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初一数学下册动点问题

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DC3-1BAO

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初一数学下册中的动点问题 张文彩 初中一年级数学下册中有关几何内容是相交线与平行线，初一上册数学几何内容是点，线，面，体，还有角倍分的问题。所以在初一阶段有关动点的问题相对简单，很多都与平行线有关，有时与平面直角坐标系结合一起，目的是考察学生的观察能力与思维能力。下面根据平时的练习与本人的经验对初一数学下册出现的动点问题进行简单的总结，为初二初三年级研究复杂的动点问题打下坚实的基础。动点在数轴上有规律的运动。 一、平面直角坐标中的动点。 在平面直角坐标系中根据平移的性质：平移前后的线段互相平行且相等，前后的线段就构成了平行四边形的一组对边，经常就会提出平行四边形的面积问题，三角形面积问题，由平行线可以设计一些有关角度之间关系的问题。 例1.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． (1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积 (2)在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB， 使S△PAB=S四边形ABDC，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由． (3)在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在请求出点F的坐标；若不存在请说明理由。

ABDCS四边形PDCBAOx

y（4）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合），设△CDP与△BOP的面积和为S，则S的取值范围是什么？ （5）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：

解析：（1）根据平移规律：左右平移横变化，左减右加；上下平移纵变化，上加下减。 A（－1，0），向上平移2个单位后得到坐标为：（-1,2），再向右平移1个单位，得到点C（0,2）； B的坐标分别为（3，0），向上平移2个单位后得到坐标现（3,2），再向右平移1个单位得到点D（4,2）。 （2）如图：根据平行四边形的面积公式：S四边形ABDC=底×高。底是AB=4；高OC=2.所以S四边形ABDC=4×2=8 根据三角形面积公式=底×高÷2， △PAB的底是AB=4，点P在y轴，所

以△PAB的高就是OP的长度，设OP的长度是y； 由S△PAB=S四边形ABDC=8， 得方程4y÷2=8，y=4.所以点P的坐标是

结论，并求其值。确的，请你找出来这个其中有且只有一个是正是定值是定值；,BOPCPODCPOPCBOPDCP

PDCBAOx

y

（0,4）或（0，-4）。 (3)如图：设x轴上存在点F（x,0） 满足三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍 因为CD=4,OC=2

所以2FB=4，FB=2。所以点F（1,0）或（5,0） （4）△CDP与△BOP的面积和是S，所以

3（5）因为CD∥AB，当点P在线段BD上运动时，可以证明 ∠PCD+∠POB=∠OPC，所以第一个结论正确，结果等于1. 归纳：这道题目考察的知识点有：平移的规律，平行四边形的面积公式，三角形的面积计算，面积的取值范围，还有动点引起的角度的变化。涉及到的数学思想有：分类讨论思想，转换思想。体现了一题多问的解题模式。 例2在平面直角坐标系中，点A,B分别是x轴，y轴上的点，且OA=a，OB=b，其中a,b满足01632abba，将B向左平移18个单位得到点C。 （1）求点A,B,C的坐标；

22142421FBssDFBCDF

PPOCPCDBOxxOCOCOBCDSSS•721)(21△梯形（2）点M,N分别为线段BC，OA上的两个动点，点M从点B以1个单位/秒的速度向左运动，同时点N从点A以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒（0≤t≤12）. ①当BM=ON时，求t的值。 ②是否存在一段时间，使得

BOACNACMSS四边形四边形＜2

1

若存在，求出t的

取值范围

解：由题意得016032abba

解a=24,b=8,所以A(-24,0),B(0,8),C(-18,8) （2）由题意得，BM=t，AN=2t，OA=24, 所以ON=24-2t；因为BM=ON，所以t=24-2t; 解得t=3 （3）

= 72+4t 由题意得72+4t<84； t<3

答：存在一段时间，使得BOACNACMSS四边形四边形＜21，t的取值范围是0

t211568)224(218)2418(21)(21)(21ttOBONBMOBOABCSSSNOBMAOBCNACM梯形梯形四边形归纳：本题根据：如果几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0，先求出点的坐标，然后再根据路程=速度×时间得到相关线段的长度。最后运用梯形的面积公式解决相关问题。 练习：1.如图，在长方形ABCD中，边AB=8，BC=4，以点O为原点，OA，OC所在的直线为y轴和x轴，建立直角坐标系．（1）点A的坐标为（0，4），则B点坐标为______，C点坐标为______； （2）当点P从C出发，以2单位/秒速度向CO方向移动（不超过O点），Q从原点O出发以1单位/秒速度向OA方向移动（不超过A点），P，Q同时出发，在移动过程中，四边形OPBQ的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由.

二．平行线中的动点问题 在初一阶段，平行线的性质是重点内容，对于初一学生来说也是难点，平行线的性质与判定的灵活运用是现在考试中的热点，经常会设计类似下图的问题，如果学生能熟练掌握下图的规律，在以后的解决问题时就会起到事半功倍的效果，从而提升学生学习数学的兴趣。 如图AB∥CD，动点P所在的位置不同，∠PCD,∠PAB,∠APB三个角的关系就不同。 图1.∠PCD+∠PAB=∠APB（中间的角∠APB最大，两小的和等于最大角） 图2.∠PAB=∠APB+∠PCD（点P在最上边，上面的两个角的和等于最下面的角） 图3.∠PCD=∠PAB+∠APB（点P在最下边，下面的两个角的和等于最上面的角） 例3.（安阳期末）（1）已知AB∥CD，那么图1中∠PAB,∠APC,∠PCD之间有什么数量关系？并说明理由。 (2)已知∠BAC=80°，点D是线段AC上一点，CE∥BD，∠ABD和∠ACE的平分线交于点F，请利用（1）的结论求出图2中∠F的度数。 解析：（1）过点P作PE∥AB， 因为AB∥CD，所以PE∥CD 所以∠EPC=∠C，∠EPA=∠A 因为∠EPC=∠EPA+∠APC 所以∠C=∠A+∠APC 小结：这道题的规律是点P为两平行线外一点，三个角的大小关系是：两个较小角的和等于较大的角。 题中要求利用第一问的结论，求∠F。所以我们首先研究（1）的结论与（2）的图形有什么关系，能否把（2）的图形转化为与（1）的图形一样。如图4延长BD，过F作BD的平行线，这样就能看到点A和P在两平行线外侧， ∠A=∠ACE-∠ABC=80°；

∠BCF=∠FCE-∠FBC=40ABC)∠-ACE(21 小结：这道题目实际上是例1图3的应用。掌握住上面的规律来解题能起到事半功倍的效果。 三．动点在截线上运动 例2：已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F． （1）如图①，当∠A=25°，∠APC=70°时，求∠C的度数； （2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论； （3）如图③，当点P在线段FE的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的相等关系并证明． 解析：（1）对于图①,过点P作AB的平行线，然后根据平行线的性质可以证得： ∠APC=∠A+∠C。从而求得∠C的度数。 点P在线段EF上运动时（注意：关键词是线段），∠A、∠APC与∠C之间的关系就是：∠APC=∠A+∠C。证明方法参考（1）. 当点P在FE延长线上运动时，过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可以证得 ∠C=∠A+∠APC 例4.如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC=70°.

（1）求∠EDC的度数； （2）若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）； （3）将线段BC沿DC方向平移， 使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）． 分析：（1）根据角平分线的性质结合∠ADC=70°即可求得结果； （2）过点E作EF∥AB，即可得到AB∥CD∥EF，从而可得∠ABE=∠BEF，∠CDE=

∠DEF，再根据角平分线的性质可得∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=35°，即可求得结果；

（3）过点E作EF∥AB，根据角平分线的性质可得∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=35°，再根据平行线的性质可得∠BEF的度数，从而求得结果. 解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°，

∴∠EDC=∠ADC=×70°=35°； （2）过点E作EF∥AB，

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七年级数学动点问题知识点

七年级数学动点问题知识点

七年级数学动点问题知识点数学中的动点问题是数学中常见的类型。

这类问题的特点是有一个或多个运动的“点”，并且需要根据这些点的运动轨迹来求解问题。

在初中数学中，学生通常会学习到直线运动、圆周运动和两点之间的相对运动等知识。

下面将对这些知识点进行具体的讲解。

1. 直线运动直线运动是动点问题中最基本的一种。

在直线运动中，动点随着时间的推移，沿着一定的直线方向进行移动。

对于一个匀速直线运动的动点，我们可以通过公式 s = vt 来求解。

其中，s 表示位移，v 表示速度，t 表示时间。

例如，一辆时速为 60 公里/小时的汽车从 A 地出发，向 B 地驶去，经过 2 小时后到达 B 地。

则这辆汽车的位移 s = vt = 60 * 2 = 120 公里。

对于存在加速度或减速度的直线运动，我们则需要通过加速度来求解。

对于匀加速直线运动的动点，我们可以通过公式 s = vt +1/2at^2 来求解。

其中，s 表示位移，v 表示初速度，t 表示时间，a 表示加速度。

例如，一个起始速度为 0 m/s，加速度为 5 m/s^2 的物体，经过3 秒后的位移为 s = vt + 1/2at^2 = 0 * 3 + 1/2 * 5 * 3^2 = 22.5m。

2. 圆周运动圆周运动也是动点问题中较为常见的一种。

在圆周运动中，动点会绕着圆心进行运动，通常会涉及到角度的概念。

对于一个匀速圆周运动的动点，我们可以通过公式s = rθ 来求解。

其中，s 表示弧长，r 表示半径，θ 表示圆心角的大小（弧度制）例如，半径为 5cm 的圆周上，一个匀速运动的动点在 3 秒钟内绕圈一周，求其位移。

由于一周为2π rad，那么圆心角大小为θ = 2π。

则动点的位移 s = rθ = 5 * 2π = 10π ≈ 31.4cm。

对于存在变速的圆周运动，我们需要通过变速率来求解。

对于一个圆周运动的动点，它的速度通常都是变化的，而其加速度方向则指向圆心。

初一数学动点知识点

初一数学动点知识点

初一数学动点知识点
在初一数学中，动点是一个重要的知识点，特别是在平面几何中。

以下是关于动点的一些基本概念和知识点：
1. 动点的定义：在平面几何中，动点通常是指在平面内可以自由移动的点。

这些点可以沿着不同的路径和速度移动，形成各种轨迹和图形。

2. 动点的轨迹：当一个动点按照一定的规律移动时，它所经过的路径被称为轨迹。

在平面几何中，动点的轨迹可以是直线、圆、抛物线、椭圆等。

3. 速度和加速度：在描述动点的运动时，速度和加速度是非常重要的概念。

速度表示动点在单位时间内移动的距离，而加速度表示速度的变化率，即单位时间内速度的增量。

4. 直线的动点问题：在直线上的动点问题通常涉及到距离、速度和时间的关系。

这类问题通常需要利用距离公式、速度公式等来解决。

5. 圆上的动点问题：在圆上的动点问题通常涉及到半径、角度、弦长等概念。

这类问题通常需要利用圆的性质、三角函数的性质等来解决。

6. 动点的应用：动点在实际生活中有广泛的应用，如物理中的运动问题、工程中的机械运动、生物学中的细胞分裂等。

总的来说，动点是平面几何中的一个重要知识点，通过研究动点的运动轨迹、速度和加速度等概念，可以深入了解平面几何的基本原理和应用。

初一下册动点问题解题技巧

初一下册动点问题解题技巧

初一下册动点问题解题技巧初一下册动点问题解题技巧1. 弄清题目要求•仔细阅读题目，理解题目中所给的信息和要求。

•确定题目中提到的关键词，例如：找规律、求最值、计算等。

•判断题目要求的是一个具体的答案还是一个解答过程。

2. 分析问题•将问题分解为更简单的小问题，逐步解决。

•寻找已知条件和未知量之间的关系，建立数学模型。

•根据题目中的条件和要求，确定所需的计算方法或公式。

3. 运用合适的策略•尝试逆向思维，从答案出发推导出问题的解决过程。

•善用图表、图像和模型等工具，帮助理解和解决问题。

•运用不同的解题方法，例如：猜测与检验、试错法、寻找规律等。

4. 正确解答问题•使用适当的计算方法，包括基本的四则运算、分数运算、方程求解、代数运算等。

•将计算过程和结果清晰地展示出来，避免漏写步骤。

•仔细检查答案，确保计算无误，符合题目要求。

5. 总结和反思•回顾整个解题过程，思考是否有更优的解题方法。

•总结解题的困难和难点，以及如何克服。

•反思自己在解题过程中的不足和需要改进的地方。

通过以上的技巧，你可以更好地解决初一下册动点问题。

记住，解题是一个需要思考和实践的过程，通过反复的练习和总结，你将能够提高解题的能力和水平。

学会灵活运用各种策略，并不断学习和思考，相信你一定可以成为优秀的数学解题者！希望以上内容对你有所帮助，祝你在解题过程中取得好成绩！6. 典型例题例题1：动点问题某车站有两列长途汽车A、B，每列车均按相同的速度行驶，相距300公里。

从车站出发，A在5小时后到达目的地，并返回车站。

而B在8小时后到达目的地，并返回车站。

求A、B两列车的速度。

解题思路： 1. 假设两列车的速度分别为v1和v2，并设从车站到目的地的时间为t。

2. 根据题目中的信息，我们可以列出以下的方程： - A的行程：2v1t = 300 - B的行程：2v2t = 300 3. 解方程可以得到v1 = 60 km/h，v2 = 37.5 km/h。

七年级下册数学动点问题解题技巧

七年级下册数学动点问题解题技巧

七年级下册数学动点问题解题技巧一、动点问题解题技巧概述。

1. 分析动点的运动轨迹。

- 明确动点是在直线（如数轴、坐标轴上的直线）上运动，还是在平面图形（如三角形、四边形的边或内部）中运动。

例如，在数轴上的动点，其位置可以用一个数来表示，而动点在平面直角坐标系中的坐标则需要用一对数(x,y)来表示。

2. 用含时间t（或其他变量）的代数式表示相关线段的长度。

- 若动点在数轴上，设动点的初始位置为a，速度为v，运动时间为t，则经过t时间后动点的位置为a + vt（当向右运动时v为正，向左运动时v为负），两点间的距离可以根据它们在数轴上的坐标相减的绝对值来表示。

- 在平面直角坐标系中，如果动点P(x,y)从点A(x_1,y_1)出发，沿x轴方向速度为v_x，沿y轴方向速度为v_y，运动时间为t，则x = x_1+v_xt，y=y_1 + v_yt。

对于线段长度，可以利用两点间距离公式d=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)，将坐标用含t 的式子代入来表示线段长度。

3. 根据题目中的等量关系列方程求解。

- 常见的等量关系有：线段相等、面积相等、三角形相似对应边成比例等。

例如，若两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质列出方程，然后求解方程得到关于t（或其他变量）的值。

二、题目及解析。

1. 已知数轴上A、B两点对应的数分别为 - 1和3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

- 若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数x。

- 解析：因为点P到点A、点B的距离相等，所以| x - (-1)|=| x - 3|，即| x + 1|=| x - 3|。

当x+1=x - 3时，方程无解；当x + 1=-(x - 3)时，x+1=-x + 3，2x=2，解得x = 1。

- 若点P在点A、点B之间，且PA+PB = 4，求点P对应的数x。

- 解析：因为点P在A、B之间，PA=| x+1|=x + 1，PB=| x - 3|=3 - x，由PA+PB = 4可得x + 1+3 - x=4，恒成立，所以-1中的任意数都满足条件。