第三讲 柯西不等式与排序不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)

5．设a，b，c是正实数，求证：a a bbcc

abc
(abc) 3 .
【证明】不妨设a≥b≥c>0，则lga≥lgb≥lg c.
据排序不等式有：
alg a＋blg b＋clgc≥blg a＋clg b＋alg c，
alg a＋blg b＋clgc≥clg a＋alg b＋blg c，
alg a＋blg b＋clg c＝alg a＋blg b＋clg c，
【典例3】设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值．
【解析】根据已知条件和柯西不等式，我们有
1＝x＋y＋z＝ 1 2x＋ 1 3y＋1 z
2
3

(
1

1

1)
1 2
(2x
2＋3y
2＋z
2
)
1 2
＝
11
u，故 u 6 .
23
6
11
而等号成立的条件是： 2x＝ ，3y＝ ，z＝，
m
n
＝ am nc b d＝Q. mn
答案：P≤Q
3．函数 y＝2cos x＋3 1 cos 2x 的最大值为______．
【解析】y＝2cos x＋3 1 cos 2x＝2cos x＋3 2sin2x
(cos2x sin2x)[22 (3 2)2 ]＝ 22.
当且仅当
cos sin
【典例4】等腰直角三角形AOB的直角边长为1.如图，在此三 角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为 顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积 和的最小值，以及达到最小值时P的位置.
【解析】分别取OA，OB所在的直线为

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答案：①三维形式的柯西不等式 ②一般形式的柯西不等式 ③乱序和 ④顺序和 ⑤向量形式 ⑥三角不等式
专题一
专题二
专题一:柯西不等式的应用 1.柯西不等式的一般形式为(������12 + ������22+…+���������2���)(������12 + ������22+…+���������2���) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).该不等式的形式 简洁、美观,对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困 难的不等式的证明问题迎刃而解,也可以用来解决最值问题. 2.利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着 柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会拼凑和变形技巧. 3.利用柯西不等式证明不等式,特别是求最值时要注意等号是否 成立.
a3+b3+c3≤������52+������2������5
+
������5+������5 2������2
+
������5+������5 2������2
(当且仅当 a=b=c 时,等号成立).
专题一
专题二
例4设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,
求
M=a1+���2���22
专题一
专题二
例
1
已知
x,y,z
均为正数,求证
3 3
1+1+1
������ ������ ������
≤
1 ������ 2
+
1 ������ 2

2．设 0<a≤b≤c 且 abc＝1. 1 1 1 试求 3 ＋ 3 ＋ 3 的最小值． a b＋c b a＋c c a＋b 1 1 1 解析：令 S＝ 3 ＋ ＋ ， a b＋c b3a＋c c3a＋b
abc2 abc2 abc2 则 S＝ 3 ＋ ＋ a b＋c b3a＋c c3a＋b bc ac ab ＝ · bc＋ · ac＋ · ab. ab＋c ba＋c ca＋b 1 1 1 由已知可得： ≥ ≥ ， ab＋c ba＋c ca＋b ab≤ac≤bc.
a1b1＋a2b2＋…anbn
序相乘所得积的和 a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 为反序和．
二、排序不等式(排序原理) 设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn 为两组实数，c1，c2，…，cn 是 b1，b2，…， bn 的任一排列，则
a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 ≤ a1c1＋a2c2＋…＋ancn
答案：60 50
3．有 4 人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要 5 s,4 s,3 s, 7 s，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________ s.
解析：由题意知，等候的时间最短为 3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.
答案：41
探究一 [例 1]
利用排序不等式证明不等式
三 排序不等式
考
纲
定
位
重
难
突
破
1.了解排序不等式的数学思想和背景．
2.了解排序不等式的结构与基本原理． 3.理解排序不等式的简单应用.
重点：排序不等式的结构与基本原理. 难点：排序不等式的简单应用.
01 Байду номын сангаас前 自主梳理
02 课堂 合作探究

aA+bB+cC≥bA+cB+aC,
aA+bB+cC≥cA+aB+bC.
相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=π(a+b+c),
+ + π
得
≥ ,①
3
++
第八页，编辑于星期日：点 四十七分。
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专题一
专题二
知识建构
专题三
综合应用
真题放送
专题四

当且仅当 1 = 1 = 1 时,等号成立.
1
1
故当 xP=yP= 3 时,面积 S 最小,且最小值为 6.
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1
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综合应用
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2
1(2018江苏,21D)若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值.
解:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2.
柯西不等式的形式进行转化.
第三页，编辑于星期日：点 四十七分。
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专题四
应用1已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求e
的取值范围.
提示：由a2+b2+c2+d2+e2联想到应用柯西不等式.