动点问题专题训练
1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．
（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C
点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？
1.解：（1）①∵1t
=秒，
∴313BP CQ ==⨯=厘米，
∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．
又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =
， ∴B C ∠=∠，
∴BPD CQP △≌△． ··························· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，
又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4
33
BP t =
=秒， ∴515
443
Q
CQ v t =
==厘米/秒．
······················· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，
由题意，得
15
32104x x =+⨯， 解得80
3
x =秒．
∴点P 共运动了80
3803
⨯=厘米． ∵8022824=⨯+，
∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，
∴经过80
3
秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ·············· （12分）
2、直线3
64
y
x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，
动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点
P 沿路线O →B →A 运动．
（1）直接写出A B 、两点的坐标；
（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；
（3）当48
5
S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为
顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．
2.解（1）A （8，0）B （0，6） ····· 1分 （2）86OA OB ==Q ，
10AB ∴=
Q 点Q 由O 到A 的时间是8
81
=（秒） ∴点P 的速度是
610
28
+=（单位/秒） 1分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，
2S t = ···································· 1分
当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,
如图，作PD OA ⊥于点D ，由
PD AP BO AB =
，得4865
t
PD -=， ·········· 1分 21324
255
S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ························ 1分
（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ································ 1分
1238241224122455555
5I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ·················· 3分
5、在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、
Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与
t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成
为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．
写出t 的值．
5.解：（1）1，8
5
；
（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC
，4BC =， 得
45QF t =．∴4
5
QF t =． ∴14
(3)25
S t t =
-⋅， 即226
55
S t t =-+．
（3）能．
①当DE ∥QB 时，如图4．
∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°．
由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP
AC AB
=
， 即
335t t -=
． 解得9
8
t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得
AQ AP
AB AC
=
， 即353t t -=． 解得158
t =．
（4）52t =
或45
14
t =． ①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．
连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．
PC t =，222QC QG CG =+2234
[(5)][4(5)]55
t t =-+--．
图16
P
图
4
图5
