2016-2017年湖北省仙桃中学高二(上)期中数学试卷和答案

2016-2017学年湖北省宜昌一中高二（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，5}，B＝{2，3，5}，则（∁U A）∩B 等于（）A．{2，3}B．{2，5}C．{3}D．{2，3，5}2．（5分）已知a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A．＜B．≤C．＞D．≥3．（5分）如果cos（π+A）＝﹣，那么sin（+A）的值是（）A．B．C．D．4．（5分）已知，，，若，则＝（）A．（1，）B．C．D．5．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0），g（x）＝log a x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）若将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．x＝﹣（k∈Z）B．x＝+（k∈Z）C．x＝﹣（k∈Z）D．x＝+（k∈Z）7．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若＜cos A，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形8．（5分）a，b，c是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，以下结论成立的个数是（）①a∥b，b∥c⇒a∥c②a⊥b，b⊥c⇒a∥c③α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ④α⊥β，α∩β＝a，b⊥a⇒b⊥βA．1B．2C．3D．49．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，cos C＝，a＝1，则b＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．11．（5分）正项数列{a n}满足：a1＝2，a2＝1，且＝（n≥2），则此数列的第2 016项为（）A．B．C．D．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题：①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；②若A，P，M三点共线，则＝；③若＝，则C1Q∥面APC；④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n＝7．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号的横线上．13．（5分）已知函数f（x）＝，若f（﹣2016）＝e，则a＝．14．（5分）已知cos（﹣α）＝，sin（+β）＝﹣，α∈（，），β∈（0，），则sin（α+β）的值为．15．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z＝2x+y的最小值为1，则a ＝．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3，1+＝，则b+c的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设π＜x＜π，且方程f（x）＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b．c，且满足2b sin（C+）＝a+c．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM＝AC，求sin∠BAC．19．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝na n+a n﹣c（c是常数，n∈N*），a2＝6．（Ⅰ）求c的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求使得T n＞恒成立的最小的正整数n．20．（12分）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，（1）求证：BD∥截面PQMN；（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角．21．（12分）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润＝收入﹣生产成本﹣促销费用）（1）求出x与t所满足的关系式；（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？22．（12分）已知函数f（x）＝（x∈R）．（1）证明：f（x）+f（1﹣x）＝；（2）若数列{a n}的通项公式为a n＝f（）（m∈N*，n＝1，2，3…，m），求数列{a n} 的前m项和S m；（3）设数列{b n}满足：b1＝，b n+1＝b n2+b n，设T n＝++…+，若（2）中的S m满足对任意不小于2的正整数n，S m＜T n恒成立，试求m的最大值．2016-2017学年湖北省宜昌一中高二（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，5}，∴∁U A＝{3，4}，又B＝{2，3，5}，∴（∁U A）∩B＝{3，4}∩{2，3，5}＝{3}．故选：C．2．【解答】解：∵c＞d＞0，∴，又a＞b＞0，∴，因此＞．故选：C．3．【解答】解：由题意可得：，根据诱导公式可得cos A＝，所以＝cos A＝，故选：B．4．【解答】解：由题意可得：，所以13+3x＝0，并且4+3y＝0，所以x＝，y＝．故选：D．5．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）＝x a（x≥0），g（x）＝log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）＝x a（x≥0），g（x）＝log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D．6．【解答】解：由题意，函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度，可得：y＝cos[2（x+）]＝cos（2x+），∴对称轴方程为：2x+＝kπ（k∈Z），解得：x＝﹣（k∈Z），故选：C．7．【解答】解：∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，∴sin A＞0．∵＜cos A，由正弦定理可得，sin C＜sin B cos A∴sin（A+B）＜sin B cos A∴sin A cos B+sin B cos A＜sin B cos A∴sin A cos B＜0 又sin A＞0∴cos B＜0 即B为钝角故选：A．8．【解答】解：①a∥b，b∥c，根据平行公理可得a∥c，正确；②a⊥b，b⊥c，则a∥c，a，c相交或异面，不正确；③α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ，α，γ相交，不正确；④α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，则b⊥β，不正确．故选：A．9．【解答】解：因为△ABC为锐角三角形，sin A＝，cos C＝，所以cos A＝，sin C＝，于是sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝．又由＝，a＝1，可得b＝＝．故选：B．10．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，因此该几何体的体积V＝＝．故选：C．11．【解答】解：由＝（n≥2），可知：﹣＝﹣，故数列为等差数列，于是＝+（n﹣1）×＝，所以a n＝，于是a2016＝，故选：D．12．【解答】解：①MN中点R，AC的中点S，设BD1与RS的交点是Q，若P与Q重合时，此时MN在平面P AC内，故1错误②若A，P，M三点共线，②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，∴＝＝，则＝，正确；③若＝，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC＝O，连接OM，OQ，则四边形OQC1M是平行四边形，∴C1Q∥OM，而M点在平面APC内，∴C1Q∥平面APC，因此正确；④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条．连接B1C，A1C1∥AC，由正方体的性质可得△AB1C是等边三角形，则点P取点D1，则直线AD1，CD1、D1B1满足条件，∴过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有3条，则m+n＝7条，因此正确．其中正确命题为②③④，其个数为3．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号的横线上．13．【解答】解：∵f（﹣2016）＝f（2016）＝f（5×403+1）＝f（1）＝ae＝e，解得：a＝1，故答案为：1．14．【解答】解：∵，∴﹣＜＜0，＜＜，∴sin（）＝﹣，cos（）＝﹣，∴sin[（）﹣（）]＝sin（）cos（）﹣cos（）sin（）＝（﹣）（）﹣（﹣）（﹣）＝﹣＝sin（π+α+β）＝﹣sin（α+β），∴sin（α+β）＝，故答案为．15．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z＝2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y＝a（x﹣3）得，a＝；故答案为：16．【解答】解：在△ABC中，∵1+＝，∴整理可得：＝，∴＝，∴sin A cos B＝2sin C cos A﹣sin B cos A，∴sin C＝2sin C cos A，∴cos A＝，可得：A＝60°，∴由余弦定理可得：9＝a2＝b2+c2﹣2bc cos＝（b+c）2﹣3bc，即（b+c）2＝9+3bc≤9+，∴解得：（b+c）2≤36，∴b+c≤6，当且仅当b＝c时，（b+c）max＝6．故答案为：6．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A＝2，根据＝＝﹣，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝，∴φ＝，f（x）＝2sin（2x+）．（2）如图所示，在同一坐标系中画出y＝2sin（2x+）和直线y＝m（m∈R）的图象，由图可知，当﹣2＜m＜0或＜m＜2时，直线y＝m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．∴m的取值范围为：﹣2＜m＜0或＜m＜2；当﹣2＜m＜0时，两根和为；当＜m＜2时，两根和为．18．【解答】解：（I）2b sin（C+）＝a+c⇒2b（sin C+cos C）＝a+c⇒b sin C+b cos C＝a+c⇒sin B sin C+sin B cos C＝sin A+sin C＝sin（B+C）+sin C＝sin B cos C+cos B sin C+sin C⇒sin B sin C＝cos B sin C+sin C，（sin C≠0）⇒sin B＝cos B+1，⇒3sin2B＝cos2B+1+2cos B，⇒2cos2B+cos B﹣1＝0，⇒cos B＝或﹣1（由于B∈（0，π），舍去），⇒B＝（Ⅱ）设AB＝c、BC＝a，在△ABC中，由余弦定理得：AC2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac，在△ABM中同理可得：AM2＝（）2+c2﹣2•c cos B＝+c2﹣ac，因为AM＝AC，所以：a2+c2﹣ac＝+c2﹣ac，化简得3a＝2c，代入AC2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：AC2＝a2+（）2﹣a•＝a2，解得：AC＝a，在△ABC中，由正弦定理得，解得：sin∠BAC＝＝＝．19．【解答】解：（Ⅰ）因为S n＝na n+a n﹣c，所以当n＝1时，，解得a1＝2c，当n＝2时，S2＝a2+a2﹣c，即a1+a2＝a2+a2﹣c，解得a2＝3c，所以3c＝6，解得c＝2，则a1＝4，数列{a n}的公差d＝a2﹣a1＝2，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝2n+2．…4分（Ⅱ）因为＝＝，…6分所以T n＝+…+，①＝+…+，②①﹣②得：＝﹣＝﹣＝1﹣，所以T n＝2﹣，…8分因为T n+1﹣T n＝（2﹣）﹣（2﹣）﹣（2﹣）＝＞0，所以数列{T n}单调递增，…10分所以T n＝2﹣＞，所以n≥11．…11分故正整数n的最小值为11．…12分．20．【解答】（1）证明：∵截面PQMN是平行四边形，∴PN∥QM，又PN⊄平面BCD，QM⊂平面BCD⇒PN∥平面BCD．∵PN⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD⇒PN∥BD，∵PN⊂截面PQMN，BD⊄截面PQMN，∴BD∥截面PQMN．（2）解：由（1）的证明知PN∥BD，∴∠NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角．∵截面PQMN是正方形，∴∠NPM＝45°．∴异面直线PM与BD所成的角是450．21．【解答】解（1）设比例系数为k（k≠0）．由题知，有．…（2分）又t＝0时，x＝1．∴．…（4分）∴．…（5分）（2）依据题意，可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为（3+32x）万元，促销费用为t 万元，则每件纪念品的定价为：（）元/件．…（8分）于是，，进一步化简，得．…（11分）因此，工厂2010年的年利润万元．（3）由（2）知，…（15分）所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．…（16分）22．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴，∴．故答案为．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，∴，即．∴，，又S m＝a1+a2++a m﹣1+a m①S m＝a m﹣1+a m﹣2++a1+a m②①+②得，∴答案为；（Ⅲ）解：∵③∴对任意n∈N*，b n＞0④，∴，∴∵b n+1﹣b n＝b n2＞0，∴b n+1＞b n．∴数列{b n}是单调递增数列．∴T n关于n递增，∴当n≥2，且n∈N*时，T n≥T2．∵，∴．（14分）由题意，即，∴∴m的最大值为6．故答案为6．。

2016-2017学年湖北省仙桃市高二（上）期末数学试卷（理科学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.“x ＜1”是“ln （x +1）＜0”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知A （x ，-2），B （3，0），若直线AB 的斜率为2，则x 的值为（ ）A.-1B.2C.-1或2D.-23.已知三条直线a 、b 、c 和平面α，下列结论正确的是（ ）A.若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB.若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥bC.若a ⊂α，b ∥α，则a ∥bD.a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b4.若直线x +y +m =0与圆x 2+y 2=m 相切，则m 为（ ）A.0或2B.2C. 2D.无解5.已知变量x ，y 满足约束条件 −1≤x −y ≤11≤x +y≤3，则4x +2y 的取值范围是（ ）A.[0，10]B.[0，12]C.[2，10]D.[2，12]6.如图，四边形ABCD 是圆柱的轴截面，E 是底面圆周上异于A 、B 的一点，则下面结论中错误的是（ ）A.AE ⊥CEB.BE ⊥DEC.DE ⊥CED.面ADE ⊥面BCE7.直线y =mx +（2m +1）恒过一定点，则此点是（ ）A.（1，2）B.（2，1）C.（-2，1）D.（1，-2）8.若命题“∃x 0∈R ，使得x 02+mx 0+2m -3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A.[2，6]B.[-6，-2]C.（2，6）D.（-6，-2）9.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）A.2，2 3B.2 2，2C.4，2D.2，410.已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP =4FQ ，则|QF|=（ ）A.72B.3C.52D.211.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，CA=CC 1=2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为（）A.55B.53C.255D.3512.已知直角坐标平面O-XY上的动点P到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记P点的轨迹为曲线C，则直线l：2x-3y+4=0与曲线C的交点的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在正方体AC1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC 的位置关系是______ ．14.已知直线经过点P（1，2），且与直线y=2x+3平行，则该直线方程为______ ．15.若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是______ ．16.双曲线x2a −y2b=1(a＞0，b＞0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e，则a2+eb的最小值为______ ．三、解答题(本大题共1小题，共10.0分)17.已知，如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD．四、填空题(本大题共1小题，共12.0分)18.自圆x2+y2=4上点A（2，0）引此圆的弦AB，则弦的中点的轨迹方程为______ ．五、解答题(本大题共4小题，共48.0分)19.有一椭圆形溜冰场，长轴长100m，短轴长60m．现要在这溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？20.已知ABCD是矩形，AD=4，AB=2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥面ABCD．（1）证明：PF⊥FD；（2）在PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．21.如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：（Ⅰ）直线AB分别与平面α，β所成角的大小；（Ⅱ）二面角A1-AB-B1的余弦值．22.在直角坐标系内，△ABC的两个顶点C、A的坐标分别为（-3，0)，(3，0)，三个内角A、B、C满足2sin B=3(sinA+sinC)．（1）求顶点B的轨迹方程；)时，（2）过点C做倾斜角为θ的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点，当θ∈（0，π2求△APQ面积的最大值．。

天门市2016-2017学年度第一学期期末考试试题高二数学(理科)全卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“1x <”是“ln(1)0x +<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知(,2),(3,0)A x B -，若直线AB 的斜率为2，则x 的值为A ．-1B ．2C ．-1或2D ．-2 3．已知三条直线a 、b 、c 和平面α，下列结论正确的是A ．若a //α，b //α，则a //bB ．若,a c b c ⊥⊥，则a //bC ．若a α⊂，b //α，则a //bD ．,a b αα⊥⊥，则a //b4．若直线0x y m ++=与圆22x y m +=相切，则m 的值为A ．0或2B ．2CD ．无解5．已知实数,x y 满足关系1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42x y +的取值范围是A ．[0,10]B ．[0,12]C ．[2,12]D ．[2,10]6．如图，四边形ABCD 是圆柱的轴截面，E 是底面圆周上异于A 、B 的一点，则下面结论中错误的是A ．AE CE ⊥B ．BE DE ⊥C ．DE CE ⊥D ．ADE BCE ⊥面面7．直线(21)y mx m =++恒过定点，则此点是A ．（1，2）B ．（2，1）C ．（1，-2）D ．（-2，1）8．若命题“0x ∃∈R ，使得200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是 A ．[2，6]B ．[-6，-2]C ．（2，6）D ．（-6，-2）9．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为A ．2，B ． 2C ．4，2D ．2，410．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF 等于A ．72B ．3C ．52D ．211．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为A BCD ．3512．已知直角坐标平面O XY -上的动点P 到定点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1，记P 点的轨迹为曲线C ，则直线:2340l x y -+=与曲线C 的交点的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上） 13．在正方体1AC 中，若过A 、C 、1B 三点的平面与底面1111A B C D 的交线为l ，则l 与AC 的位置关系是 ▲ ．14．已知直线经过点P （1，2），且与直线23y x =+平行，则该直线方程为 ▲ ．15．若正四棱锥的底面边长为cm ，体积为4cm 3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小 为▲ ．16．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>一条渐近线的倾斜角为3π，离心率为e ，则2a e b +的最小值为▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．23．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x4．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）5．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1） B．（）C．D．（2，4）6．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∃n ∉N*，f（n）＞n7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0 11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是．14．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为．15．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．16．（5分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F 1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．18．（12分）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．20．（12分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．21．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A．2．（5分）若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．2【解答】解：由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，∴（1﹣c，）•（1+c，）=0，∴1﹣c2+2=0，∴c=，∵a=，∴b=1．故选：B．3．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：∵双曲线的离心率是，∴e==，即==1+（）2=，即（）2=﹣1=，则=，即双曲线的渐近线方程为y═±x=±x，故选：C．4．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），故选：B．5．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1） B．（）C．D．（2，4）【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．故选：A．6．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∃n ∉N*，f（n）＞n【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．故选：C．7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A （x1，y1），B（x2，y2）；由得，y2﹣2py﹣p2=0；∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；∴弦AB的中点坐标为；弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；∴；解得．故选：C．8．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+=1，化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．故选：D．9．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=AB•OC=•2c•b=bc，S ABC=（a+a+2c）•r=•（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故选：C．10．（5分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0【解答】解：A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，B．由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，即“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为“在△ABC中，若sinA ＞sinB，则A＞B，若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，即等价为A＞B，即逆否命题为真命题，故C 判断错误．D．命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0，正确，故选：C．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，双曲线x2﹣=1的渐近线方程为y=x，由于过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0），∴|AF|=x0+，∵|AF|＞|BF|，且|AF|=2，∴x0=2﹣，x0＞，∴0＜p＜2∴y0=（2﹣p），∴3（2﹣p）2=2p（2﹣），整理得p2﹣4p+3=0，解的p=1或p=3（舍去），故抛物线的方程为y2=2x，故选：A．12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2•bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵命题P：“”为假命题，∴￢P：“∀x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，∴△≤0，即m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．∴实数m的取值范围是[2，6]．故答案为：[2，6]．14．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由题意可设F（c，0），代入直线l：x+3y﹣2b=0，可得：c﹣2b=0，即c=2b，即有a===b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故答案为：y=±x．15．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为16．（5分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F 1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：（1）（3）．【解答】解：由题意可得：，化为（x≠±3）．（1）由曲线C的标准方程可得=5，∴曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0），正确；（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，∵∠F1MF2=90°，∴，∴S=mn=16；（3）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，∴|F2A|=8，|F1A|=2，∴5﹣x A=8，解得x A=﹣3．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=﹣3上，因此正确；（4）不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF1|﹣|MF2|=2a=6，∴|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6=﹣6．因此不正确．综上可得：正确命题的序号是（1）（3）．故答案为：（1）（3）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．【解答】解：（1）甲班的平均分为：；（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，共包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）15个基本事件，设事件M=“至少含有甲班一名同学”，则事件M包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），9个事件，所以事件M的概率为．18．（12分）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．【解答】解：（1）由（0.005+0.035+a+0.02+0.01）×10=1，得a=0.03．平均成绩约为（55×0.005+65×0.035+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74.5．（2）第3，4，5组考生分别有30、20、10人，按分层抽样，各组抽取人数为3，2，1记第3组中3人为a1，a2，a3，第4组中2人为b1，b2，第5组中1人为c，则抽取3人的所有情形为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c）共20种第4组中恰有1人的情形有12种∴．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），到抛物线顶点的距离的平方为+p，∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，∴+p=（+）2，∴p=2抛物线的方程为：y2=4x．…（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即•=0可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=±．20．（12分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．∴AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）．∵=+=2，∴M为EP的中点．∴，∴，即y2=4x﹣12．∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12．（II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===4（m2+1）．E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，=•|AB|•d=4，∴S△ABE∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，=8．∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE∴当m=0时，S取得最小值8．此时直线l的方程为x﹣1=0．21．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．【解答】解：（1）设点M（x，y），∵K AM•K BM=﹣，∴，整理得点所在的曲线C的方程：．（2）由题意可得点，直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立消去y，得：（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一个解，所以方程的另一解为，同理，故直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+bx+b2﹣3=0，所以|PQ|==原点O到直线RQ的距离为，S△OQR==≤=．22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，即有a=2，c=2，b=2，则动点P的轨迹C的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入+=1，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，由于A在椭圆内，当然对任意实数k都有△＞0，根据韦达定理得x1+x2=，x1x2=，那么|MN|==•=，y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，线段MN中点H的坐标为（，），那么线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），令y=0，得D（，0），|DH|==，则=•=•，由k≠0，可得1+∈（1，+∞），于是∈（0，）．。