二维光子晶体带隙的计算方法及研究现状
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二维光子晶体带隙的计算方法及研究现状／王充等·９３·二维光子晶体带隙的计算方法及研究现状＋王充１，彭同江２，段涛２
（１西南科技大学理学院，绵阳６２１０１０；２西南科技大学矿物材料及应用研究所，绵阳６２１０１０）摘要二雏光子晶体制备简单，且在可见光范围内更容易产生带隙，在光通信及新型光子器件设计等方面具有重要应用。但当前研究工作中理论计算对实验制备的指导作用明显不够，因此对二维光子晶体带隙的各种计算方法，如平面波展开法、ＦＤＴＤ法、多极法等进行了评迷。发现各种方法各有优缺点，如平面波展开方法应用广泛、概念清晰，但收敛速度慢；时域有限差分法通用性适用性强、节约存储空间，但精确度低。通过评述总结出不同方法的适用范围及发展趋势。关键词二维光子晶体平面波展开方法ＦＤＴＤ法多极法
ＳｔｕｄｙｏｎＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＭｅｔｈｏｄｏｆＴｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ
ＰｈｏｔｏｎｉｃＣｒｙｓｔａｌＢａｎｄＧａｐ
ＷＡＮＧＣｈｏｎ９１，ＰＥＮＧＴｏｎｇｊｉａｎｇａ，ＤＵＡＮＴａ０２
（１ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｍｉａｎｙａｎｇ６２１０１０；２ＡｃａｄｅｍｉｃＩｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎｏｆＭｉｎｅｒａｌＭａｔｅｒｉａｌａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｍｉａｎｙａｎｇ６２１０１０）
ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓ。ｉｎｔｈｅｆｅａｔｕｒｅｓｏｆｓｉｍｐｌｅｐｒｅｐａｒａｔｉｏｎａｎｄｂａｎｄｇａｐｍｏｒｅｅａｓｉ—ｌＹｐｒｏｄｕｃｅｄｉｎｔｈｅｖｉｓｉｂｌｅｌｉｇｈｔｓｃｏｐｅ，ｐｌａｙｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｉｎｔｈｅａｓｐｅｃｔｓｏｆｏｐｔｉｃａｌｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎａｎｄｎｅｗｐｈｏ—
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ｍｅｔｈｏｄ，ＦＤＴＤ
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ｍｅｔｈｏｄ
０引言光子晶体的概念在１９８７年由ＹａｂｌｏｎｏｖｉｔｃｈＬｌ］和Ｊｏｈｎ［ｚ］提出，因其具有效率高、信息容量大、响应能力快等优异性能而被广泛应用于各个领域，如光子晶体光纤［３］、光子晶体激光器、光子晶体波导［４］等。光子晶体是一种折射率在空间呈周期性变化的介电结构，其变化周期和光的波长为同一个数量级。由于具有特定频率的电磁波在光子晶体中被禁止传播，因此光子晶体也称光子带隙材料。光子晶体如此广泛的应用正是基于光子带隙的存在。二维光子晶体更容易在可见光和红外频率范围内产生带隙，而且其结构简单、制备容易，并得到了广泛的应用，因此对二维光子晶体带隙的计算研究和设计具有重要意义。
目前对光子晶体带隙计算的方法主要有平面波展开法、时域有限差分（ＦＤＴＤ）法、多极法、传输矩阵法和多重散射法等。最常用的方法有平面波展开法、ＦＤＴＤ法和多极法。本文主要介绍计算二维光子晶体带隙的各种方法及其研究现状。１二维光子晶体的计算方法及研究现状１．１平面波展开法１．１．１平面波展开法的理论推导根据ＭｅｘｗｅｌｌＥ５１方程组可得到：１—一一—一Ｖｘ号弋Ｖ×Ｈ（ｒ）一（三）２Ｈ（ｒ）（１）在周期结构中，由Ｂｌｏｃｈ定理有：再（ｒ）＝∥肼“（；）最（２）ｕ（ｒ＋Ｒｆ）一“（ｒ）（３）式中：灵，＝ｍ。三．十ｍ：三：，为格矢；ｅ＋。表示垂直于波矢ｉ且平行于Ｈ的单位矢量；ｍ。、肌：为任意整数，ａ。、ａ。为周期结构格子的基矢。
＊四川省科技厅基金项目（２００７Ｊ１３－０２１）王充：男，１９８４年生，硕士研究生，主要研究方向：光子晶体的计算与制备Ｅ－ｍａｉｌ：ｗ－ｃｈｏｎ９１９８４＠ｓｏｈ，，ｃｏｒｎ彭同江：通讯作者，男，１９５８年生，博士，教授，博士生导师，主要研究方向：晶体结构与晶体化学、矿物材料、纳米材料Ｅ－ｍａｉｌ：ｔｊｐｅｎｇ＠ｓｗｕｓｔ．ｅｄｕ．ｃｎ
万方数据·９４·材料导报：综述篇２００９年９月（上）第２３卷第９期将商（ｒ）用平面波展开（考虑到ｖ．一Ｈ一０，可令孟．（戽０）＝０（ａ＝１，２）。其中：ｇ＝ｈ。ｂ，＋＾。ｂ。，为倒格矢；吼为垂直于若＋弓的２个方
向矢量（Ａ一１，２）；ｈ－、ｈｚ为正整数，ｂ．、ｂ２为倒格子基矢。同Ⅳ（，．）一Ｆ妒¨．ｒ＞：ｈ（Ｇ。）一曲７理将￡－１（ｒ）用平面波展开，￡１（ｒ）一≥：ｅ－１（Ｇ）Ｆ坩一。由式－－ｙ－８＂
一ｙｈ（否。，Ａ）ｅ，ｄＨ８】．薯《靶（４）
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２Ｊ
若取平面波的个数为行，则式（３）是一个典型的求解ＺｈｕａｎｇＦｅｉ等ｒ１４１利用平面波展开法计算了二维各向异性的
２ｎＸ２ｎ矩阵特征值问题。求出矩阵的特征值和特征向量后，三角晶格椭圆柱光子晶体的带隙，通过优化椭圆柱体的参就可以得到光子晶体的能带结构以及本征电磁场在空间的数，发现在高低频区都有大带隙。汪冬燕等ｕ铂用平面波展开
分布。法模拟计算了二维各向同性的ＧａＡｓ、Ｓｉ、Ｇｅ不同介质所组成１．１．２平面波展开法应用举例并口研究现状的三角晶格光子晶体的带隙大小。Ｄ．Ｂｅｒｎｉｅｒ等Ｈ６３用平面（１）在二维光子晶体中，采用三角结构能获得更大带隙，波展开法处理了平板光子晶体高折射率材料，解释了波长的因此许多学者利用平面波展开法对这种结构进行了计算和变化可以引起强棱散射的现象。Ｍ．久Ｕｓｔｙａｎｔｓｅｖ等［１７１在设计。理论上研究了二维金属绝缘光子晶体绝缘背景层的影响，运卢纪丽等［６］用平面波展开法研究了三角晶格光子晶体用平面波展开法计算出了光子能带结构，结果表明能带结构
波导的带隙特性，分析品格常数为ａ－－－－０．１ｍｍ的三角晶格硅向低频方向移动，并随着介电常数的增加而退化。以上结论介质柱二维光子晶体，通过数值计算可得到最大光子带隙。为人们寻找尽可能高的介电常数作为背景材料制作光子晶廖兴展等［７１用平面波展开法分析了三角形结构空芯ＰＢＧ光体提供了理论依据。
子晶体光纤的带隙分布特性，结果表明带隙宽度随着填充系１．１．３平面波展开法的优缺点数的增加而增大，而且随着填充介质相对介电常数的增大，一般情况下，用光子晶体的方程无法求出解析解，且由带隙宽度减小。随着光通讯在人们日常生活中起到的作用于电磁场的矢量特性，使数值模拟比较困难。然而由于光子
越来越大，对光子晶体光纤的研究也越来越热，以上结论为间不存在相互作用，现在发展比较成熟的几种数值模拟方法光子晶体光纤的研究提供了重要理论依据。米燕等ｒ８］通过都与实验取得了良好的一致性。尤其是平面波展开方法，在平面波展开法模拟了实验所用的空芯光子晶体光纤的带隙计算光子晶体能带结构中，其应用结构的周期性，将Ｍａｘ一图，并与自制的空芯光子晶体光纤的透射谱进行对比，发现ｗｅｌｌ方程从实空间变换到离散Ｆｏｕｒｉｅｒ空间，并将能带计算理论结果与实验结果较吻合。谭春华等［９３用平面波展开法简化成对本征值问题的求解，物理概念清晰，通用性强，是光计算了光子晶体的禁带结构，提出了一种调节液晶光子晶体子晶体理论分析方法中应用最早和最广的一种方法‘培］。平
光子带隙的方法，即通过外界光场控制所填充的向列相液晶面波展开法的缺点是收敛速度慢，且对于金属光子晶体带隙
分子的方向可以对这种二维三角形介质柱光子晶体的禁带的计算存在缺陷。
结构进行调节。１．２时域有限差分法（ＦＤＴＤ法）
（２）除了三角形光子晶体结构，还可以利用平面波展开１．２．１时域有限差分法的理论依据
法来对其它结构形式的光子晶体进行设计。通过这些研究，由于光子晶体是一种典型的周期结构，采用时域有限差
为光子晶体的设计和制备提供了新思路。分（Ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｔｉｍ｝ｄｏｍａｉｎＦＤＴＤ）法可快速有效地分
ＭＫｈａｔｉｂｉＭｏｇｈａｄａｍ等ｎ叩利用平面波展开法在三角
析光子晶体带隙。采用基本Ｙｅｅ元胞口９］，将计算域空间进行
形绝缘空气棒中引入线缺陷，设计了一种光子晶体波导，它网格划分。节点上的Ｅ、Ｈ场分量在空间和时间上交替排
可以提供具有很大带宽的单模带。汪静丽等ｎｕ采用平面波布，应用这种离散方式可以将含有时间变量的麦克斯韦旋度
展开法处理了一种棋盘格子复式晶格的二维光子晶体，结果方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空
表明这种结构会产生完全光子带隙。杨毅彪等口２３采用平面间电磁场。加入周期边界条件后，用ＦＤＴＤ分１个周期单
波展开法模拟计算了由锗圆柱构成的Ｇｒａｐｈｉｔｅ格子二维光元就可得到周期结构的空间电磁场的分布。
子晶体的带隙结构，并得到了使完全带隙最大化的结构参在直角坐标系中：
数。ａＨ、．ａＨ，ａＥ．，…
（３）除了对结构的设计，材料的适当选择也会增大光子畜一百了３６百十犯ｚ∞’
晶体的带隙，如高折射率材料等。因此许多学者利用平面波ａＥ３Ｈ
展开法分析了材料对光子晶体带隙的影响。Ｏｙ
Ｐ
３ｔ
”’
ＡｌｅｘａｎｄｅｒＧｌｕｓｈｋｏ等ｕ副用平面波展开法分析了二维光
ａＥ：ａＨ。
…
子晶体中三分量的引入对光子能带结构和系统态密度的影ｄｚａ￡响，得到夹层间介电常数以及夹层厚度与带隙宽度的关系。将式（６）一（８）写成离散式：
