基于双稳态动力系统的逻辑随机共振理论的研究

动力学系统中的混沌与共振现象研究引言：在物理世界中，许多系统都可以用动力学模型来描述其运行规律。

在这些动力学系统中，混沌和共振是两种十分重要而又引人入胜的现象。

混沌现象指的是某些系统的微小初始条件会导致长期上的巨大变化，这使得预测和控制系统的未来状态变得困难。

而共振现象则表示系统对外界激励的某个特定频率有着极大的响应，这种响应可以放大系统的某些特性，产生重要影响。

本文将就动力学系统中的混沌与共振现象展开研究。

一、混沌现象的研究混沌现象的研究始于20世纪60年代，最早的研究者包括洛伦兹等人。

通过对混沌系统的数学建模和计算机模拟，科学家们认识到混沌现象在天体力学、生物学和工程学等领域中都有重要应用。

混沌系统凭借其自组织、非线性和敏感依赖等特性，在信息传输、密码学和优化问题等方面发挥着重要作用。

其次，混沌现象也揭示了系统动力学的复杂性。

混沌系统通常具有稳定解的丧失，表现为阶段性的轨迹围绕在某一区域内，形成所谓的“奇异吸引子”。

奇异吸引子的形态复杂多变，显示了混沌系统的多样性和不可预测性。

其中，分叉现象是最有代表性的现象之一，当系统的参数变化时，系统的解分支呈现出分叉现象，并且分叉点处的解存在着周期倍增的行为，这为动力学系统提供了更广泛的研究空间。

二、共振现象的研究共振现象是物理学中的一个重要概念，在许多领域中都有广泛应用。

共振现象是指当一个动态系统受到外界周期性激励时，系统出现频率等于激励频率的特定共振状态。

共振现象不仅在固体振动、电磁场、流体力学等基础物理学中有重要应用，而且在控制论、生物力学等交叉学科中也具有广泛的研究价值。

共振现象的理论研究主要集中在两个方面：共振的条件和共振的机理。

共振的条件主要包括激励频率、系统本征频率、激励强度等因素。

共振的机理可以通过线性系统理论和非线性系统理论进行解释。

在线性系统中，系统对共振激励的响应具有线性关系，其共振频率由系统的特征频率决定；而在非线性系统中，系统对共振激励的响应可能出现倍增、超共振等非线性效应，这使得系统对于外界激励表现出更加强烈的共振现象。

双模非高斯噪声背景下级联双稳态随机共振信号检测热依扎·海然;叶尔肯·加伦木汉;山拜·达拉拜【期刊名称】《电讯技术》【年(卷),期】2014(000)009【摘要】针对随机共振( SR)以高斯噪声为研究背景的局限性，为了分析非高斯噪声对级联随机共振的影响且验证在双模非高斯噪声中级联随机共振的降噪及波形整形特性的可靠性，提出了级联双稳随机共振系统在双模非高斯情况下的微弱信号检测方法。

输入信号在进行信号检测过程中，首先把概率密度函数作为随机共振现象的衡量指标，然后当系统处于最佳随机共振状态时，分析了非高斯参数、相关时间及噪声强度之间的关系。

最后通过仿真证实，与一级SR相比，二级SR的噪声强度和相关时间的可用范围随着非高斯参数的减少不仅会得到增大，而且滤波特性、信号检测效果得到明显提高。

%In terms of the limitation of stochastic resonance( SR) in a Gaussian noise under non-Gaussian noise background,and in order to analyze the effect of dual-mode non-Gaussian noise on the cascaded bi-stable stochastic resonance( CBSR) with the validity of suppressing noise and verify the reliability of wave shaping of CBSR under the dual-mode non-Gaussian noise environment,weak signal detection of CBSR is proposed. In input signal detection,the probability density function is taken as a measure of stochastic reso-nance phenomenon,then,also the relationship between the non-Gaussian parameter,the correlation time and noise strength is analyzed when the stochastic resonance is kept in an optimal state. Finally,simulation confirmsthat the reliable region of noise strength and correction time of the second SR is not only expended with the decrease of non-Gaussian parameter, but also filter property and detection performance are im-proved obviously compared with the first level SR.【总页数】5页(P1260-1264)【作者】热依扎·海然;叶尔肯·加伦木汉;山拜·达拉拜【作者单位】新疆大学信息科学与工程学院，乌鲁木齐830046;阿勒泰广播电视大学，新疆阿勒泰836500;新疆大学信息科学与工程学院，乌鲁木齐830046【正文语种】中文【中图分类】TN911.71【相关文献】1.应用随机共振进行海洋噪声背景下的信号检测 [J], 李华锋;鲍荣浩;徐博候2.非高斯背景噪声下的微弱磁异常信号检测算法 [J], 张坚;林春生;邓鹏;龚沈光3.随机共振理论在色噪声背景信号检测中的应用 [J], 王强;高宝成4.非高斯噪声驱动下Logistic系统的随机共振 [J], 张晓燕5.双稳态施密特触发电路在OU噪声驱动下的逻辑随机共振 [J], 平明珠;曾宪庭;张雷因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

随机共振在高频信号中检测中应用【摘要】利用傅里叶变换的频移特性，先将信号的频率搬移到一个较小的频率值，再利用随机共振系统中噪声和信号的协同作用，使强噪声背景下的高频周期信号也能利用随机共振现象检测出来。

研究方法是将变步长Runge-Kutta算法应用于非线性微分方程的近似求解，利用simulink软件的强大功能模拟随机共振系统。

结合工程信号的实际测量将其应用于强噪声背景下的高频弱信号检测中。

【关键词】随机共振机；傅里叶变换；非线性微分方程；simulink软件1 总体设计思路噪声严重影响了测量系统的工作和有用信号的正确测量。

所以信号检测，尤其是强噪声背景下的微弱信号的检测，国内、国外都已形成了相当完整的学科体系，比如线性放大和线性滤波，以及最佳检测技术等，但当噪声很强时，微弱信号几乎被“淹没”，采用一般的线性系统技术已无能为力。

采用非线性处理技术是解决上述问题的一种有效途径，目前常用的是在线性滤波中加入非线性放大环节，但由于它并没有从根本上摆脱滤波抑噪的限制，因此在背景噪声较强的场合仍不能充分发挥作用。

随机共振机理表明，对于低频率周期信号，根据绝热近似或线性响应理论，双稳态系统的输出在时域和频域中都有着明显的随机共振表现形式。

合适的噪声强度可以使得弱周期信号驱动下的非线性系统的输出信噪比达到某一最佳。

在一定噪声强度范围内，输出信噪比随噪声强度的增强而增大。

其本质是部分噪声能量转化为信号能量的结果，是输入信号与噪声的协作效应。

从这一点来看，利用随机共振系统中噪声和信号的协同作用，实现强噪声背景下弱周期信号的检测就变得可行、方便。

然而频谱能量均匀分布的白噪声，经过非线性双稳态系统，其频谱结构发生变化，不再是均匀分布，能量向低频区域集中。

因此，在高频段，没有足够的噪声能量使布朗粒子越过势垒以在双稳态系统的两势阱之间以信号频率作跃迁，也就不能观察到随机共振现象。

同时随机共振也是刚刚发展起来的非线性系统学科分支，当前随机共振的研究还处在探索阶段，它的理论还未成熟，尤其是随机共振的应用性实验研究刚刚起步，许多特性和演化规律还有待人们去进一步证实。

混沌振子双稳态悬臂梁俘能器特性研究ZHANG Jian-qi;LING Yi-feng;YI Zhong-qing;XIE Jin【摘要】目前对双稳态悬臂梁俘能器的研究主要是基于受简谐激励或随机激励.提出Duffing振子混沌振动激励模型,将悬臂梁俘能器固定于Duffing振子上,振子的振动输出作为悬臂梁俘能器的动力输入.振子与悬臂梁俘能器构成一个两自由度非线性振动模型,建立了该模型运动微分方程.分析了单参数变化下,俘能器结构参数对俘能效果的影响.研究表明,在特定的混沌振动形式下,等效阻尼系数、等效刚度系数存在一个合理的取值区间以及最优等效负载电阻,使得俘能器俘能效果较好.【期刊名称】《机械设计与制造》【年(卷),期】2019(000)001【总页数】5页(P58-61,65)【关键词】Duffing振子;双稳态;压电悬臂梁;混沌振动激励【作者】ZHANG Jian-qi;LING Yi-feng;YI Zhong-qing;XIE Jin【作者单位】【正文语种】中文【中图分类】TH16;TH113.21 引言随着微电子技术和无线电技术的发展，手持型电子设备和无线传感器进入了小型、低功耗化的时代[1-2]。

将周围环境振动能量收集起来为微电子设备提供电能成为近几年研究的热点问题。

现有的将机械振动能转化为电能的方式分为电磁式、静电式和压电式三种[3]。

其中压电式结构简单、寿命长，能力密度较大，因而，压电式俘能器的研究引起了国内外学者的广泛关注。

悬臂梁式压电俘能器是应用比较广泛的一种俘能器。

将悬臂梁的一端固定于振动的振子上，另一端自由，振子振动引起梁的振动，进而使粘贴在固定端附近表面的压电材料产生交变电压。

振子的振动有多种形式，目前针对简谐振动和随机振动俘能器的设计问题已经有了不少的研究。

文献[4]基于简谐振动激励建立双稳态系统Duffing方程，并通过理论和实验比较了双稳态与单稳态在相同条件下的俘能效率；文献[5]研究了在简谐振动激励作用下引发系统双稳态的磁力模型；文献[6]研究了在随机振动激励作用下双稳态结构的随机共振原理；文献[7]研究了有白噪声机械振动俘能器的双稳态特性；文献[8]研究了振动激励为白噪声时，使俘能器输出功率最大的电阻值。

高噪声环境下检测提取弱目标复合信号的研究作者：徐津文李旖轩来源：《电子世界》2013年第15期【摘要】目的：在高噪声环境下检测并提取和恢复有用信号，该目标信号可以是单频的，也可以是多频率的。

方法：主要通过随机共振方法和混沌理论来过滤噪声并提取有用信号，通过一种两者相结合的方法提取出弱目标信号的频率和幅度，并通过调整随机共振系统参数更加准确的从高噪声背景下恢复出弱小的有用信号。

创新：解决了信号处理中遇到的奇倍频现象，并提取出多频信号的各个频率和幅度。

提出了一种自适应算法，通过计算互相关系数来自动调整系统参数，从而提取出最优目标信号。

经测试验证，即使是淹没在高噪声环境下的微弱信号，该自适应系统也可以很大程度的恢复出原本的有用信号。

【关键词】高噪声；随机共振；混沌理论；复合信号在通信以及其他现代化技术领域中，我们经常需要进行接收或者传送数据，但在这过程中总会有噪声进行干扰。

特别是在接收或者发送一些幅度非常小的信号，有时原始信号会完全淹没在噪声中，使得对原本信号的提取与恢复增加了困难。

本文在前人研究的基础上，提出了一种互补的方法，解决了之前的一些问题，并更加快捷有效的提取出弱目标信号。

1.关于随机共振和混沌理论的研究1.1 随机共振随机共振的核心是由输入信号、随机噪声信号和一个输出信号组成的双稳态系统。

对于线性系统来说，输出信号的信噪比通常应该正比于输入信号的信噪比，噪声信号幅值的增加将会导致输出信号的信噪比的减少。

然而随机共振却大不相同，其特点是随着输入噪声信号幅值的增加，输出信号的信噪比也增加。

非线性朗之万方程（LE）通常被用来研究随机共振系统[1]：图1为一个由两个势阱和一个势垒组成的双稳态系统[2]。

随机共振方法是通过调节非线性随机共振系统的参数，使信号、噪声和非线性系统三者之间达到某种匹配，即所谓的随机共振，此时噪声的能量将向信号转移，从而增大信噪比，且此时的非线性系统在两个势阱间按信号的变化频率进行翻转。

Journal of Mechanical Strength2023,45(2):271-277DOI :10.16579/j.issn.1001.9669.2023.02.003∗20210713收到初稿,20210831收到修改稿㊂国家自然科学基金项目(52175111),河南省高等学校重点科研项目(21A110016),河南省科技攻关项目(222102220021,222102220056)资助㊂∗∗宋伟志,男,1987年生,河北石家庄人,武汉理工大学讲师,博士生,主要研究方向为振动与噪声控制㊁非线性动力学㊂∗∗∗周㊀辉(通信作者),男,1989年生,河南洛阳人,洛阳理工学院讲师,博士生,主要研究方向为汽车噪声与振动控制㊂基于磁化电流法的双稳态非线性能量阱抑振性能研究∗RESEARCH ON VIBRATION SUPPRESSION PERFORMANCE OF BNESBASED ON MAGNETIZING CURRENT METHOD宋伟志∗∗1,2㊀周㊀辉∗∗∗1㊀刘志恩2㊀李㊀彬1㊀朱德荣1㊀陈智勇1(1.洛阳理工学院河南省复合刀具与精密加工国际联合实验室,洛阳471023)(2.武汉理工大学,武汉430070)SONG WeiZhi 1,2㊀ZHOU Hui 1㊀LIU ZhiEn 2㊀LI Bin 1㊀ZHU DeRong 1㊀CHEN ZhiYong 1(1.International Joint Laboratory of Compound Cutting Tools and Precision Machining of Henan Province ,Luoyang Institute of Science and Technology ,Luoyang 471023,China )(2.Wuhan University of Technology ,Wuhan 430070,China )摘要㊀为在宽频内实现对主系统的振动控制,设计了一种双稳态非线性能量阱(Bistable-Nonlinear Energy Sink,BNES),基于磁化电流理论对悬臂梁结构系统的空间磁力进行分析,研究磁间距大小及悬臂梁长度对BNES 稳定点的影响㊂建立主系统耦合BNES 的动力学方程,研究不同激励强度时BNES 瞬态工作性能的稳定性㊂通过幅频特性研究磁间距对BNES 的稳态减振性能影响,并分别研究了在0.5倍㊁1倍㊁1.5倍共振激振频率下,随激励强度变化,BNES 工作性能的稳定性㊂分析结果表明,提出的BNES 具有良好瞬态及稳态减振性能,且鲁棒性较好㊂关键词㊀振动抑制㊀磁化电流㊀双稳态非线性能量阱㊀磁间距㊀鲁棒性中图分类号㊀TB535Abstract ㊀A bistable-nonlinear energy sink (BNES)is designed to control the vibration of the main system in a wide frequency range.The spatial magnetic force of cantilever structure system is analyzed based on the magnetizing current theory,and the influences of magnetic spacing and cantilever length on stability point of BNES are studied.The dynamic equations of main system coupling BNES are established to study the stability of transient performance of BNES under different excitation intensities.The effect of magnetic spacing on the steady-state vibration reduction performance of the BNES is studied through the amplitude frequency characteristics,and the stability performance of the BNES with the change of excitation intensity at 0.5times,1times and 1.5times resonant excitation frequency is studied.The analysis results show that the proposed BNES has goodtransient and steady-state vibration reduction performance and good robustness.Key words ㊀Vibration suppression ;Magnetizing current ;Bistable-nonlinear energy sink ;Magnetic distance ;RobustnessCorresponding author :ZHOU Hui ,E-mail :472051995@The project supported by the National Natural Science Foundation of China (No.52175111),the Key Research Projects of Colleges and Universities in Henan Province (No.21A110016),and the Henan Science and Technology Research Project(No.222102220021,222102220056).Manuscript received 20210713,in revised form 20210831.0㊀引言㊀㊀1905年,FRAHM H 首次提出动力吸振器(Dynamic Vibration Absorber,DVA)[1],其经过百余年的发展已被广泛应用㊂传统吸振器受本身结构限制,减振频带窄,不适于变频㊁宽频减振[2]㊂自适应吸振器[3-5](Adaptive Dynamic Vibration Absorber,ADVA)通过控制结构参数可实现宽频减振,但其鲁棒性差,对控制器要求较高,控制不当易引起主系统振动恶化,同时ADVA 质量较大,而航空航天等高精仪器对附加质量㊀272㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀有苛刻要求,故其应用受到限制[6]㊂20世纪中期,ROBERSON R E首次指出利用非线性能量阱(Nonlinear Energy Sink,NES)进行振动抑制[7]㊂NES通过靶能量传递(Targeted Energy Transfer,TET)可将受控系统的振动能量单向传递到NES中,具有附加质量小㊁振动抑制频带宽㊁可靠性高㊁鲁棒性强㊁无需外界提供能源等优点[8],故得到了学者广泛的研究㊂ALISVERISCI G F等[9]研究了在电子机械臂上安装NES的动力学模型,利用数值方法发现非线性能量阱可以有效地耗散振动能量㊂BENAROUS N等[10]设计了一种可以内部旋转的非线性能量阱,分析结果表明与相同质量的规则立方结构相比,该结构具有更好的减振性能㊂BOROSON E等[11]研究了几种并行NES配置的最优设计,以实现最大的减振效率㊂CHEN J E等[12]将NES耦合在夹层梁的内部以抑制梁的振动,分析了系统在脉冲负载下的振动响应,结果表明通过减小NES的阻尼可以提高其减振性能㊂YANG K等[13]将NES耦合到整星结构的卫星适配器中,验证了非线性吸振器对于卫星振动抑制的有效性㊂姚红良等[14]基于分段线性的NES模型,通过遗传算法研究了能量阱的参数优化,并以框剪结构 NES 系统为例研究了多自由度系统中的优化问题,实验结果表明,采用优化方法设计的NES可在较宽的激励频率下有效减小振动系统的振幅㊂LI X等[15]研究了在简谐激励下耦合立方刚度能量阱(Cubic NES,CNES)及压电俘能器系统,讨论了非线性振动抑制与能量捕获的集成问题,分析了共振频率附近的准周期响应对共振振幅㊁能量收集频带的影响,结果表明,通过优化三次非线性可以综合提高振动抑制和压电能量采集的性能㊂研究表明,只有当外界激励能量达到NES触发阈值时,NES才能高效工作[16]㊂如何降低NES触发阈值,提高NES在低扰动工况下的工作性能具有重要研究意义㊂双稳态非线性能量阱(Bistable Nonlinear Energy Sink,BNES)的非线性刚度由立方刚度及负刚度构成[17],可降低能量阱的触发阈值,提高其在低扰动下的工作性能,对于航空航天等高精仪器低扰动下的振动抑制具有重要意义㊂BNES 的能量传递激励为靶能量传递,利用BNES不仅可以实现对主系统的振动抑制,还可以实现能量回收[18-19]㊂上述研究证明了BNES在振动抑制中的可行性及有效性㊂本文基于磁化电流理论建立永磁体磁力模型,并以磁力作为非线性力构建BNES㊂通过仿真及实验分析构建BNES宽频减振性能㊂1㊀磁力模型分析及BNES构建1.1㊀BNES工作原理㊀㊀BNES的非线性刚度通过负刚度及立方刚度构成㊂负刚度可通过机械结构配置得到,如图1所示㊂当弹簧k2为原长时,振子处于平衡稳定状态,即图中位置1㊁2㊂当弹簧被压缩于竖直时,处于平衡非稳定状态㊂图1㊀BNES构建Fig.1㊀BNES construction当BNES初始工作处于位置1㊁2时,工作性能最好㊂根据主系统工作状况,调节BNES非线性刚度,实现其工作频率对主系统振动频率的追踪,有益于靶能量传递,使主系统振动能量定向高效传至能量阱,并通过阻尼消耗,实现减振目的㊂1.2㊀基于磁化电流法的永磁负刚度实现㊀㊀根据经典电磁理论,导磁材料在磁场中磁化后,其内部及表面的磁化电流密度分别为J m=▽M(1)K m=M n^(2)其中,J m㊁K m分别为磁化电流体密度和面密度;M为介质磁化强度;▽为梯度运算符;n为表面法向量㊂磁场对于导磁材料的作用力即磁场对于磁化电流的力为[20]F=∭V J m B ext d v+∬S K m B ext d s(3)式中,B ext为磁铁外部介质中磁感应强度,对于各向同性介质,J m=▽M=0,则此作用力为F=∬S K m B ext d s(4)㊀㊀对于长方体磁铁A,建立如图2所示坐标系㊂图2㊀磁铁空间坐标系Fig.2㊀Magnet space coordinate system㊀第45卷第2期宋伟志等:基于磁化电流法的双稳态非线性能量阱抑振性能研究273㊀㊀磁铁各表面法线矢量可表示为n-=x -上表面-x -下表面y -左表面-y -右表面z -前表面-z -后表面ìîíïïïïïïïï(5)㊀㊀由图2中坐标系可知磁铁A 的磁化强度为M A =-M A ㊂给出磁铁A 的表面磁化电流,并置于磁铁B 产生的磁场中,如图3所示㊂图3㊀磁铁A 磁化电流示意图及A㊁B 位置关系Fig.3㊀Schematic diagram of magnetizing current of magnet Aand position relationship between A and B对于各向同性介质磁感应强度表示为B =μ0H(6)㊀㊀考虑x 方向的磁力,只需考虑y 方向的磁场强度,联合式(2)㊁式(4)~式(6)可得F x =∬SKmμ0H y d s =-∬S M A μ0H y 1d sx -上表面∬S M A μ0H y 2d sx -下表面0左表面0右表面0前表面0后表面ìîíïïïïïïïïïï(7)式中,H y 1和H y 2为磁铁B 在A 上下表面中心沿y 轴方向产生的磁场强度㊂故x 方向的磁场力可表示为F x =∬SM Aμ0(Hy 2-H y 1)d sx -(8)㊀㊀一般假设导磁材料所处磁场区域场强均匀,则x 方向磁力可表示为F x =μ0M A S (H y 2-H y 1)(9)其中,S 为磁铁A 上下表面的表面积㊂以磁铁B 为中心建立坐标系,其在空间任意点(x ,y ,z )产生的y 轴方向的磁场强度为[21-22]H y (x ,y ,z )=M B 4π[arctan(x p z py x 2p+z 2p+y2)+arctan(x n z n y x 2n+z 2n+y 2)-arctan(x n z p y x 2n+z 2p+y2)-arctan(x p z ny x 2p+z 2n+y 2)](10)其中,x p =x +h B 2,x n =x -h B 2,z p =x +ωB 2,z n =x -ωB 2㊂如图4所示,h B ㊁ωB 分别为磁铁B 的高和宽㊂图4㊀磁铁A㊁B 结构及位置示意图Fig.4㊀Structure and position diagram of magnets A and B以磁铁A 中心位置坐标系描述A 的位置情况,悬臂梁处于水平时,磁铁A 中心位置坐标为(0,d ,0),d =e +l A /2+l B /2为两磁铁中心距㊂磁铁A 振动时,上下表面中心坐标分别为(x +h A /2,d ,0),(x -h A /2,d ,0),将其代入式(10)得到H y 1,H y 2㊂则振动中磁铁A 所受x 方向磁力为F x =μ0M A S [H y 2(x -h A 2,d ,0)-H y 1(x +h A 2,d ,0)](11)㊀㊀图5是利用磁化电流法求得的磁力曲线,其中参数选取:悬臂梁长度为l b =60mm,磁铁厚度为l A =l B =4mm,长宽分别为h A =h B =ωA =ωB =20mm,磁化强度为4.3ˑ105A㊃m -1,真空磁导率为4πˑ10-7N /A 2㊂1.3㊀悬臂梁-磁铁BNES 结构㊀㊀悬臂梁-磁铁BNES 结构如图4所示,其非线性刚度由悬臂梁刚度及永磁负刚度构成㊂在x 向小位移下,悬臂梁刚度按线性处理㊂则悬臂梁产生的弹性恢复力为F b =3EIL 3x (12)㊀㊀悬臂梁宽度为d =18mm,长度l b =60mm,厚度h b =0.6mm,弹性模量E =2ˑ105MPa㊂则BNES 的非㊀274㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀图5㊀磁间距分别为10mm㊁15mm㊁20mm 时的磁力曲线Fig.5㊀Magnetic force curves with magnetic spacing of 10mm,15mm and 20mm respectively线性恢复力为F =F x +F b ,如图6所示㊂图6㊀非线性力-位移关系曲线(e =20mm)Fig.6㊀Relation between nonlinear force &displacement (e =20mm)综合可知,BNES 平衡点与磁力㊁磁间距e 及悬臂梁恢复力有关,图7a 为悬臂梁长度为60mm 时BNES 平衡点和磁间距关系曲线,图7b 为磁间距为15mm 时,BNES 平衡点与悬臂梁长度关系曲线㊂1.4㊀主系统-BNES 动力学方程㊀㊀主系统为悬臂梁附加质量块,耦合BNES,如图8所示㊂分析中采用集中质量法,将主系统及BNES 均视为单自由度,其中主系统的系统参数:质量为m 1,刚度为k 1,阻尼为c 1;BNES 的参数:质量为m 2,线性刚度为k 2,阻尼为c 2,磁力为F x ㊂则系统的动力学方程为m 1x ㊆1+c 1x ㊃1+k 1x 1+c 2(x ㊃1-x ㊃2)+k 2(x 1-x 2)=F (t )m 2x ..2+c 2(x ㊃2-x ㊃1)+k 2(x 2-x 1)+F x =0{(13)㊀㊀由图8建立系统运动学方程,引入变量ε=m 2/m 1,ω20=k 1/m 1,α=k 2/m 1,λ1=c 1/m 1,λ2=c 2/m 1,f x =F x /m 1,f (t )=F (t )/m 1㊂则方程(13)可表示为x ㊆1+λ1x ㊃1+ω20x +λ2(x ㊃1-x ㊃2)+α(x 1-x 2)=f (t )εx ㊆2+λ2(x ㊃2-x ㊃1)+α(x 2-x 1)+f x =0{(14)图7㊀平衡位置与悬臂梁参数关系Fig.7㊀Relationship between equilibrium position andcantilever beamparameters图8㊀主系统-BNES Fig.8㊀Main system-BNES2㊀BNES 工作性能仿真分析2.1㊀主系统-BNES 瞬态仿真分析㊀㊀根据式(14)建立的二自由度动力学模型,分析BNES 的瞬态减振性能㊂系统中参数[23]选取为ε=0.05,λ1=0.05,λ2=0.05,ω0=4,α=1㊂为便于分析,将冲击激励转换为系统的初始条件,为x 1=x 2=x ㊃2=0,x ㊃1=v 0其中,v 0反应主系统所受冲击强度的大小㊂首先分析在未添加BNES 时,主系统的振动响应初始速度v 0设为0.5,结果如图9所示㊂对主系统附加BNES,并分析主系统及BNES 振动响应,分析中初始速度v 0同样设为0.5㊂时域响应如图10所示㊂㊀第45卷第2期宋伟志等:基于磁化电流法的双稳态非线性能量阱抑振性能研究275㊀㊀图9㊀主系统时域响应Fig.9㊀Response of main system in timedomain图10㊀主系统-BNES 时域响应Fig.10㊀Response of main system-BNES in time domain由图9㊁图10可知,在未附加BNES 时,主系统做自由衰减振动,系统能量通过本身阻尼逐渐消耗,且振幅衰减较慢,在100后,振幅仍大于0.01㊂而添加BNES 后,主系统振动快速衰减,能量大部分传至BNES 消耗,在30后,主系统振幅已小于0.01㊂图13㊀不同磁间距下主系统及BNES 幅频特性Fig.13㊀Amplitude frequency characteristics of main system and BNES with different magnetic spacing为分析提出BNES 在不同冲击强度下的工作性能,与优化后的CNES 工作性能进行对比,冲击前强度分别采用v 0=0.2,0.4,0.8,1.2㊂分析结果如图11所示㊂由图11可知,在各个激励强度下,提出的BNES 与优化的CNES 工作性能相差无几,且在强度大于0.8之后,BNES 的工作性能更优,说明提出的BNES 在不同激励强度下具备较好的鲁棒性㊂2.2㊀主系统-BNES 稳态仿真分析㊀㊀仍选用2.1节中的系统参数,利用数值方法分析主系统及BNES 在不同磁间距㊁不同激励强度下的幅频特性㊂首先分析主系统不添加BNES时的幅频特图11㊀不同冲击强度下BNES 与CNES 性能对比Fig.11㊀Performance comparison of BNES and CNES withdifferent impact strength性,外界激励为f cos(ωt ),其中激励强度f =0.2㊂结果如图12所示㊂由图12可知,主系统最大振幅在角频率4附近,其为1㊂图12㊀未添加BNES 时主系统幅频特性Fig.12㊀Amplitude frequency characteristics of main system without BNES之后,分析主系统耦合BNES 后的幅频特性,其中激励强度仍选用f =0.2㊂分析中,分别设置悬臂梁末端磁铁与基础磁铁的磁间距为20mm㊁10mm 及6mm㊂做出主系统及BNES 的幅频特性,结果如图13所示㊂由图13可知,磁间距为20mm 时,主系统在共振㊀276㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀区的最大幅值为0.796,相对于不添加BNES 时,最大幅值降低了20.4%㊂当磁间距为10mm 时,主系统在共振区的最大幅值为0.487,相对于不添加BNES 时,最大幅值降低了51.3%㊂当磁间距为6mm 时,主系统在共振区的最大幅值为0.483,相对于不添加BNES 时,最大幅值降低了51.7%,同时,对比磁间距为6mm 和磁间距为10mm 可知,磁间距为6mm 时,BNES 在整个共振区的抑振效果更好㊂此外,由图14可知,随着磁间距的减小,BNES 的减振频带变宽㊂在激振频率为4下,做出磁间距分别为20mm㊁10mm㊁6mm 时,主系统及BNES 的时域响应,结果如图14所示㊂由图14主系统及BNES 时域图可知,在共振激励下,主系统稳态振幅随着磁间距的减小而减小,同时在磁间距为10mm 和6mm 时,主系统与BNES 发生强调制响应(Strongly Modulated Response,SMR)现象,减振效果明显㊂图15㊀不同激励强度下BNES 与CNES 性能对比Fig.15㊀Performance comparison of BNES and CNES with different excitation intensities最后,为分析提出的双稳态非线性能量阱在不同激励强度下工作性能的稳定性,分别对主系统施加激振频率为0.5ωn ㊁ωn ㊁1.5ωn 的谐波激励,通过控制激励的幅值f ,分析提出的BNES 与优化后的CNES 的工作性能㊂能量阱刚度优化以系统稳定后,主系统一段时间内的动能及势能和的均值为目标进行优化,即J =min( 12x ㊃21+12x 21⓪t )其中, ㊃⓪t 表示时间段t 内的均值㊂做出主系统幅值-激振强度关系曲线,结果如图15所示㊂由图15a 可知,在二分之一共振频率激励下,BNES 与CNES 在激励强度小于3.8及大于6.8时,两者工作性能基本无异㊂在激励强度3.8~6.8之间,减振性能各有优势,主要体现在3.8~4时,CNES 工作性能更优,4~6.8之间,BNES 工作性能更优,整体而言,BNES 工作性能更稳定㊂如图15b 所示,在共振频率激励下,BNES 与CNES 工作性能基本无异,即两者在图14㊀不同磁间距下主系统及BNES 时域响应Fig.14㊀Response of main system and BNES with differentmagnetic spacing in time domain共振频率激励下,工作性能都较为稳定㊂由图15c 可知,在1.5倍共振频率激励下,BNES 在激励强度较大时,工作性能更好,而在激励强度较小时,CNES 工作性能更好㊂3　结论㊀㊀本文基于磁化电流理论进行了磁力分析,绘制了不同磁间距下的磁力曲线㊂通过对磁铁的磁力及悬臂梁的结构力分析,实现了能量阱负刚度,建立了双稳态非线性能量阱,并分析了磁间距及悬臂梁长度对BNES 稳定点位置的影响㊂利用数值法分析了BNES 的瞬态及稳态工作性能,结果表明,提出的BNES 在瞬态工作性能方面,与优化后的CNES 工作性能基本无㊀第45卷第2期宋伟志等:基于磁化电流法的双稳态非线性能量阱抑振性能研究277㊀㊀异,且在激励强度较大时,性能更优㊂在稳态工作性能方面,通过频域分析发现,随着磁间距的减小,BNES 的工作性能更好,且减振频带更宽㊂在磁间距为10mm及6mm时,BNES与主系统发生SMR现象,减振效果明显㊂在激振频率分别为0.5ωn㊁ωn㊁1.5ωn时,通过对主系统稳态幅值和激励强度的分析,可知提出的BNES在不同激励强度下鲁棒性更好㊂参考文献(References)[1]㊀FRAHM H.Device for damping vibrations of bodies:US989958A[P].1911-04-18.[2]㊀靳晓雄,张立军.汽车振动分析[M].上海:同济大学出版社,2002:81-89.JIN XiaoXiong,ZHANG LiJun.Vehicle vibration analysis[M].Shanghai:Tongji University Press,2002:81-89(In Chinese).[3]㊀宋伟志,姚永玉,赵海军,等.基于新型材料的吸振器设计及电流控制方法[J].振动㊃测试与诊断,2018,38(5):133-137.SONG WeiZhi,YAO YongYu,ZHAO HaiJun,et al.Vibrationabsorber design and current control method based on new materials[J].Journal of Vibration,Measurement and Diagnosis,2018,38(5):133-137(In Chinese).[4]㊀SONG W Z,ZHAO Y Q,ZHAO H J,et al.Adaptive dynamicvibration absorber based on a new type of smart material[J].NoiseControl Engineering Journal,2017,65(3):191-196. [5]㊀GAO Q,DUAN C D,FANG X B,et al.Resonance reduction ofprimary system using variable mass tuned vibration absorber[J].Noise Control Engineering Journal,2014,62(62):138-144. [6]㊀李㊀爽,楼京俊,刘树勇,等.冲击激励下非线性能量阱振动抑制效果分析[J].华中科技大学学报(自然科学版),2019,47(10):87-92.LI Shuang,LOU JingJun,LIU ShuYong,et al.Analysis of vibrationsuppression effect of nonlinear energy well under impact excitation[J].Journal of Huazhong University of Science and Technology(Natural Science Edition),2019,47(10):87-92(In Chinese).[7]㊀ROBERSON R E.Synthesis of a nonlinear dynamic vibrationabsorber[J].Journal of the Franklin Institute,1952,254(5):205-220.[8]㊀ROMEO F,SIGALOV G,BERGMAN L A,et al.Dynamics of alinear oscillator coupled to a bistable light attachment:Numericalstudy[J].Journal of Computational and Nonlinear Dynamics,2015,10(1):011007.[9]㊀ALISVERISCI G F,BAYIROGLU H,PALACISON F J L,et al.Anonlinear electromechanical pendulum arm with a nonlinear energysink control(NES)approach[J].Journal of Theoretical&AppliedMechanics,2016,54(3):975-986.[10]㊀BENAROUS N,GENDELMAN O V.Nonlinear energy sink withcombined nonlinearities:Enhanced mitigation of vibrations andamplitude locking phenomenon[J].Proceedings of the Institution ofMechanical Engineers,Part C:Journal of Mechanical EngineeringScience,2016,230(1):21-33.[11]㊀BOROSON E,MISSOUM S,MATTEI P O,et al.Optimizationunder uncertainty of parallel nonlinear energy sinks[J].Journal ofSound and Vibration,2017(394):451-464.[12]㊀CHEN J E,ZHANG W,YAO M H,et al.Vibration suppression fortruss core sandwich beam based on principle of nonlinear targetedenergy transfer[J].Composite Structures,2017(171):419-428.[13]㊀YANG K,ZHANG Y W,DING H,et al.Nonlinear energy sink forwhole-spacecraft vibration reduction[J].Journal of Vibration andAcoustics,2017,139(2):021011.[14]㊀姚红良,张㊀钦,杨沛然,等.分段线性刚度非线性能量阱的参数优化方法[J].东北大学学报(自然科学版),2019,12(40):1732-1738.YAO HongLiang,ZHANG Qin,YANG PeiRan,et al.Parameteroptimization method of piecewise linear stiffness nonlinear energywell[J].Journal of Northeast University(Natural Science Edition),2019,12(40):1732-1738(In Chinese).[15]㊀LI X,ZHANG Y W,DING H,et al.Dynamics and evaluation of anonlinear energy sink integrated by a piezoelectric energy harvesterunder a harmonic excitation[J].Journal of Vibration&Control,2019,25(4):851-867.[16]㊀HABIB G,ROMEO F.The tuned bistable nonlinear energy sink[J].Nonlinear Dynamics,2017,89(1):179-196.[17]㊀TANG D,YAO X,WU G,et al.Free and forced vibration analysisof multi-stepped circular cylindrical shells with arbitrary boundaryconditions by the method of reverberation-ray matrix[J].Thin-Walled Structures,2017,116:154-168.[18]㊀AL-SHUDEIFAT M A,WIERSCHEM N,QUINN D D,et al.Numerical and experimental investigation of a highly effective single-sided vibro-impact non-linear energy sink for shock mitigation[J].International Journal of Non-Linear Mechanics,2013(52):96-109.[19]㊀姚丙盟,刘志平,李文锋.基于双稳态的振动能量收集系统的设计[J].中国机械工程,2015,26(13):1736-1741.YAO BingMeng,LIU ZhiPing,LI WenFeng.Design of vibrationenergy collection system based on bistability[J].China MechanicalEngineering,2015,26(13):1736-1741(In Chinese). [20]㊀BOBBIO S,DELFINO,GIRDINID P,et al.Equivalent sourcesmethods for the numerical evaluation of magnetic force with extensionto nonlinear materials[J].IEEE Transactions on Magnetics,2000,36(4):663-666.[21]㊀张雨阳,冷永刚,谭㊀丹,等.基于磁化电流法的双稳压电悬臂梁磁力精确分析[J].物理学报,2017(22):154-166.ZHANG YuYang,LENG YongGang,TAN Dan,et al.Accuratemagnetic analysis of double voltage stabilizing electric cantileverbased on magnetizing current method[J].Acta Physica Sinica,2017(22):154-166(In Chinese).[22]㊀姚红良,刘㊀帅,王钰玮,等.可调永磁双稳态非线性能量阱及应用研究[J].振动与冲击,2020,39(3):127-133.YAO HongLiang,LIU Shuai,WANG YuWei,et al.Research onadjustable permanent magnet bistable nonlinear energy well and itsapplication[J].Journal of Vibration and Shock,2020,39(3):127-133(In Chinese).[23]㊀VAKAKIS A F,GENDELMAN O V,BERGMAN L A,et al.Nonlinear targeted energy transfer in mechanical and structuralsystems[M].Dordrecht:Springer Netherlands,2009:186-189.。

级联双稳随机共振和基于 Hermite 插值的局部均值分解方法在齿轮故障诊断中应用李永波;徐敏强;赵海洋;张思杨;黄文虎【摘要】针对于弱信号在齿轮故障中难以提取问题，提出了一种基于级联双稳随机共振（Cascaded Bistable Sto-chastic Resonance，CBSR）降噪和局部均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）齿轮故障的诊断方法。

随机共振可有效削弱信号中的噪声，利用噪声增强故障信号的微弱特征；LMD 方法可自适应将复杂信号分解为若干个具有一定物理意义上 PF 分量之和，适合处理多分量调幅调频信号。

首先将振动信号进行 CBSR 消噪处理，然后对消噪信号进行 LMD 分解，通过 PF 分量的幅值谱找到齿轮的故障频率。

通过齿轮磨损故障诊断的工程应用，表明该方法可以有效提取齿轮故障微弱特征，实现齿轮箱的早期故障诊断。

%Aiming at the difficulty of extracting the weak signal in gear fault diagnosis,a method for gear fault diagnosis based on cascaded bistable stochastic resonance(CBSR)denoising and local meandecomposition(LMD)was proposed.The technique of stochastic resonance can remove noise in signals effectively and make use of noise to strengthen the weak fault feature;LMD can decompose a complicated signal into several stationary PF (product function) components with reality meanings,so it is very suitable to analyze the multi-component amplitude-modulated and frequency-modulated signals.Here,the CBSR was employed in the pretreatment to remove noise in vibration signals,the denoised signal was decomposed with LMD,and then the fault frequency of gearwas found by inspecting the amplitude spectra of PF components.Theengineering application of the method in fault diagnosis of gear wear demonstrated that it can extract the weak feature of gear fault effectively and realize the early gear fault diagnosis.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】7页(P95-101)【关键词】级联双稳随机共振;局部均值分解;故障诊断;齿轮【作者】李永波;徐敏强;赵海洋;张思杨;黄文虎【作者单位】哈尔滨工业大学深空探测基础研究中心，哈尔滨 150001;哈尔滨工业大学深空探测基础研究中心，哈尔滨 150001;哈尔滨工业大学深空探测基础研究中心，哈尔滨 150001;哈尔滨工业大学深空探测基础研究中心，哈尔滨150001;哈尔滨工业大学深空探测基础研究中心，哈尔滨 150001【正文语种】中文【中图分类】TH165.3Application of cascaded bistable stochastic resonance and Hermite interpo lation local mean decomposition method in gear fault diagnosisKey words:cascaded bistable stochastic resonance; local mean decompositi on; fault diagnosis; gear在实际的旋转设备中，由于现场环境恶劣，例如振动传递路径的多变、强背景噪声以及多分量的振动源激励等，导致测点信号的信噪比低、特征微弱且噪声污染信号严重[1]。