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复变函数第一章习题答案

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第一章 复数与复变函数
1.计算

2、求下列复数的实部与虚部，模与幅角
（1）iiiii2582516524321
实部Re=16/25，虚部Im=8/25
模2558258251622)()(r
幅角,...,,,arctanarctan2102122kkxyk
（2）)()(][)(knninkineei2323231
实部3ncosRe，虚部3nsinIm
模1r
幅角,...,,,21032knkn

（3）)()(/)(/][)(84184122841212421222211iikikieeeeii
实部82或824141coscosRe，虚部82或824141sinsinIm
模412r

(1).(2)(12)222;iiiiii

122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655iiiiiiiiiiii




5551
(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102iiiiiii



4222
(4).(1)[(1)](2)4;iii
幅角,...,,,210872或82kkk
（4）)()()(][)()(kikikieeeii2632333818121313

实部8181/cosRe，虚部081sinIm
模81r
幅角,...,,,2102kk
3.设211iz，iz32试用三角形式表示及21zz。
解：

4、若cos21zz，证明mzzmmcos21
证明：解cos21zz，得

)()sincos(sin)cos(cos)cos(coskiezzzzz2222222101012






解出：

iiezez

21,

把iiezez21,带入mmzz1得证。

12
zz
12
1
cossin;(cossin);44266zizi

12
1155
[cos()sin()](cossin);2464621212zzii

1
2
2[cos()sin()]2(cossin);46461212ziiz
6.试解方程)(0044aaz。
解:由题意,所以有;
;所以;
;;;.
7、提示：令iyxz带入证明
8、提示：令iyxziyxz,证明（1）-（4）；
9、提示：在复平面上用几何表示法
如图，令21zOBzOA,，由复变函数的几何表示可以知道：

2121
zzBAzzOC,

x
y

1
z
2
z

O
A

B
C


在三角形OAB中：cos||||||||||||21222122122zzzzzzBA
在三角形OAC中：cos||||||||||||21222122122zzzzzzOC



带入得证。

10、设三点适合条件及试证明

44
za


4
10zaa




4
cossiniziea




24(0,1,2,3)kizeka


41izae342izae543izae74
4

i
zae

123,,zzz1230zzz1231;zzz123
,,zzz
是一个内接于单位圆的正三角形的顶点。
证明：
所组成的三角形为正三角形。
为以为圆心，1为半径的圆上的三点。
即是内接于单位圆的正三角形。

.
11．下列关系表示的z点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？

解：此图形表示一条直线，它不是区域。
解：即此图形为的闭区域，不是
区域。

解：此图形为的区
域。

解：此图形表示区间辐角在的部分，是闭区域，不是区域。

z=1
123
0;zzz
123231;312

;;zzzzzzzzz

122331
;zzzzzz
123
,,zzz

123
1zzz
123
,,zzz

z

123
z,z,z

x
z1

z2
z3

1212
(1).()zzzzzz
(2).4;zz
2222
(4)xyxy
816;2;xx

x2

1(3).1;1zz

2222
11(1)(1);zzxyxy；

22;0;xxx

x>0

(4).0arg(1)2Re()3;4zz且
[2,3]
[0,]
4


解：表示半径为1的圆的外上半部分及边界，它不是区域。
解：它表示虚部大于小于等于的一个带形区间，不是区域。
解：此图形表示两圆的外部，是区域。

解：，，它表示两相切圆半径为的外部，
是区域。

解：此图形表示半径为2的圆的内部，且的部分，它是区域。
）
解：此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在的部分，它
是区域。

14、证明：（1）zz,0在上半空间趋向于负实轴时，z的幅角主值趋
向于；（2）zz,0在下半空间趋向于负实轴时，z的幅角主值趋向
于；（3）0z时幅角主值不存在。因此zarg在负实轴上不连续。

(5).1Im0;zz且
1z

12
(6).Im;yzy
1y2
y
(7).231;zz且

131(8).;2222ii
zz且

211()22y2x22
31()22xy1
2

(9).Im12;zz且
Im1z
(10).20arg;4zz且

4






0,

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复变函数第一章习题

复变函数第一章习题


(2)
y
|z 2i | 1
z
2i
x
x ( y 2) 1
2
2
1
11
(3)
Re(z 2 ) 1
y
直角坐标方程 x 2 y 2 1
(4)
Re( iz )Re[ i ( x iy )] Re( y ix ) y
y
Re( i z ) 3
x
原方程变为 y 3
z
y3
x
12
(7)
1 3 z
arg z
1 z 3
y
(9)

3
1 3
x

y

3
arg z

3 (10) arg( z i ) 4
i
x
x
13
1 17页17 (1)函数 w 把z平面上的曲线 x 2 y 2 6 z
映射成w平面上怎样的曲线？
解：
x y 6 可以写成 1 1 w z 6
1
（4） i 8 4i 21 i
i 4i 21 i 解： 1 4i i 1 3i
8
实部 1,
虚部 3, 共轭复数 1 3i
10 1 arctan( ) 2k 3
模 1 9 辐角
2
6.将下列复数化成三角表示式和指数表示 式 i 2 i cos i sin （1）.
2
2
| z | 6
y
中心在原点、 半径为
1 6
的圆
v
| z | 6
x
| w |
1 6
u
14
1 把z平面上的直线 y x 17页17 (2)函数 w z 映射成 怎样的曲线？ 1 i w z x ix 1 解 x (1 i ) 2x 1 1 u , , v 2x 2x uv 0 1 y w 把 y x 映射成 u v 0 z
复变函数习题答案,习题一

复变函数习题答案,习题一

习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)ii i--（3）131ii i--（4）8214i i i-+-解：（1）1323213i zi-==+，因此：32 Re, Im1313 z z==-，232arg arctan,31313z z z i==-=+（2）3(1)(2)1310i i izi i i-+===---，因此，31Re, Im1010z z=-=，131arg arctan,31010z z z iπ==-=--（3）133335122i i iz ii i--=-=-+=-，因此，35Re, Im32z z==-，535,arg arctan,232iz z z+==-=（4）82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此，Re1,Im3z z=-=，arg arctan3,13z z z iπ==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2）1-+（3）(sin cos)r iθθ+（4）(cos sin)r iθθ-（5）1cos sin (02)iθθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin22ii i eπππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )33)sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212ii πθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5=11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++1, 0221, 122, 2i k i k i k +=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6=11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++88, 0, 1i i e k e k ππ==⎪=⎩4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5．解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i += 由此25k iz i e iπ=-=-，(0,1,2,3,4)k=（2）z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++，当0,1,2,3k=时，对应的4),1),1),)i i i i+-+---6．证明下列各题：（1）设,z x iy=+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y=≤+；其次，因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥（2）对任意复数12,,z z有2221212122Re()z z z z z z+=++证明：验证即可，首先左端221212()()x x y y=+++，而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy=+++++-2222112212122()x y x y x x y y=+++++221212()()x x y y=+++，由此，左端=右端，即原式成立。

复变函数课后习题答案(全)

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习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)i i i --（3）131i i i--（4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---，因此，31Re , Im 1010z z =-=，（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）1-+（3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 3． 求下列各式的值： （1）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（56解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- （5=（6=4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，5． 解下列方程： （1）5()1z i +=（2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i +=由此25k iz i e iπ=-=-，(0,1,2,3,4)k=（2）z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++，当0,1,2,3k=时，对应的4(1),1),1),)i i i i+-+---6．证明下列各题：（1）设,z x iy=+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y=≤+；其次，因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥。

复变函数课后习题答案(全)

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习题一答案之巴公井开创作1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i -- （4）8214i i i -+- 解：（1）1323213i z i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310i i i z i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122i i i z i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-， （4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin 22ii i e πππ=+= （2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5=（6=4．设12 ,z z i ==-试用三角形式暗示12z z 与12z z 解：12cos sin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 5． 解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1）z i += 由此25k i z i e i π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）z ==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+则z x y ≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；其次，因 222,x y x y +≥ 固此有 2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。