.1《一次函数的性质和图像》教案一新人教B 版 必修1 本节教材分析 一 三维目标 1知识与能力目标 （1）理解一次函数的概念，理解k 和b 分别决定了函数的哪些性质。 （2）掌握利用两个适当的点画出一次函数的图象。 （3）结合图象，使学生理解掌握一次函数的性质。 2过程与方法目标 （1）在探究一次函数的性质过程中提高探索新问题的能力，动手能力及现代化操作技术能力。 （2）培养学生分类讨论及数形结合的思想方法。 3情感态度与价值观目标 （1）培养学生勇于探索，敢于质疑，善于动脑的钻研精神。 （2）训练学生的观察力、分析力及总结能力。 二 教学重点 一次函数的图像和性质。 三 教学难点 对一次函数y=kx+b （k b 为常数，k ≠0）中的数与形的联系的理解。 四 教学建议 本节内容初中有所接触，所以学生并不感到陌生。在讲解的过程中教师只做适当点拨即可，多画图形让学生自己观察、归纳、总结，进而得出结论。不过对于斜率k 的讲解要详细些，学生对平均变化率不好理解。 新课导入设计 导入一：函数比较抽象，所以可以从直观化的图像入手，分别画几个一次函数的图像，然后教师点拨，让学生归纳总结出一次函数的性质。 导入二：一次函数在初中已经接触过，可以从复习的角度导入，让学生回顾一次函数的概念，一次函数的图像。总结出一次函数的性质与图像。 四、 教学过程 创设情境，引入课题 前面我们己学习了一次函数的概念，一般地，如果)0,,(≠+=k b k b kx y 为常数，那么叫的一次函数。特别地：当时，一次函数就变成了正比例函数。 在同一直角坐标系中投影出13,1,3,+=+===x y x y x y x y 的函数图象，让学生观察它们的图象都是直线并引入课题。 所有的一次函数的图象都是直线。因此要画一次函数的图象——一条直线，就没有必要把所有的点都描出来，只要描出两个点就可以了，因为两个点确定一条直线。利用这个结论，我们可以更快地作出一次函数的图象，并对它的性质进行研究。 描点画图，归纳画法 【过渡】下面我们一起来画首先共同画出正比例函数与的图象。并由此归纳出正比例函 7．3.1 正弦函数的性质与图像(二) 【学习目标】 1.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦型曲线. 2.通过正弦曲线进一步加深对正弦函数性质的了解. 3.在学习的过程中，提高数形结合思想方法的掌握能力，培养严谨、认真的数学素养 【学习重难点】 重点：画正弦函数的图像 难点：利用正弦线画出正弦函数的图像 【课堂导学】 知识点一复习正弦函数的性质 思考从对应的角度如何理解正弦函数的概念？ 知识点二如何作正弦函数函数的图象 思考1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？ 答案：根据正弦函数的性质画出y＝sin x，x∈[0,π]得到y＝sin x，x ∈[-π,π]的图像，因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数 y＝sin x，x∈[2kπ-π，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sin x，x∈[-π,π]的图象的形状完全一致．于是只要将函数y＝sin x，x∈[-π,π]的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，如图． 知识点三“五点法”作正弦函数的图象 思考1 描点法作函数图象有哪几个步骤？ 答案列表、描点、连线． 思考2 “五点法”作正弦函数、余弦函数在x∈[0,2π]上的图象时是哪五个点？ 答案 画正弦函数图象的五点(0,0) （ π 2 ，1） (π， 0) （ 3π 2 ， -1） (2π，0) 梳理“五点法”作正弦函数y＝sin x(x∈[0,2π])图象的步骤(1)列表 x 0 π2 π 3π 2 2π sin x 0 1 －1 0 (2)描点 画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 3π2，－1，(2π，0)； (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数y ＝sin x(x ∈[0,2π])的简图． 类型一 “五点法”作图的应用 例1 利用“五点法”作出函数y ＝1+sin x(0≤x ≤2π)的简图． 解： 取值，列表如下． x 0 π2 π 3π2 2π sin x 1 0 －1 0 1+sin x 1 2 1 1 用牛顿迭代法求方程的近似解 一．内容与内容解析 本节课内容是人教版选修2-2第一章第二节探究与发现的内容，教学内容是用牛顿迭代法求方程的近似解。在本节课中，在学生会用二分法求方程近似解的基础上，通过探究和发现，使学生能借助导数研究函数，利用切线逼近函数，进而理解迭代法的含义和作法，培养学生逼近的思想，以直代曲的思想，同时强化算法思想。本节课通过Leonardo方程的求近似解问题，复习和巩固二分法求方程近似解的思想，步骤和算法，并借助导数和切线理解牛顿迭代法的“以直代曲”思想和逼近思想，并分析整理牛顿迭代法的步骤和算法，并用牛顿迭代法解决实际问题。在教学中，通过借助图形计算器的探究，以及问题引导的方式，培养学生分析问题，探究问题和合作解决问题的能力，借助二分法的复习培养学生类比的思想，同时体会知识的联系和应用。本节课中给出的Leonardo方程有丰富的历史背景，练习中的开普勒方程又有实际背景，通过本节课的例子可以培养学生对数学的热爱以及强烈的求知欲望，对古代数学家坚忍不拔的毅力的学习以及对数学在实际生活中的巨大作用的认识都能使学生更加肯于钻研，并产生对数学的巨大兴趣。 教学重点：牛顿迭代法的迭代思想和过程。 二、目标和目标解析 1．复习和巩固用二分法求方程的近似解 二分法求方程的近似解是高中数学必修教材中的内容，和方程与函数的零点的关系一起，作为函数的性质的应用部分，是学生联系实际的重要内容，本节课以求Leonardo方程作为引入和研究对象，联系和复习二分法是顺理成章的，也能够将学习过的内容再现和升华。 2．探究并总结牛顿迭代法求方程的近似解 牛顿迭代法是中学生能够接受的一种较简单的迭代方法，而且十分有效，但如果脱离图形计算器，也是非常困难的。本节课的核心就是通过探究和实践，使学生能够完全理解牛顿迭代法的迭代原理，并能够通过图形计算器进行实际应用，提高了学生解决实际问题的能力。 3．培养学生利用图形计算器进行复杂计算和图形功能探究解决问题的能力。 培养探究精神一直以来都是数学课堂上的重要任务，但探究能力的培养，不是一朝一夕的功夫，需要学生能够有所依靠，图形计算器的配备和使用，使学生能够有充分的工具去施展，不再畏惧图形的不可知性和计算的繁琐复杂。有了直观的感知，才是探究的源泉，对 正弦函数的图像和性质(第一课时) 一、教学具准备 直尺、圆规、投影仪 二、教学目标 1.了解作正弦函数图像的三种常见方法； 2.掌握五点作图法,并会用此方法作出[0,2]π上的正弦曲线； 3.会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像。 三、教学过程(课件辅助教学) 1.设置情境 引导学生观看Flash 动画（沙漏实验）：红色漏斗中装有细沙，当它左右摆动时，细沙漏出，均匀撒在匀速移动的平板上，问：细沙在平板上构成何种曲线？ 引出本节课我们将一起来学习作正弦函数图像的方法. 2.探索研究 (1)通过练习：比较o 125sin 与o 145sin 的大小复习正弦线的概念 前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法,请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？(师画图1) 设任意角α的终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过点作x 轴的 垂线,垂足为M ,则有向线段MP 叫做角α的正弦线,有向线段OM 叫做角α的余弦线. (2)通过描点法作图发现(,sin )33 C π π 不能做出该点的精确位置，如何利用已经学过的知识来解决此问题？ 在直角坐标系中如何作点(,sin )αα由单位圆中的正弦线 知识,我们只要已知一个角α的大小,就能用几何方法作出对应的 正弦值sin α的大小来,请同学们思考一下,如何用几何方法在直 角坐标系中作出点( ,sin )33 C π π ？ 教师引导学生用图2的方法画出点C . 我们能否借助上面作点C 的方法在直角坐标系中作出正弦函数sin ,y x x R =∈的图像呢？ x 图 1 图2 ①用几何方法作sin ,[0,2]y x x π=∈的图像 (边画图边讲解),我们先作sin y x =在[0,2]π上的图像,具体分为如下五个步骤: a.作直角坐标系,并在直角坐标系中y 轴左侧画单位圆. b.把单位圆分成12等份(等份越多,画出的图像越精确).过单位圆上的各分点作x 轴的垂线,可 以得到对应于0, 6 π , 3π ,2 π ,…,2π角的正弦线. x c.找横坐标:把x 轴上从0到2(2 6.28)ππ≈这一段分成12等分. d.找纵坐标:将正弦线对应平移,即可指出相应12个点. e.连线:用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来,即得sin ,[0,2)y x x π=∈的图像. ②作正弦曲线的sin ,y x x R =∈图像. 图为终边相同的角的三角函数值相等,所以函数sin ,[2,2(1))y x x k k ππ=∈+且0k ≠的图像与函数sin ,[0,2)y x x π=∈的图像的形状完全一样,只是位置不同,于是我们只要将函数 sin ,[0,2)y x x π=∈的图像向左、右平移(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数数sin ,y x x R =∈的图像,如图. x 正弦函数的性质与图像教学设计 一、 支持材料 1、选择的线上网络平台：腾讯课堂极速版，该软件有进行上课直播及录制、屏幕分享、连麦学生等功能。 2、线上教学支撑材料列表 二、背景分析 1.教学内容分析 《正弦函数的性质与图像》是高中新课标人教B 版必修第三册第七章7.3.1的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正弦函数的图像与性质的，它是学习三角函数图像与性质的入门课，是今后研究正弦型函数Asin()y x ωϕ=+的图像，余弦函数、正切函数的图像与性质的知识基础和方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。 本节共分三个课时，本课为第一课时，主要是让学生了解发现正弦函数就在我们生活之中，通过圆柱的斜切引出正弦函数图像，利用正弦线画出sin ,[0,2]y x x π=∈的图像，考察图像的特点，用“五点作图法”画正弦函数图像简图，再利用图像研究正弦函数的部分性质（定义域、值域等）。 2.课标分析 课标对于本节课的要求如下： （1）会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图像； （2）掌握正弦函数图像的“五点作图法”； （3）掌握正弦函数的性质； （4）培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力； （5）培养数形结合和化归转化的数学思想方法。 3.教材分析 （1）教材主要分为了以下三部分： 1.正弦函数的性质 2.正弦函数的图像 3.用信息技术作正弦曲线 教材的思路是十分清晰的，在第一部分正弦函数的性质中，首先利用定义以及诱导公式，得到正弦函数的定义域、值域、奇偶性的性质。其次介绍引入了新的性质——周期性，并通过诱导公式sin(2)sin x k x π+= ()k ∈Z 得到2π是正弦函数最小正周期的结论。最后对于三角函数线的观察得到单调性与函数零点的性质。 在正弦函数的图像这一部分，教材首先根据正弦函数是奇函数的性质，选取了[0,]π上九个特殊点，绘制出了sin ,[,]y x x ππ=∈-上的图像。最后介绍“五点法”，绘制了sin ,[0,2]y x x π=∈与sin 1,[0,2] y x x π=+∈ 7.2.2 单位圆与三角函数线 本节课是人教B版必修四第一章第二节的第2课时，安排在角的概念的推广、弧度制、三角函数的概念之后。著名数学家欧拉提出三角函与三角函数线的对应关系之后，使得对三角函数的研究大为简化。通过本节课的学习，把三角函数的代数意义和几何意义有机地结合起来，由“数”转化为“形”，又为继续学习三角函数的各种关系式、诱导公式、三角函数的图象及性质等提供了另一种工具、具有承前启后的重要作用。由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，所以应用三角函数线解决三角问题显得非常直观，有利于提高学生自主地分析问题和解决问题的能力。通过本节课的学习，学生需要能借助单位圆理解三角函数线的定义，会画出任意角的三角函数线，能根据三角函数线总结出三角函数值随角度变化的规律，能运用三角函数线解决简单的实际问题。通过三角函数线的作图，掌握用数形结合的思想解决数学问题的方法，提高学生自主分析问题，解决问题的能力。 【教学重点】 正确使用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯 【教学难点】 理解三角函数与三角函数线间的关系，并能应用三角函数线解决实际问题 问题1：正弦线与余弦线 答：不难看成，如果2 2 1x y +=，则sin ,cos y x αα==， 因为221x y +=1=， 因此(,)P x y 到原点(0,0)的距离为1，一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足2 2 1x y +=的点组成的集合称为单位圆。因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为(cos ,sin )αα. 知识点1 正弦线与余弦线 1．一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2＋y 2＝1的点组成的集合称为单位圆. 2．过角α终边与单位圆的交点P 作x 轴的垂线，垂足为M ， 当OM → 的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝||OM ， 当OM → 的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－||OM ， 称OM 为角α的余弦线， 类似地，MP → 可以直观的表示sin α，称MP 为角α的正弦线． 注：利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看成角地正弦和余弦地信息，例如上图中，角β的余弦线是ON ，正弦线是NS ，由此可看成cos 0,sin 0ββ<<，而且还可以看出： |cos ||cos |βα>，|sin ||sin |βα<。 【对点快练】 《赵爽弦图中的不等式性质的再探究》教学设计 一．教学内容解析 基本不等式是高中最重要的一个不等式，其结构简单、均匀对称，意蕴深厚。由两个正数通过加法、乘法、除法和开方四种运算，产生了它们的算术平均数和几何平均数的内在规律，实现了概念原理、符号语言、图形语言与自然语言的有机结合和高度统一，数学之美、数学之奇、数学之简、数学之趣尽在其中，蕴含了丰富的数学文化特征和多样的数学智慧因素。 《赵爽弦图中的不等式性质的再探究》是《基本不等式》内容的延伸。教学中选用“赵爽弦图”作为“数学探究”的素材和平台，以问题为线索，以TI-NspireCX-C CAS （图形计算器）为手段，搭建探究平台，引导学生通过观察，试验，猜想、验证及应用，并适当进行扩充或引伸，从中获得新的结果，新的方法，新的思想，体验数学发现和创造的历程。不仅扩大了学生的数学视野，促进对数学本质的理解，而且逐渐优化认知结构，使学生更深刻体会数学的文化价值和应用价值。 基于以上的分析，本节课的教学重点确定为：在利用赵爽弦图学习勾股定理和基本不等式的基础上，进一步挖掘和探究弦图中蕴含的不等式性质及其数学内涵. 二．教学目标设置 本节课立足学生的思维水平和认知特点，着眼于培养学生的探究、发现能力，具体教学目标确定为以下三点： （1）利用赵爽弦图，深入挖掘其中说蕴含的丰富的不等关系（即基本不等式链）。 （2）启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，经历基本不等式链的发现、建构、应用，感受数学的拓广过程，体会数形结合思想，提高数学的归纳能力和抽象能力。 （3）通过赵爽弦图中不等式性质的探究，培养学生善于思考、乐于探索的良好品质. 三．学情分析 学生在初中时通过赵爽弦图学习了勾股定理，在推导基本不等式时学生再次学习赵爽弦图，一样的图形背景，不同的问题指向，从等量关系（勾股定理2 2 2 c b a =+）到不等关 系（基本不等式b a ≥+此前学生已经学习了不等式及其性质、解三角形、解析几何等有关知识，具备了必要的认知基础，也具有了一定的观察分析、抽象概括能力，并能用TI （图形计算器）解决常 2019-2020年高中数学 3.3《三角函数的图像和性质》教案（3）湘教版必 修2 教学目的： 1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3掌握正弦函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期及求法 教学重点：正、余弦函数的性质 教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx，x∈[0， 2π]的图象中，五个关键点是： (0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0) 余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是 (0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1) 3．定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］， 分别记作：y＝sin x，x∈R y＝cos x，x∈R 4．值域 正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］ 其中正弦函数y=sin x,x∈R ①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1 ②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1 而余弦函数y＝cos x，x∈R ①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1 ②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1 5．周期性 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时， 都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 1周期函数x定义域M，则必有x+T M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t) f (x0)）3T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π 6．奇偶性 y＝sin x为奇函数，y＝cos x为偶函数 正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称 7．单调性 正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1 二、讲解范例： 例1求下列函数的周期： (1)y＝3cos x，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R； (3)y＝2sin(x－)，x∈R 解：(1)∵y＝cos x的周期是2π ∴只有x增到x＋2π时，函数值才重复出现 ∴y＝3cos x，x∈R的周期是2π (2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝sin Z，Z∈R的周期是2π 即Z＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)． 只有当x至少增加到x＋π，函数值才能重复出现 ∴y＝sin2x的周期是π (3)令Z＝x－，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝2sin Z，Z∈R的周期是2π，由于Z＋2π＝(x－)＋2π＝ (x＋4π)－，所以只有自变量x至少要增加到x＋4π，函数值才能重复取得，即T＝4π是能使等式2sin［ (x＋T)－］＝2sin(x－)成立的最小正数从而y＝2sin(x－)，x∈R的周期是4π 从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x的系数有关 一般地，函数y＝A sin(ωx＋)，x∈R及函数y＝A cos(ωx＋)，x∈R(其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝ 根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子： (1)T＝2π，(2)T＝＝π，(3)T＝2π÷＝4π 例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0 (1)sin(－)－sin(－)； (2)cos(－)－cos(－)． 解：(1)∵－＜－＜－＜． 且函数y＝sin x，x∈［－，］是增函数 文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持. 《三次函数》教学设计 一．教学内容解析 三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材 . 本节课是在复习了函数（二次函数）和导数的基础上的一节高三复习探究课. 通过本节课的学习，有助于学生对导数知识的进一步理解和掌握. 二．教学目标设置 通过本节的学习，达到以下三个目标： 1. 知识与技能 （1）用函数的观点系统梳理三次函数的概念、图象等有关性质。 （2）利用三次函数的导数 ( 二次函数 ) 进一步研究三次函数的图象特征, 并准确记忆三次函数的图象及性质 . （3）掌握与三次函数有关的常见问题及解决办法，以及在此过程中所渗透的转化,分类讨论, 数形结合等数学思想. 2.过程与方法 利用导数及二次函数的知识去研究三次函数的图象，进一步利用导函数与原函数图象间的关系来解决函数单调性、极值、最值、方程根的个数（图象的交点个数）、和恒成立问题. 3. 情感态度价值观 让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程，体会事物之间的内在联系. 三．学生学情分析 本节课是在学生学习了二次函数以及导数的基础上进行的扩展探究，是对导数知识的拔高训练，虽有一定的知识储备，但是仍有一定的理解难度. 四．教学策略分析 利用学生已有的知识去探究其未了解的知识，一切以学生的认知结构为出发点，去设置问题和选题 . 层层递进，由浅入深，引导并鼓励学生自己发现并解决问题. 五．教学过程 1.知识梳理 定义 :形如 f ( x)ax 3bx 2cx d( a0) 的函数叫做三次函数. 定义域R,值域 R. f '( x)3ax22bx c ,其中4(b23ac) a 000 y y 导函 数图 x1 Ox2 x O x0x y O x 0x 示范教案 整体设计 教学分析 有了前面的知识储备，我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念，作指数函数的图象以及研究指数函数的性质． 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等．同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值． 根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持． 三维目标 1．通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想． 2．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力． 3．通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美． 重点难点 教学重点：指数函数的概念和性质及其应用． 教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用． 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的3 4，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的关系式， 它是函数关系式吗？若是，请计算若要使存留的污垢不超过原有的 1 64 ，则至少要漂洗几次？教师引导学生分析，列出关系式y ＝(1 4)x ，发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数 的位置上，这样的函数叫做指数函数，引出本节课题． 思路2.教师复习提问指数幂的运算性质，并要求学生计算23,20,2 －2, 162 13 241 49 ,27,16－ .再提 问怎样画函数的图象，学生思考，分组交流，写出自己的答案8,1，14，2,9，1 7，先建立平面直 角坐标系，再描点，最后连线．点出本节课题． 推进新课 新知探究 提出问题 1．一种放射性物质不断衰减为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%，求出这种新人教B版必修1高中数学一次函数二次函数的图像与性质学案
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