黄昆固体物理课后习题答案6

黄昆 固体物理 习题解答第二章 晶体的结合2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2 2n解：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相邻离子间的距离，于是有α= ∑ ′ ( 1)=2[1 1 1 1 −+−+ ...]r jr ijr 2r 3r 4r前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，i1 1 1故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为234α = 2[1− + − + ...] 2 3 4xx xQl n(1 + x ) = −x + − + ... 当 x=1 时，有12 3 4 1 1 1...− + − + = l n2∴ =α 2 2n2 3 42.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）α2e C解： u r ( )= −α2+rrnα2nC1du e nCenC 由| =−= 0 解得=+r e−1 r2n +12n 1( ) (=2)ndrrrrr 0nC11α e于是当 e 变为 2e 时，有 r−1= 4 −1 r e( )(2 ) (=2)nn= − α214α e结合能为 u r( )e (1−) 当 e 变为 2e 时，有4α e 2r0 1nnu e(2 )= −r (2 ) (1 −) = u e( ) 4 −n 1nu r( )= − α+βm n 2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为计算: 1) 平衡间距r0解答（初稿）作者季正华- 1 -r r黄昆固体物理习题解答2) 结合能W（单个原子的）3) 体弹性模量4) 若取m = 2, n = 10, r= 0.3 , = 4 eV计算αβ, 的值解：1) 平衡间距r0的计算NαβdU= mαnβU r ( ) = (−+m n) dr0 −r m+1 + r n+1 = 0晶体内能nβ 12 r r平衡条件r r0 即0 0r0= ( )n m所以mα2) 单个原子的结合能W = −1u( )r u r( ) (0= −α+βm n) r nβ 1r r0=( ) n m2 0β−m r r0 αmW = 1 α(1−)( )m n n m2 n mα3）体弹性模量K = ∂2U(2)V⋅V0∂V0晶体的体积V = NAr3—— A 为常数，N 为原胞数目NαβU r ( ) = (−+m n)晶体内能∂=α2nβr rU∂U r∂N m− 1∂V ∂∂r V= 2 ( r m+1 r n+1 ) NAr23∂2 = ∂∂mαnβU N r[( −) 1 ]∂V 2 2 ∂∂V r rm+1 r n+1 3 N Ar2∂2U∂2UN1[2αmn2βmαnβK = (2)V⋅V0 ∂V2= 2 9V2−r m+ r n−r m+ r n]体弹性模量由平衡条件∂U∂V=N mα−V Vnβ 1= 00 0 0 0∂V 2 ( r m+1 r n+1 ) 3NAr2V V0解答（初稿）作者季正华0 0 0- 2 -α=n β∂2UN黄昆 固体物理 习题解答m 2αn 2βm r 0mr 0n ∂V 2V V=1[− 2 9V 02r 0m + r 0n ]体弹性模量 K= ∂2U(2)V⋅V 0∂2U=mn(−U )∂ V∂ V2 V V 9V 2mn K = U 0V 904）若取 m =β12, n = 10, r 0=0.3 ,= 4 eVβ−m计算 α β,的值r = n( ) −n mW = 1 α (1− )( )m n n mαm2 αn mβ =Wr 10α = r 2β+W 2[r 102 ]β =1.2 ×10-95eV ⋅m 103α =−7.5 ×1019eV ⋅ m 22.4 经过 sp 杂化后形成的共价键，其方向沿着立方体的四条对角线 的方向，求共价键之间的夹角。

固体物理教程答案【篇一：黄昆固体物理课后习题答案4】>思考题1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？[解答]正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位,这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低.2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量?l/l与x射线衍射测定的晶格常数相对变化量?a/a存在差异，是何原因？[解答]la.3.kcl晶体生长时，在kcl溶液中加入适量的cacl2溶液，生长的kcl晶体的质量密度比理论值小，是何原因？[解答]2?2??由于ca离子的半径(0.99a)比k离子的半径(1.33a)小得不是太多, 所以caoo离子难以进入kcl晶体的间隙位置, 而只能取代k占据k离子的位置. 但ca一价, 为了保持电中性(最小能量的约束), 占据k离子的一个ca?2???2?比k高?将引起相邻的一个k?变成空位. 也就是说, 加入的cacl2越多, k?空位就越多. 又因为ca的原子量(40.08)?与k的原子量(39.102)相近, 所以在kcl溶液中加入适量的cacl2溶液引起k空位, 将导致kcl晶体的质量密度比理论值小.4.为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低?[解答]形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子. 因此形成形成一个肖特基缺陷所需的能量, 可以看成晶体表面一个原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子的相互作用能的差值. 形成一个弗仑克尔缺陷时，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子. 因此形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量, 可以看成晶体内部一个填隙原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子相互作用能的差值. 填隙原子与相邻原子的距离非常小, 它与其它原子的排斥能比正常原子间的排斥能大得多. 由于排斥能是正值, 包括吸引能和排斥能的相互作用能是负值, 所以填隙原子与其它原子相互作用能的绝对值, 比晶体表面一个原子与其它原子相互作用能的绝对值要小. 也就是说, 形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量要低.5.金属淬火后为什么变硬?[解答]我们已经知道晶体的一部分相对于另一部分的滑移, 实际是位错线的滑移, 位错线的移动是逐步进行的, 使得滑移的切应力最小. 这就是金属一般较软的原因之一. 显然, 要提高金属的强度和硬度, 似乎可以通过消除位错的办法来实现. 但事实上位错是很难消除的. 相反, 要提高金属的强度和硬度, 通常采用增加位错的办法来实现. 金属淬火就是增加位错的有效办法. 将金属加热到一定高温, 原子振动的幅度比常温时的幅度大得多, 原子脱离正常格点的几率比常温时大得多, 晶体中产生大量的空位、填隙缺陷. 这些点缺陷容易形成位错. 也就是说, 在高温时, 晶体内的位错缺陷比常温时多得多. 高温的晶体在适宜的液体中急冷, 高温时新产生的位错来不及恢复和消退, 大部分被存留了下来. 数目众多的位错相互交织在一起, 某一方向的位错的滑移,会受到其它方向位错的牵制, 使位错滑移的阻力大大增加, 使得金属变硬.6.在位错滑移时, 刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点?[解答]在位错滑移时, 刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向. 但螺位错滑移时, 螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直.7.试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数.[解答]滑移面一定是密积面, 因为密积面上的原子密度最大, 面与面的间距最大, 面与面之间原子的相互作用力最小. 对于立方密积, {111}是密积面. 对于六角密积, (001)是密积面. 因此, 立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数分别为{111}和(001).8.离子晶体中正负离子空位数目、填隙原子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献完全相同吗?[解答]??由(4.48)式可知, 在正负离子空位数目、填隙离子数目都相等情况下, ab离子晶体的热缺陷对导电的贡献只取决于它们的迁移率?. 设正离子空位附近的离子和填隙离子的?a??a?ea?vi振动频率分别为和, 正离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为v????e?和ai, 负离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为bv和bi, 负离子空位附近e?e?的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别bv为bi, 则由(4.47)矢可得?a??vea2?a?vkbte?e?av/kbt,i?a??iea2?a?kbtea2?b?ve?eai?/kbt, ?b??vkbtea2?b?ie?e?bv/kbt, ?b??ikbte?ebi?/kbt.由空位附近的离子跳到空位上的几率, 比填隙离子跳到相邻间隙位置上的几率大得多, 可e?e?以推断出空位附近的离子跳过的势垒高度, 比填隙离子跳过的势垒高度要低, 即avai,????????eb?eb???vi. 由问题1.已知, 所以有avai, bvbi. 另外, 由于a和b的离子半e??eb??a???b?径不同, 质量不同, 所以一般a, .?a???a???b???b?ivi也就是说, 一般v. 因此, 即使离子晶体中正负离子空位数目、填隙离子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献一般也不会相同.9.晶体结构对缺陷扩散有何影响?[解答]扩散是自然界中普遍存在的现象, 它的本质是离子作无规则的布郎运动. 通过扩散可实现质量的输运. 晶体中缺陷的扩散现象与气体分子的扩散相似, 不同之处是缺陷在晶体中运动要受到晶格周期性的限制, 要克服势垒的阻挡, 对于简单晶格, 缺陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周期.10.填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数, 哪一个大? 为什么？[解答]填隙原子机构的自扩散系数1d2??02ae?(u2?e2)/kbt2,空位机构自扩散系数1d1??01ae?(u1?e1)/kbt2.自扩散系数主要决定于指数因子, 由问题4.和8.已知, u1u2,e1e2, 所以填隙原子机构的自扩散系数小于空位机构的自扩散系数.11.一个填隙原子平均花费多长时间才被复合掉? 该时间与一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间相比, 哪个长?[解答]与填隙原子相邻的一个格点是空位的几率是n1/n, 平均来说, 填隙原子要跳n/n1步才遇到一个空位并与之复合. 所以一个填隙原子平均花费n1(u1?e2)/kbtt??2?en1?02的时间才被空位复合掉.由(4.5)式可得一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间 1n2?21(u1?u2?e2)/kbt????epn1n2?02.由以上两式得ntn21.这说明, 一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间, 比一个填隙原子从出现到被空位复合掉所需要的时间要长得多.12.一个空位花费多长时间才被复合掉？[解答]对于借助于空位进行扩散的正常晶格上的原子, 只有它相邻的一个原子成为空位时, ?eu2/kbt??它才扩散一步, 所需等待的时间是?1. 但它相邻的一个原子成为空位的几率是n1/n, 所以它等待到这个相邻原子成为空位, 并跳到此空位上所花费的时间n1(u1?e1)/kbtt??1?en1?01.13.自扩散系数的大小与哪些因素有关?[解答]填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数可统一写成11d??0a2e??/kbt??0a2e?n0?/rt22.可以看出, 自扩散系数与原子的振动频率?0, 晶体结构(晶格常数a), 激活能(n0?)三因素有关.14.替位式杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么? [解答]占据正常晶格位置的替位式杂质原子, 它的原子半径和电荷量都或多或少与母体原子半径和电荷量不同. 这种不同就会引起杂质原子附近的晶格发生畸变, 使得畸变区出现空位的几率大大增加, 进而使得杂质原子跳向空位的等待时间大为减少, 加大了杂质原子的扩散速度.15.填隙杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]正常晶格位置上的一个原子等待了时间?后变成填隙原子, 又平均花费时间n?2n1后被空位复合重新进入正常晶格位置, 其中?2是填隙原子从一个间隙位置跳到相邻间隙位置所要等待的平均时间. 填隙原子自扩散系数反比于时间nt????2n1.因为所以填隙原子自扩散系数近似反比于?. 填隙杂质原子不存在由正常晶格位置变成填隙原子的漫长等待时间?, 所以填隙杂质原子的扩散系数比母体填隙原子自扩散系数要大得多.16.你认为自扩散系数的理论值比实验值小很多的主要原因是什么？ [解答]目前固体物理教科书对自扩散的分析, 是基于点缺陷的模型, 这一模型过于简单, 与晶体缺陷的实际情况可能有较大差别. 实际晶体中, 不仅存在点缺陷, 还存在线缺陷和面缺陷, 这些线度更大的缺陷可能对扩散起到重要影响. 也许没有考虑线缺陷和面缺陷对自扩散系数的贡献是理论值比实验值小很多的主要原因.??17.ab离子晶体的导电机构有几种?[解答]??离子晶体导电是离子晶体中的热缺陷在外电场中的定向飘移引起的. ab离子晶体??????中有4种缺陷: a填隙离子, b填隙离子, a空位, b空位. 也就是说, ab离子晶体的导电机构有4种. 空位的扩散实际是空位附近离子跳到空位位置, 原来离子的位置变n?2n?1,????成了空位. ab离子晶体中, a空位附近都是负离子, b空位附近都是正离子. 由此可知, a空位的移动实际是负离子的移动, b空位的移动实际是正离子的移动. 因此, 在外电场作用下, a填隙离子和b空位的漂移方向与外电场方向一致, 而b填隙离子和?????a?空位的漂移方向与外电场方向相反.【篇二：黄昆版固体物理课后习题解答】>黄昆原著韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

由于 F 外 只是外场对电子的作用力，它并不是电子所 受的合外力，因此， k并不是电子的真实动量，而 是电子的准动量就不难理解了。
在讨论晶体中电子的准经典运动时， k 是一个很有 用的量，它往往比电子的真实动量 mv 更有用。这 是因为在 k 空间中去理解电子的运动往往比在真实 空间中更容易。
电子的有效质量和电子的准动量是两个人为引入的 物理量，至少我们可以在形式上不必考虑晶格力， 而只考虑外场力对电子运动的影响。
倒有效质量张量的分量为：
1 2E 2 k k
倒有效质量张量对角化
若选kx, ky, kz在张量主轴方向上，则倒有效质量张量 可对角化。
2E k 2 x 1 0 2 0 0 2E k 2 y 0 0 0 2E k 2 z
第六章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
对第二类问题：
讨论晶体中的电子在外加场的作用下的运动规律。外 加场包括： 电场、磁场、杂质势场等。通常外场与晶 体的势场相比弱许多，可用电子在晶体周期性势场中 的本征态为基础进行讨论。 方法一 ：求解在外加势场 U 时电子的薛定谔方程 方法二：满足一定条件下将电子的运动近似当作经典粒 子来处理。如均匀电、磁场中各种电导效应。
F vk dt dk vk d (k ) vk
三、 加速度和有效质量
1 电子准经典运动的两个基本关系式 v k E k
电子的速度分量 电子的加速度分量
dv 1 F 比较，可定义有效质量m*和 与牛顿定律 dt m
1 dk E ( k ) 1 ( ) dt k k 2
第六章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
人们对晶体中电子的关注主要分为两大块：

1、学习了电磁耦合场后，对光吸收谱中剩余辐射带有无更深入的理解？答：1）是电磁耦合，格波中TO 波也具有电磁性2）光波、格波的频率和波矢都应相近当光波与TO 格波的波矢 q ，频率q ω相近时，发生共振，形成耦合场。

2、 试述表面（界面）电耦合场色散关系的特点。

答：光入射到离子晶体中，光波与格波中的长光学横波耦合，光的电磁场发生了变化，格波也发生了变化，形成了新的激发场，即电磁耦合场。

这个耦合场既不是纯光波，也不是纯格波，有着特殊的色散关系。

存在两种横波，它们的偏振方向不同，但频率相同 。

3.一维复式格m =5×1.67×10-24g, M /m =4, β=1.5×10 N (即1.5×104dyn/cm ),求:（1） 光学波0max ω，0min ω；声学波max A ω; （2） 相应声子能量是多少电子伏。

（3） 与0max ω相对应的电磁波波长在什么波段。

解：由电磁耦合场的色散关系可知，两种横波的支解为：221/22221/224{1[1sin ]}()4{1[1sin ]}()m M mM aq mM m M m M mM aq mM m M ωβωβ+-+=+-++=--+ （1）当2sin 0aq =时，ω+取最大值，ω-取最小值014max 1.510Hz ω==⨯当2sin 1aq =时，ω+取最小值，ω-取最大值013min 6.010Hz ω==⨯13max 3.010AHz ω==⨯(2).相应声子能量为0034142max max 1.05410 1.5109.8810E Js Hz evω--==⨯⨯⨯⋅=⨯ 0034132min min 1.05410 6.010 3.9510E Js Hz evω--==⨯⨯⨯⋅=⨯ 34132max max 1.05410 3.010 1.9810A AE Js Hz evω--==⨯⨯⨯⋅=⨯(3) 与0max ω相对应的电磁波波长在红外波段4.试证明LST 关系式： 22LO sTO ωεωε∞=。