数值分析1 - 数值计算的基本概念

数值分析如何学习？ 理论讲授：算法来历，误差分析
理论是基础
上机实践：算法实现项 ：
实践课时远远不够，希望大家充分利用自由 上机时间加强实践，完成实验和习题
在加强实践的同时，请同学们务必重视理论 课程的学习，二者不要偏废。 希望同学们在学习理论的同时，及时复习数 学分析和高等代数知识。只有不断地学习，才 能加深对以前所学知识的理解。
二、计算科学简介
简单地说，使用计算手段研究自然现象和 社会现象的学科均称为计算科学。例如：计 算物理、计算化学、计算生物学、计算经济 学等，学科领域非常宽广，数值分析是基础。 现在，人们把计算称为科学研究的三大方 法之一。 There are three great branches of science: theory, experiment and computation.
――L.N. Trefethen
计算科学发展趋势
计算科学发展趋势与计算机的发展密切相 关。 计算机的发展趋势：多核化，多CPU化， 集群化，高性能化。 计算科学发展趋势：算法并行化。 如何因应？
我们学院已经成立了高性能计算实验室，购买了 浪潮并行计算机，这学期开设一个并行计算讨论班。 希望我们班有同学参加。
[1] 白峰杉，《数值计算引论》，北京：高等教育出版社， 2004.7 [2] 封建湖，聂玉峰，王振海，《数值分析（第四版）导 教· 导学· 导考》，西安：西北工业大学出版社，2003.6 [3] Michael T.Heath ，张威等译，《科学计算导论（第二 版）》，北京：清华大学出版社，2005.10 [4] 薛毅，《数值分析与实验》，北京：北京工业大学出版 社，2005.3 [5] Curtis F.Gerald, Applied Numerical Analysis (Seventh Edition),北京：高等教育出版社，2006.1 [6] 张韵华，符号计算系统 Mathematica 教程，北京：科学 出版社，2001.11 [7] 徐安农， Mathematica 与数学实验，北京：电子工业出 版社，2004.7

提出数值问题
数值问题是指有限个输入数据（问题 的自变量、原始数据）与有限个输出数据 （待求解数据）之间函数关系的一个明确 无歧义的描述。这正是数值分析所研究的 对象。
数值问题举例
dy = x +y2 dx y ( 0) = y 0 x ∈ [0, 1]
是用一阶常微分方程初值问题表示的 数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是 数值问题 。但当我们要求出有限个点处函 数值的近似值时，便成为一数值问题。
设计高效可靠的算法
计算方法的任务之一就是提供求得数值问 题近似解的方法—算法。
算法：指把对数学问题的解法归结为只有 加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序 的完整而准确的描述。
算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收 敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是
数值分析研究的第二个任务。
一个算法在保证可靠的大前提下再评价其 优劣才是有价值的。 算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考 虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间 复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及 逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护 ）。这是数值分析研究的第三个任务。
e − e = (e − en ) + (en − e)
* *
二、误差的度量
1) 2) 3) 4)
绝对误差 相对误差 有效数字 各种度量之间的关系
1. 绝对误差

绝对误差定义：近似值减准确值
* ∆
x − x= e( x * ) * * e ( x ) 在不引起混淆时， 简记 为 e 。
• 绝对误差限：
位有效数字。如 A = sin 29 20′ = 0.4900 设其近似值a=0.484，其相对误差为：
0.4900 − 0.484 1 = 0.012397 < 0.0125 = × 101− 2 0.484 2× 4

定义：迭代法是通过不断迭代逼 近方程的解的方法。
SOR方法（Successive OverRelaxation Method）：在雅可比 法基础上引入松弛因子，以加速迭 代收敛速度。
优缺点：计算量较小，但需要合 适的初值和参数设置，否则可能 不收敛或收敛到非解。
矩阵分解：LU分解和QR分解
定义
矩阵分解是将一个复 杂的矩阵分解为几个 简单的、易于处理的 矩阵。
步骤
将增广矩阵通过行变换化为阶 梯形矩阵，然后回代求解未知
数。
适用范围
适用于系数矩阵是方阵且系数 矩阵或增广矩阵有唯一解的情
况。
优缺点
方法简单易懂，但对方阵来说 计算量较大，且容易出错。
迭代法：雅可比法和SOR方法
雅可比法：利用前一步的解作为 下一次迭代的初值，通过迭代逐 步逼近方程的解。
适用范围：适用于系数矩阵是稀 疏矩阵或系数矩阵有唯一解的情 况。
04 插值与拟合
多项式插值
定义
多项式插值是根据已知的离散数 据点，构造一个多项式来逼近或
插值这些数据点的方法。
常用方法
拉格朗日插值、牛顿插值、样条插 值等。
应用
在数值分析、数学建模、数据拟合 等领域有广泛应用。
样条插值
定义
样条插值是一种通过样条函数来 逼近或插值数据点的方法。样条 函数是一种分段定义的函数，在 每一段上具有连续的一阶和二阶
改善数值稳定性。
迭代法基础
迭代法原理
迭代法是通过不断迭代来 逼近真实解的一种方法。
迭代法的收敛性
迭代法是否收敛以及收敛 速度的快慢是评价迭代法 好坏的重要指标。
常见的迭代法
如雅可比迭代法、高斯-赛 德尔迭代法、松弛法等。

计算方法华中科技大学数学系教材张诚坚, 高健, 何南忠. 计算方法. 北京：高等教育出版社,1999年参考书¾李庆扬, 易大义, 王能超. 现代数值分析, 北京：高等教育出版社¾Richard L. Burden & J. Douglas Faires .Numerical Analysis(Seventh Edition), 北京：高等教育出版社, 2001¾徐士良．C常用算法程序集(第二版)．北京：清华大学出版社，1996期末考试试题期末考试的试卷有填空题和解答题。

解答题共7个题，分数约占70％。

期末考试主要考核：基本概念；基本原理；基本运算。

必须带简易计算器。

总成绩=平时成绩*20%+期末成绩*80%§1绪论第1节数值算法概论第2节预备知识与误差第1节数值算法概论1. 引言数值计算已经是计算机处理实际问题的一种关键手段。

它使各科学领域从定性分析阶段走向定量分析阶段，从粗糙走向精密。

2. 计算机数值方法的研究对象与特点计算问题x I n∫+ =15dxxx n 11nx I dx =∫011615 , ln5n n n n I I I I −==−1615 , ln I I I I ==−误差的传播与积累丽的北京就刮起台风来了？！3 数值算法计算方法的主要任务:1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可执行的运算2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行的且有效的计算公式3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析,即数值问题的性态及数值方法的稳定性数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程.数值算法有四个特点:1.目的明确算法必须有明确的目的,其条件和结论均应有清楚的规定2.定义精确对算法的每一步都必须有精确的定义3.算法可执行算法中的每一步操作都是可执行的4.步骤有限算法必须在有限步内能够完成解题过程例如给出等差数列1,2,3,…,10000的求和算法算法构造如下:N取记数器置零=S.1=,0⇒+,.21+N⇒SNNS.3<N10000若2,，否则转.4输出SN,一、误差的种类及来源1模型误差在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别.2观测误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有误差.3截断误差由于计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差.第2节预备知识与误差在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因误差与有效数字有效数字用科学计数法，记(其中）若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n 位有效数字，精确到。