高一北师大版学案系列32

3.2 基本不等式与最大(小)值学习目标1.理解与两正数和积相关的命题.(数学抽象)2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(逻辑推理)3.会用基本不等式解决简单的实际问题.(数学建模、逻辑推理)必备知识·自主学习导思1.如何记忆利用基本不等式求最值时是最大还是最小?2.利用基本不等式求最值时要满足什么条件?利用基本不等式求最值大前提条件结论三个注意点x,y均为正数若x+y=s,则当x=y 时积xy取得最大值一正:x,y必须是正数;二定:和“x+y”为定值或积“xy”为定值;三相等:等号是否能够取到若xy=p,则当x=y时和x+y取得最小值2在利用基本不等式求两个数或代数式的最值时必须注意的三个条件是什么?提示:①x,y必须是正数.②求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为定值.③等号成立的条件是否满足.综上,解决问题时要注意“一正、二定、三相等”.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)对于任意实数x,y,若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值s2. ( )(2)若两个正数的积是定值p,则这两个正数的和一定有最小值2.( )(3)因为sin x·=1(x∈(0,2π))为定值,所以y=sin x+有最小值. ( )(4)若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集为M,则必有2∈M. ( )提示:(1)×.条件中没有说明x,y∈(0,+∞),故错误.(2)×.等号不一定能取到,故错误.(3)×.sin x可正可负,故不满足两数都为正数,故错误.(4)√.把x=2代入不等式可得(1+k2)×2≤k4+4,即k4-2k2+2≥0,因为k4-2k2+2=+1≥1恒成立,故k4-2k2+2≥0成立.2.若x>0,则x+的最小值为( )A.2B.3C.2D.4【解析】选D.因为x>0,所以x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时等号成立,所以x+的最小值为4.3.(教材二次开发:例题改编)(2020·大连高一检测)设a,b是实数且a+2b=3,则2a+4b的最小值为.【解析】根据题意,有2a+4b≥2=2=2=2=4,当且仅当2a=4b时取最小值4.答案:4关键能力·合作学习类型一利用基本不等式求最值(逻辑推理)1.(2020·银川高一检测)已知x>2,y=x+,则y的最小值为( )A.2B.1C.4D.32.已知函数f(x)=x+(x<0),则下列结论正确的是 ( )A.f有最小值4B.f有最大值4C.f有最小值-4D.f有最大值-43.函数y=log2(x>1)的最小值为.【解析】1.选C.因为x>2,y=x+,所以y=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号.2.选D.由题意,因为x<0,可得-x>0,则f(x)=x+=-≤-2=-4,当且仅当-x=,即x=-2时取等号,所以f(x)的最大值为-4.3.因为x++5=(x-1)++6≥2+6=8,所以log2≥3,所以y min=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.答案:3利用基本不等式求最值的两种形式及相应的策略(1)形式一:积定和最小.当a,b都为正数,且ab为定值时,有a+b≥2(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时a+b 有最小值,即“积定和最小”.(2)形式二:和定积最大.当a,b都为正数,且a+b为定值时,有ab≤(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时ab 有最大值,即“和定积最大”.以上两类问题可简称为“积大和小”问题.【补偿训练】已知t>0,则函数y=的最小值为.【解析】y==t+-4≥2-4=-2,当且仅当t=,即t=1或t=-1(舍)时,等号成立,所以y的最小值为-2.答案:-2类型二利用基本不等式求范围(逻辑推理)角度1 一般求范围问题【典例】已知x>0,y>0,且满足+=2,则8x+y的取值范围是.【思路导引】利用已知条件,使代数式8x+y能利用基本不等式求最值.【解析】因为x>0,y>0,+=2,则+=1,所以8x+y=(8x+y)=5++≥5+2=9.当且仅当=⇒y=4x⇒x=,y=3时,等号成立.所以,8x+y的取值范围是[9,+∞).答案:[9,+∞)已知a,b为正实数,向量m=(a,a-4),向量n=(b,1-b),若m∥n,则a+b的取值范围为. 【解析】因为m∥n,所以a(1-b)-b(a-4)=0,所以a+4b=2ab,所以+=1,且a,b为正实数,所以a+b==++2+≥2+=,当且仅当=时取“=”.所以a+b的取值范围为.答案:角度2 含参数不等式的求参数问题【典例】不等式|x2-3x|+x2+32≥kx恒成立,则k的取值范围是.【思路导引】先分离参数,再利用基本不等式求最值,最后得出范围.【解析】当x∈[1,9]时,不等式|x2-3x|+x2+32≥kx等价为≥k,设f(x)=,当1≤x≤3时,f(x)=3+在[1,3]上单减,所以f(x)min=f(3)=,当3<x≤9时,f(x)=2x+-3≥2·-3=13,当且仅当2x=,即x=4时成立,所以f(x)的最小值为13.所以k≤13.综上所述,k的取值范围是(-∞,13].答案:(-∞,13]含有参数的不等式问题解题策略(1)对于求不等式成立时的参数范围问题,在条件简单的情况下把参数分离出来,使不等式一端是参数,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为求函数的最大值或最小值.如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,就不要使用分离参数法.(2)一般地,a≥f(x)恒成立时,应有a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立时,应有a≤f(x)min.一般地,a≥f(x)能成立时,应有a≥f(x)min,a≤f(x)能成立时,应有a≤f(x)max.1.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]【解析】选D.因为2x+2y ≥2,2x+2y=1,所以2≤1,所以2x+y≤=2-2,所以x+y≤-2,即(x+y)∈(-∞,-2].2.已知a>0,b>0,+=,若不等式2a+b ≥9m恒成立,则实数m的最大值为( )A.8B.7C.6D.5【解析】选C.由已知,可得6=1,所以2a+b=6·(2a+b)=6≥6×(5+4)=54,当且仅当=时等号成立,所以9m≤54,即m≤6.类型三基本不等式的实际应用(数学建模、数学运算)【典例】某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 四步内容理解题意(1)利用总收入≥原收入列关系式求解;(2)销售收入≥原收入+总投入.思路探求(1)设每件定价为t元,将实际问题转化为数学问题,即可解决;(2)分离参数求最值即可.续表书写表达(1)设每件定价为t元,依题意,有t≥25×8,整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意,x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解,等价于x>25时,a≥+x+有解.因为+x≥2=10(当且仅当x=30时,等号成立),所以a≥10.2.当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.题后反思正确列出不等关系是解决问题的关键在应用基本不等式解决实际问题时需要注意的四点(1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;(3)在定义域内,求出函数的最值;(4)写出正确答案.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,如图所示,池塘所占面积为S平方米,其中a∶b=1∶2.(1)试用x,y表示S;(2)若要使S最大,则x,y的值各为多少?【解析】(1)由题可得,xy=1 800,b=2a,则y=a+b+6=3a+6,S=(x-4)a+(x-6)b=(3x-16)a=(3x-16)=1 832-6x-y(x>6,y>6,xy=1 800).(2)S=1 832-6x-y≤1 832-2=1 832-480=1 352,当且仅当6x=y,xy=1 800,即x=40,y=45时,S取得最大值1 352.课堂检测·素养达标1.若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,则+的最小值是( )A. B.1 C.4 D.8【解析】选C.由a>0,b>0,ln(a+b)=0,可得所以+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立.所以+的最小值为4.2.函数y=3--x(x>0)的最大值为( )A.-1B.1C.-5D.5【解析】选A.因为y=3--x=3-且x>0,故可得y=3-≤3-2=-1.当且仅当x=,即x=2时取得最大值.3.(教材二次开发:习题改编)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.【解析】因为直线+=1过点(1,2),所以+=1.因为a>0,b>0,所以2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a时等号成立.答案:84.已知x,y>0且x+y=1,则p=x++y+的最小值为.【解析】x++y+=x++y+=3+≥3+2=5,当且仅当x=y=时等号成立.答案:5。

2．1 两角差的余弦函数 2．2 两角和与差的正弦、余弦函数1．了解两角差的余弦公式的推导过程．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式，两角和的正弦、余弦公式．(重点) 3．会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)[基础·初探]教材整理 两角和与差的正弦、余弦函数 阅读教材P 118～P 120练习以上部分，完成下列问题． 1．两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C α－β) 2．两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(C α＋β) 3．两角和与差的正弦公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(S α＋β)， (2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的．( ) (2)sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．( ) (3)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β.( ) (4)存在α，β，使cos(α－β)＝cos α＋cos β.( ) 【解析】 (1)√.(2)×.如当α＝π6，β＝－π6时，则sin(α＋β)＝0.sin α＋sin β＝sin π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，∴当α＝π6，β＝－π6时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(3)×.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (4)√.如α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]求值：(1)sin 15°＋cos 15°；(2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°.【精彩点拨】 解答本题首先把非特殊角向特殊角转化成创造条件逆用公式，然后再应用公式求解．【自主解答】 (1)法一：sin 15°＋cos 15° ＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45° sin 30°＋cos 45°cos 30°＋ sin 45° sin 30° ＝22×32－22×12＋22×32＋22×12＝62. 法二：sin 15°＋cos 15° ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22·sin 15°＋22·cos 15°＝2sin(15°＋45°) ＝2sin 60°＝62. (2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－(sin 29° cos 1°＋cos 29° sin 1°) ＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－12.1．解决此类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值问题，转化为特殊角的三角函数求值问题．2．化为特殊角的和与差的形式，公式中只有两个角，运用公式时，务必熟记公式的结构特征和符号规律．[再练一题]1．求值：(1)cos(x ＋27°)·cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)· sin(x －18°)；(2)cos 105°＋sin 195°的值．【解】 (1)cos(x ＋27°)cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)·sin(x －18°) ＝cos[(x ＋27°)－(x －18°)] ＝cos 45° ＝22. (2)cos 105°＋sin 195°＝cos 105°－sin 15° ＝cos(60°＋45°)－sin(60°－45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°·sin 45°－sin 60°cos 45°＋cos 60°·sin 45° ＝12×22－32×22－32×22＋12×22 ＝2－62.已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35.求sin 2α的值．【精彩点拨】 由于2α＝(α－β)＋(α＋β)，故可用两角和的正弦公式求解． 【自主解答】 ∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝513， cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45.∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－5665.1．给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．2．常见的变角技巧： 2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．[再练一题]2．已知α，β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值.【导学号：66470067】【解】 ∵α是锐角，且sin α＝437，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17. 又∵sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β) sin α＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32.[探究共研型]探究1 【提示】 给值求角即求该角的某种三角函数值． 探究2 给值求角的关键是什么？【提示】 关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示． 探究3 常用的角的变换技巧有哪些？【提示】 互余或互补关系的应用，如π4－α与π4＋α互余，π4＋α与34π－α互补等．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α. 【精彩点拨】 先计算sin α后再根据α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2确定角α大小．【自主解答】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)． ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin β＝－210，∴cos β＝7210， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝22. 又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π4.1．解决这类问题，关键有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围．一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，便可求解．2．确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定. 注意本题解答中如果求出sin(α＋β)＝22，可能就会导致α＋β＝π4或3π4.[再练一题]3．已知α，β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010.求α＋β的值． 【解】 因为α，β都是锐角，所以0<α<π2，0<β<π2，0<α＋β<π，又sin α＝55，sin β＝1010， 所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝31010，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π， 所以α＋β＝π4.1．cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54°的值为( ) A ．0 B ．12 C.32D ．－12【解析】 cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54° ＝cos 66°·cos 36°＋sin 66°·sin 36° ＝cos(66°－36°)＝cos 30° ＝32. 【答案】 C2．若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝________. 【解析】 a ·b ＝cos 60° ·cos 15°＋sin 60°·sin 15° ＝cos(60°－15°) ＝cos 45° ＝32. 【答案】323．cos 345°的值为________.【导学号：66470068】【解析】 cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝2＋64. 【答案】2＋644．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 【解析】 因为α为第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin α·cos π4＋cos α·sin π4＝ －35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－710 2. 【答案】 －71025．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，求cos 2α－sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.【解】 cos 2α－sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos α－sin αcos α＋sin α22cos α＋sin α＝2(cos α－sin α) ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1013.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。

3.2 平面向量基本定理内容要求 1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)．知识点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．【预习评价】(1)0能不能作为基底？提示由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底．(2)平面向量的基底唯一吗？提示不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．题型一对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.解析由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．答案②③规律方法考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．【训练1】设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析由题意，设e1＋e2＝m a＋n b.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案 23 －13【例2】 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析 由题得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.答案 A【迁移1】 在例题中将“BC →＝3CD →”改为“BC →＝CD →”试用AB →、AC →表示AD →. 解 AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋BC → ＝AC →＋AC →－AB →＝2AC →－AB →.【迁移2】 在例题中将“BC →＝3CD →”改为“BC →＝－3CD →”试用AB →，AC →表示向量AD →. 解 由题AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13BC →＝AC →－13()AC →－AB → ＝AC →－13AC →＋13AB →＝23AC →＋13AB →. 规律方法 应用平面向量基本定理时的关注点(1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系． (2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等．(3)一个重要结论：设a 、b 是同一平面内的两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.题型三 平面向量基本定理的应用【例3】 如图，△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设BA →＝a ，BC →＝c . (1)用a ，c 表示向量AE →；(2)若点F 在AC 上，且BF →＝15a ＋45c ，求AF ∶CF .解 (1)∵AC →＝BC →－BA →＝c －a ， ∴AD →＝12AC →＝12(c －a )，∴AE →＝12(AB →＋AD →)＝12AB →＋12AD → ＝－12a ＋14(c －a )＝14c －34a . (2)设AF →＝λAC →， ∴BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋λAC → ＝a ＋λ(c －a ) ＝(1－λ)a ＋λc . 又BF →＝15a ＋45c ，∴λ＝45，∴AF →＝45AC →，∴AF ∶CF ＝4∶1.【训练2】 设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值． (1)证明 设a ＝λb (λ∈R )， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)． 由e 1，e 2不共线得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23，∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)解 设c ＝m a ＋n b (m 、n ∈R )，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b.(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ、μ的值分别为3和1.课堂达标1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2解析 B 中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 答案 B2.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( ) A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .答案 B3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案 434．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .则用a 、b 表示向量AG →＝________.解析 如图，连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 答案 13a ＋13b5．设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解 如图，MN →＝CN →－CM →＝13CA →－23CB → ＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b .PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .课堂小结1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.基础过关1．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析 由基底的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基底．答案 B2．如图所示，在矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案 A3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形 解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2 BC →，故为梯形． 答案 D4．已知λ1＞0，λ2＞0，e 1，e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则a 与e 1________，a 与e 2________(填共线或不共线)．解析 若a 与e 1共线，则存在实数λ使a ＝λe 1＝λ1e 1＋λ2e 2，则e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾．答案 不共线 不共线5．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a 、b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为____________________． 解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b 得λ≠4.答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)6.如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .7．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)已知c ＝3e 1＋4e 2，以a ，b 为基底，表示向量c . (2)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值． 解 (1)设c ＝λa ＋μb ，则3e 1＋4e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3，3μ－2λ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2.所以c ＝a ＋2b . (4)4e 1－3e 2＝λa ＋μb ＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，3μ－2λ＝－3.解得λ＝3，μ＝1.能力提升8．设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．－14D ．－34解析 因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2， 所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B.答案 B9．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125C.85D.45解析 ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案 C10．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋4PC →＝AB →，则△PBC 与△PAB 的面积比为________．解析 PA →＋PB →＋4PC →＝AB →＝A P →＋PB →，所以4PC →＝2AP →，即P 在AC 边上，且AP ＝2PC ，所以△PBC 与△PAB 的面积比为1∶2.答案 1∶211．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.答案 1212.如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，以a 、b 为基底表示OP →.解 ∵OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，设MP →＝mMB →， NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫b －13a ＝13(1－m )a ＋m b ，OP →＝ON →＋nNA →＝12(1－n )b ＋n a .∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧131－m ＝n ，121－n ＝m⇒n ＝15，m ＝25，∴OP →＝15a ＋25b .13．(选做题)如图，在△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →.∵AB →，AC →不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝4，μ＝32. ∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。

学案必修三第三章第2节互斥事件（2）一、学习目标1、进一步理解互斥事件与对立事件的概念；2、会用枚举法与树状图计算一些随机事件所含的基本事件数；3、掌握较复杂事件概率的求法。

二、重点与难点重点：互斥事件与对立事件概率公式的进一步应用难点：复杂事件概率的求法三、课前预习1、设A、B为两个事件，当事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作；2、若A、B是互斥事件，那么P（A+B）= ；3、对立事件A与A必有一个发生，故A+A为①事件，从而P（A+A）= ②，又A与A互斥，所以有P（A+A）= ③，故P（A）+P（A）= ④，即P（A）=1- ⑤。

四、堂中互动教师点拔1：（1）O型血与B型血可以输给小明，其概率求为用这两种血型的人数之和比上总人数就可得出结果；（2）因为事件“血不能输给小明”与（1）中事件“血可以输给小明”是对立事件，其概率就可以利用对立事件的概率求法公式来求得。

例1、黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给 AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？点评：在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率，进而再求所求事件的概率。

教师点拔2：用枚举法算出所有的可能结果数，其中能打开锁的只有一种结果，设其概率为P（A），则不能打开锁的概率为1- P（A）。

例2、小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数密码由4个数字2，4，6，8按一定顺序构成。

小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随机地输入由2，4，6，8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少？点评：求概率时采用迂回的策略，不直接求有关事件的概率，转而求其对立事件的概率，从而达到求有关事件概率的目的，体现了数学中“正难则反”的数学思想。