12.3 角的平分线的性质 习题精选(一)

1、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点 到___________相等．
2、到三角形三边距离相等的点是（ ） A. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 D. 不能确定
3、如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公 路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路 的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A、1处 B、2处
6、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°， AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误 的是（ ）A. DC＝DE B. ∠AED＝ 90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝ DC
7、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC ＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB 于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ） A. 4cm B. 6cm C. 10cm D. 以上都不对
E
A
D
B
10、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm， BD=5 cm，则BC=_____cm.
11、如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D， CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=____.
12、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 2 则PN=_______ 。
16、如图：在△ABC中， ∠C=90° AD是∠ BAC的 平分线， DE ⊥ AB 于 E ， F F 在AC上，BD=DF；
求证：CF=EB
C
A
E D
试试自己写 证明。你一 定行！
B
17、已知：如图,在△ABC中， BD＝ CD, ∠1= ∠2.求证：AD平分∠BAC
A
E

12.3角的平分线的性质一、单选题1．如图①，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图②，步骤如下：第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步；画射线BP ，射线BP 即为所求．下列叙述不正确的是（ ）A ．0a >B ．作图的原理是构造SSS 三角形全等C ．由第二步可知，DP EP =D ．12b DE <的长 2．如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，利用尺规在BC ，BA 上分别截取BE ，BD ，使BE BD =；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点F ；作射线BF 交AC 于G ．若2CG =．P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A ．无法确定B ．1C ．2D ．43．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，用尺规分别截取BE ，BD ，使BE ＝BD ，分别以D 、E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠CBA 内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ．若CG ＝1，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A ．无法确定B ．12C ．1D ．24．如图，//,AF CD CB 平分,ACD BD ∠平分EBF ∠，且BC BD ⊥，下列结论：①BC 平分ABE ∠，②//AC BE ；③90BCD D ∠+∠=︒；④2DBF ABC ∠=∠．其中正确的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于E ，则下列结论中，不正确的是（ ）A ．DE 平分ADB ∠ B ．BD ED BC += C ．AD 平分EDC ∠ D ．ED AC AD +>6．如图，在Rt ABC 中，90,B AD ∠=︒平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若1BD =，则DE 的长为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．67．如图，//AB CD ，CE 平分ACD ∠交AB 于点E ，EG 平分BEF ∠交CD 于点G ，若90CEG ∠=︒，则下列结论：①EC 平分AEF ∠；②//EF AC ；③180EFG A ∠+∠=︒；④12EGC A ∠=∠．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠BDC ＝90°，∠C ＝∠ADB ，点P 是BC 边上的一动点，连接DP ，若AD ＝4，则DP 的长不可能是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3二、填空题目 9．如图，已知AB ∥CD ，∠BFC ＝127°4'，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD 的度数为_____．10．如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（a ＋2b ，a ＋1），则a ＋b =________．11．我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比Ω”（1Ω≥），那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______． 12．如图，已知ABC ∆中，90,C AC BC ∠=︒=，点D 在BC 上，DE AB ⊥，点E 为垂足，且DC DE =，联结AD ，则ADB ∠的大小为___________．13．如图所示，已知AOB ∠，求作射线OC ，使OC 平分AOB ∠，作法的合理顺序是__．（将①②③重新排列）①作射线OC ；②以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于D 、E ；③分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在AOB ∠内，两弧交于点C ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，垂足为D ，其中CE ＝4.5，AB ＝10，那么△ABE 的面积为_____．三、解答题15．如图AOB ∠是一个锐角．（1）用尺规作图法作出AOB ∠的平分线OC ；（2）若点P 是OC 上一点，过点P 作PD OA ⊥于点D ，PE OB ⊥于点E ，求证：OD OE =． 16．如图，已知//58AM BN A ∠=︒，，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点C ，D ．（1）①ABN ∠的度数是_______度；②∵//AM BN ，∴ACB ∠=∠________．（2）求CBD ∠的度数．（3）当点P 运动时，APB ∠与ADB ∠之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．17．如图，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转DAC ∠的度数得到AED ．（1）尺规作图：确定AED 的顶点E 的位置（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；（2）连接AE ，DE ，设BC 的延长线交DE 于点G ，连接AG ．求证：AG 平分DGB ∠．18．如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB ，BC 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的相同长度为半径作弧，两弧交于点F ； ③作射线BF 交AC 于点G ．（1）根据上述步骤补全作图过程（要求：规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）如果8AB =，12BC =，那么ABG 的面积与CBG 的面积的比值是________．19．（1）如图1，ABC 中，ABC ∠的角平分线与ACB ∠的外角ACD ∠的平分线交于1A ．当A ∠为80︒时，则为1A ∠的度数．（2）在（1）的条件下，若1A BC ∠的角平分线与1ACD ∠的角平分线交于2A ，2A BC ∠与A CD 2的平分线交于3A ，如此继续下去可得1A …，n A ，则6A ∠=______°；（3）如图2，四边形ABCD 中，F ∠为ABC ∠的角平分线及外角DCE ∠的平分线所在的直线构成的角，若230A D ∠+∠=︒，则F ∠=_________°；（4）如图3，ABC 中，ABC ∠的角平分线与ABC 的外角ACD ∠的平分线交于1A ，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，AEC ∠与ACE ∠的角平分线交于Q ，①求证1Q A ∠+∠的值为定值；②1Q A ∠-∠的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论 （填编号），并写出其值．20．如图，△ABC 中，∠C =90°，请按要求解决问题．（1）求作∠A 的平分线交BC 边于点D ．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）（2）若AC =6，AB =10，求△ABD 的面积．21．如图所示，在ABC 中，AB AC =．（1）尺规作图：过点A 作ABC 的角平分线AD （不写作法，保留作图痕迹）； （2）在AD 上任取一点E ，连接BE 、CE ．求证：ABE ACE ∠∠． 22．如图，CA 平分∠BCD ，AB =AD ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ． （1）若∠ABE =60°，求∠CDA 的大小；（2）若AE =2，BE =1，CD =3，求四边形AECD 的面积．祝福语祝你考试成功!。

专题12.3角平分线的性质（测试）一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，点D到AB的距离为4，则BC的长是（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∴CD⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴CD=DE，∵D到AB的距离等于4，∴CD=DE=4，又∵BD=2CD，∴BD=8，∴BC=4+8=12，故选：C．2．如图，图中直线表示三条相互交叉的路，现要建一个货运中转站，要求它到三条公路的距离相等，则选择的地址有（）A．4处B．3处C．2处D．1处【答案】A【解析】解：∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴△ABC 内角平分线的交点满足条件； 如图：点P 是△ABC 两条外角平分线的交点， 过点P 作PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，PF ⊥AC ， ∴PE=PF ，PF=PD ， ∴PE=PF=PD ，∴点P 到△ABC 的三边的距离相等，∴△ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有4个， ∴可供选择的地址有4个． 故选：A ．3．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒,10AB =,AD 是ABC ∆的一条角平分线.若3CD =，则ABD ∆的面积为( )A ．3B ．10C ．12D ．15【答案】D【解析】解：如图，作DE ⊥AB 于E ，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为12×3×10=15．故选：D．4．△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：∵△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25，∴AB2+BC2＝72+242＝252＝AC2，∴∠ABC＝90°，连接AP，BP，CP．设PE＝PF＝PG＝xS△ABC＝12×AB×CB＝84，S△ABC＝12AB×x+12AC×x+12BC×x＝12（AB+BC+AC）•x＝12×56x＝28x，则28x＝84，x＝3．故选：C．5．如图，OP平分∠AOB，点C，D分别在射线OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的是（）A ．OC ＝ODB ．∠CPO ＝∠DPOC ．PC ＝PD D ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB【答案】C【解析】∵OP 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOP ＝∠BOP ，而OP 是公共边，A 、添加OC ＝OD 可以利用“SAS ”判定△POC ≌△POD ，B 、添加∠OPC ＝∠OPD 可以利用“ASA ”判定△POC ≌△POD ， C 、添加PC ＝PD 符合“边边角”，不能判定△POC ≌△POD ， D 、添加PC ⊥OA ，PD ⊥OB 可以利用“AAS ”判定△POC ≌△POD ， 故选：C ．6．如图，已知ABC ∆的面积为28cm ，BP 为ABC ∠的平分线，AP BP ⊥于点P ，则PBC ∆的面积为（ ）.A ．23.5cmB ．23.9cmC ．24cmD ．24.2cm【答案】C【解析】延长AP 交BC 的延长线于点E ， ∵AP 垂直PB 且PB 平分ABC ∠， ∴ABP EBP ∠=∠.又BP BP =，90APB BPE ∠=∠=︒， ∴()ABP EBP ASA ∆≅∆. ∴BAP BEP S S ∆∆=，AP PE =. ∴APC PCE S S ∆∆=.设ACE S m ∆=，∴8ABE ABC ACE S S S m ∆∆∆=+=+，∴284cm 211222PBC ABE ACE S S S m m ∆∆∆+-==-=.7．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若32BC =，且:9:7BD CD =，则点D 到AB 边的距离为（ ）.A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C【解析】过点D 作DE AB ⊥于点E ， ∵AD 平分BAC ∠，∴DC DE =.又:9:7BD CD =且32BC =，∴18BD =，14CD =. 即14DE =.即点D 到AB 边的距离为14. 故选C8．如图所示，P 是BAC ∠的平分线上一点，PM AB ⊥于点M ，PN AC ⊥于点N .有下列结论：①PM PN =；②AM AN =；③APM ∆与APN ∆面积相等；④90PAN APM ∠+∠=︒，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由角平分线性质可知①是正确的；可证()Rt Rt AMP ANP HL ∆≅∆，∴AM=AN,APM APN S S ∆∆=，可得②③是正确的；由()Rt Rt AMP ANP HL ∆≅∆可得∠APM=∠APN ，由∠APN+∠PAN=90°可得∠PAN+∠APM=90°，可知④是正确的，故选D.9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，下列结论中正确的个数是（ ）.①AD 平分CDE ∠：②BAC BDE ∠=∠；③DE 平分ADB ∠；④AB AC BE =+. A ．3个 B ．2个C ．1个D ．4个【答案】A【解析】因为DE AB ⊥，所以90AED ∠=︒.又AD 是CAB ∠的角平分线，AC CD ⊥，由角平分线的性质得DC DE =，又AD AD =，故ACD AED ∆≅∆，所以ADC ADE ∠=∠，故①成立；在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，故90BAC B ∠+∠=︒，在Rt BDE ∆中，90B EDB ∠+∠=︒，因此BAC B B EDB ∠+∠=∠+∠，即BAC BDE ∠=∠，故②成立；∵ACD AED ∆≅∆，故AC AE =，因此AB AE EB AC BE =+=+，④成立； 当60B ∠=︒时，30EDB ∠=︒，75ADE ∠=︒，显然EDB ADE ∠≠∠，故③不成立.10．作∠AOB 的角平分线的作图过程如下，用下面的三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【解析】连接CD、CE,根据作图步骤知OD=OE、CD=CE、OC=OC所以根据SSS可判定△OCE≌△OCD,所以∠BOC=∠AOC，OC平分∠AOB故用尺规作图画∠AOB的角平分线OC，作图依据是SSS，故选：D．11．如图，点P在∠MON的角平分线上，A、B分别在∠MON的边OM、ON上，若OB=3，S△OPB=6，则线段AP的长不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】作PC⊥OM于C，PD⊥ON于D，如图所示：∵点P在∠MON的角平分线上，∴PC=PD，∵S△OPB=12OB⋅PD=6，OB=3，∴PD=4，∴线段AP的长不可能是3，故选：A.12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】解：∵DE⊥AB，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵∠C=90°，∠CDA+∠C+∠CAD=180°，∠DEA+∠BAD+∠EDA=180°，∴∠CDA=∠EDA，∴①正确；∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°，∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°，∵∠CDA=∠EDA，∴∠CDA=∠EDA=11352︒⨯=67.5°≠45°，∴∠EDA≠∠BDE，∴DE不平分∠BDA，∴②错误；∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由勾股定理得：AC=AE，∴AE=AC=BC ， ∵∠B=∠BDE=45°， ∴BE=DE=CD ，∴AE-BE=BC-CD=BD ，∴③正确；△BDE 周长是BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm ，∴④正确； 即正确的个数是3， 故选：B ．13．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若S △ABC ＝28，DE ＝4，AB ＝8，则AC 长是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ， ∴DF ＝DE ＝4．又∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，AB ＝8，112884422AC ∴=⨯⨯+⨯⨯，∴AC ＝6． 故选：C ．14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的中垂线上；④△ABD 边AB 上的高等于DC.其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB=30°，∴∠ADC=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠BAD =∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④角平分线上的一点到线段两端点的距离相等, 因此判断出△ABD边AB上的高等于DC.故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D．15．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】A【解析】作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥BC 于H ，∵D 是∠ABC 平分线上一点，DG ⊥AB ，DH ⊥BC ，∴DH=DG ，在Rt △DEG 和Rt △DFH 中，DG DH DE DF⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △DEG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠DEG=∠DFH ，又∠DEG+∠BED=180°，∴∠BFD+∠BED=180°，∴∠BFD 的度数=180°-140°=40°，故选：A ．16．如图，在四边形ABDC 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，且点O 在线段BD 上，BD ＝4，则点O 到边AC 的距离是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】C 【解析】解：过O 作OE ⊥AC 于E ，∵∠B ＝∠D ＝90°，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，∴OB ＝OE ＝OD ，∵BD ＝4，∴OB ＝OE ＝OD ＝2，∴点O到边AC的距离是2，故选：C．二、填空题17．如图，以O为圆心，适当长为半径画弧，交横轴于点M，交纵轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P．若点P到横轴和纵轴的距离分别为2a-1、a+2，则a=_____．【答案】3【解析】根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a-1=a+2，整理得：a =3，18．如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点O，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_______.【答案】4【解析】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE＝OF，OE＝OG，∴OE＝OF＝OG＝2，∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∴∠EOF＋∠EOG＝（180°−∠BAC）＋（180°−∠ACD）＝180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离＝OF＋OG＝2＋2＝4．故答案为：4．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____．【答案】2【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于DC＝2，∴PD的最小值为2．故答案为2．20．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．【答案】1【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，∴S△ABC=12AC•BC=12(AC+BC+AB)•r，∴3×4=(3+4+5)×r，解得：r=1．故答案为：1．三、解答题21．按下列要求画图并填空：(1)过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D，那么点B到直线AC的距离是线段的长.(2)用直尺和圆规作出∠ACB的平分线，若角平分线上有一点P到边AC的距离是3cm，通过你的测量，点P到边BC的距离是cm(保留作图痕迹).【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)如图所示：点B到直线AC的距离是线段BE的长.(2) 如图所示：点P到边BC的距离是3cm.22．在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠EAD的度数．【答案】45°【解析】∵在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝110°，∴∠BAC＝180°﹣20°﹣110°＝50°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝12∠BAC＝25°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝20°+25°＝45°．∵AD⊥BC，∴∠D ＝90°，∴∠EAD ＝90°﹣∠AED ＝90°﹣45°＝45°．23．如图，△ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于点E ，F 在AC 上且BE=FC,BD=FD ，求证：AD 是∠BAC 的平分线。

第十二章 全等三角形12.3角的平分线的性质自学目标:1、 能用尺规完成基本作图：作一个角的平分线；2、 了解证明几何命题的步骤，探索并证明角平分线的性质定理和判定定理；3、 能利用角平分线的性质定理和判定定理进行证明、运算，并能解决一些实际问题。

考点分类精讲考点1 作角的平分线 核心总结知识．能力聚焦用直尺和圆规作∠AOB 的平分线的作法：（1） 以点O 为圆心、适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ； （2） 分别以M 、N 为圆心、大于21MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ；（3） 画射线OC 。

射线OC 即为所求[点拨]1、根据作图可知△MCO 与△NCO 全等，所以∠AOC ＝∠COB2、步骤（2）中的半径要求大于21MN ，否则两弧就不能有交点。

3、步骤（2）中两弧在角的外部也有交点，因此一定要强调两弧在∠AOB 的内部相交于点C ；真题诠释（2011年北京四中中考模拟20）(本题8分)如图，AB∥CD的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)(1)用直尺和圆规作C(2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF。

要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。

[解析]由角的平分线定义可知∠ACF=∠DCF，根据平行线的性质知∠DCF=∠AEF，所以有∠ACF=∠AEF，又由图形可知两三角形有一条公共边AF，即两个三角形中有一边一角且这条边是这个角的对边，因此可用AAS来使△ACF≌△AEF；今后学完等腰三角形的判定以后，就可知本题中，AC=AE,因此还可以添加条件CF=EF，用SSS或SAS来使△ACF≌△AEF。

[答案]解：(1)如图所示。

(2)取点F和画AF正确(如图)；添加的条件可以是：AF⊥CE；∠CAF=∠EAF；CF=EF等。

(选一个即可)思维．延伸拓展1、可由尺规作图作任意一个三角形的三个内角平分线；2、可由尺规作图平分平角即过直线上一点作这条直线的垂线：以直线上的已知点作为平角的顶点，按照作角平分线的步骤作平角的平分线，然后反向延长角平分线即得已知直线的垂线。