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中考分式考点归类

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分式 【知识网络】 一、基本概念

1.形如BA(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中?A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.

2.整式和分式统称有理式, 即有理式 分式整式

二、分式的基本性质 1.分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示即是： MBMABAMBMABA, （ 其中M是不等于零的整式）。

注意：在分式中，分母的值不能是零。如果分母的值是零，则分式没有意义。 2.符号规则： 分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。用式子表示即是：

ba-b-aba-，babababa

三、运算法则 1.乘法法则：bdacdcba

2.除法法则：bcadcdbadcba 3.加减法则：同分母加减法则：（1）cbacbca 异分母加减法则：（2）bdbcadbdbcbdaddcba

4.乘方法则：nnnbaba（n为正整数，b0） 四.分式方程及其解法 1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫分式方程. 2. 分式方程的解法 （1）去分母法的步骤： ○1去分母法：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

○2解这个整式方程； ○3把整式方程的根代入最简公分母中检验，看结果是不是零，使最简公分母 不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去. 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母进行运算. (2)换元法 用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后再求出原来的未知数． 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则

分式方程 【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;

2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.

3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. 重要考点 考点一、分式的基本概念 考点二、当分式有(无)意义和值为0时,字母的取值范围 考点三、分式的基本性质 考点四、分式的化简与混合计算——分式的加减、分式的乘除 考点五、负指数与科学记数法 考点六、分式方程的概念及其解、分式方程中的增根型问题 考点七、列分式方程解应用题 考点一、分式的概念 例1．使分式2xx 有意义的x的取值范围为（ ）

A．2x B．2x C．2x C．2x 解析：根据分式的概念可知，当分式的分母不为0时，分式有意义．所以有2x－4≠0，得x≠2．选B． 考点二、分式的约分与通分 例2．计算：1xxx2． 解析：x1x)1x(x1xxx2 点评：本题主要考查分式的约分，应先把能分解因式的分子分解因式，再将分子与分母的公因式约去． 例3．已知两个分式4x4A2，x212x1B，其中x≠±2，则A与B的关系是（ ） A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.A大于B 解析：把B通分后再和A进行比较，4x4)2x)(2x()2x()2x(2x12x1B2，而4x4A2，所以A与B互为相反数．答案为C． 点评：其实，解决本题的关键还是分式的通分，但它又不完全等同于分式的一般通分题型，它需要我们先进行分析，然后再找出解决问题的方法．

考点三 分式的乘除 例4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x分别取3，225，37时，求代数式

1x2x21x1x2x22的值．小明一看：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体

解题过程．

解析：21)1x(21x)1x)(1x()1x(1x2x21x1x2x222，所以，不论x为任何不等于1或－1的实数，原式的值不变．故当x分别取3，225，37时，代数式的值都是21． 点评：本题意在说理，题型新颖活泼，化简时，除法运算应转化为乘法运算，运算过程中，能约分的一定要约分．

考点四 分式的加减

例5．化简：babbaa22. 解析：按同分母分式相加减的法则进行计算，分母不变，分子相加减． 原式=baba22baba)ba)(ba(． 点评：本题主要考查同分母分式相加减的法则． 考点五 分式的混合运算

例6．先化简1xx)1x11(2，再选择一个你喜欢的恰当的x的值代入并求值．

解析：原式1xx)1x)(1x(1xxx)1x)(1x()1x11x1x(．当x=2006时，原式=2006＋1=2007． 点评：字母x的值不是由题目给出的，而是自己选取，这大大增强了题目的灵活性．此题难度并不大，但要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式．在选取x的数值时，一定要保证原式有意义，即x要取不等于－1，0，1的其他数值． 考点六、解分式方程

例7．解方程：x312212x61．

解析：首先将“分式方程整式化”．直接求解可得32x． 点评：解简单的分式方程并不难，关键是不要忘了检验，因为解分式方程有时会产生增根． 考点七、说理型问题

例8．（1）已知1x11xxx1x1x2xy222，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值始终不变． 解析：先把原式化简，得y=1，说明y的值与x的取值无关．所以只要保证右边代数式有意义，不论x为何值，y的值始终不变．

考点八、改错题

例9．对于试题：“先化简，再求值：x111x3x2，其中x=2．”某同学写出了如下解答：

解：1x1)1x)(1x(3xx111x3x2 当x=2时，原式=2×2－2=2． 上述解答正确吗？如不正确，请你写出正确解答．

解析：本题明显的错误是在化简过程中将分母去掉了，改变了原式的值．化简的结果应是1x2，当x=2时，原式32． 点评：解分式题首先应化简，化简过程中一定要细心、谨慎． 考点九、探究题 例10．观察下列等式：

211211；3121321；4131431；…；1n1n1)1n(n1

将以上等式相加得到1n11)1n(n1431321211

．

用上述方法计算101991751531311

，其结果是（ ）

A.10150 B.10149 C.101100 D.10199 解析：由上述方法可知：)311(21311；)5131(21531；)7151(21751； …；)1011991(21101991．所以10150)10111(21101991751531311．答案为A．

点评：探究型试题以其综合性强，富有思考价值，注重考查探索精神和创新意识等特征逐渐成为中考热点．因此同学们要重视此种题型的训练． 考点十 列分式方程解应用题 例11．南水北调东线工程已经开工，某施工单位准备对运河一段长2240m的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现计划每天加固的长度比原计划增加了20m，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固河堤xm，则得方程为 ． 解析：解出本题关键是找出等量关系:原计划的时间－现在的时间的时间=2小时. 224020x－2240x＝2.

例12．在我市公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问： （1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？

（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用 解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，

由题意得方程组：24241,1818101xyxyx， 解之得：x=40，y=60． （2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成． 由（1）知，

乙工程队30天完成工程的301602，

∴甲工程队需施工12÷140=20（天）．最低施工费用为0．6×20＋0．35×30=2．25（万元）． 答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天； （2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是2．25 万元． 评析：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下，易激活学生的数学思维． 三、易错点剖析 1．符号错误

例1．不改变分式的值，使分式baba的分子、分母第一项的符号为正．

错解：babababa 诊断：此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号．

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2023年中考数学《分式》专题知识回顾与练习题(含答案解析)

2023年中考数学《分式》专题知识回顾与练习题(含答案解析)

知识回顾微专题知识回顾微专题2023年中考数学《分式》专题知识回顾与练习题（含答案解析）考点一：分式之分式的概念1. 分式的概念：形如BA，B A 、都是整式的式子叫做分式。

简单来说，分母中含有字母的式子叫做分式。

1．（2022•怀化）代数式52x ，π1，422+x ，x 2﹣32，x 1，21++x x 中，属于分式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】根据分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：，，，整式有：x ，，x 2﹣，分式有3个， 故选：B ．考点二：分式之有意义的条件，分式值为0的条件1. 分式有意义的条件：分式的分母为能为0。

即BA中，0≠B 。

2. 分式值为0的条件：分式的分子为0，分母不为0。

即BA中，0=A ，0≠B 。

2．（2022•凉山州）分式x+31有意义的条件是（ ） A ．x ＝﹣3B ．x ≠﹣3C ．x ≠3D ．x ≠0【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，可得3+x ≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 3+x ≠0， ∴x ≠﹣3， 故选：B ． 3．（2022•南通）分式22−x 有意义，则x 应满足的条件是 ． 【分析】利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式求解即可． 【解答】解：∵分母不等于0，分式有意义， ∴x ﹣2≠0， 解得：x ≠2， 故答案为：x ≠2． 4．（2022•湖北）若分式12−x 有意义，则x 的取值范围是 ． 【分析】根据分式有意义的条件可知x ﹣1≠0，再解不等式即可． 【解答】解：由题意得：x ﹣1≠0， 解得：x ≠1， 故答案为：x ≠1．5．（2022•广西）当x ＝ 时，分式22+x x的值为零． 【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x ＝0且x +2≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得： 2x ＝0且x +2≠0， ∴x ＝0且x ≠﹣2， ∴当x ＝0时，分式的值为零，故答案为：0．知识回顾6．（2022•湖州）当a ＝1时，分式aa 1+的值是 ． 【分析】把a ＝1代入分式计算即可求出值． 【解答】解：当a ＝1时， 原式＝＝2．故答案为：2．考点三：分式之分式的运算：1. 分式的性质：分式的分子与分母同时乘上（或除以）同一个不为0的式子，分式的值不变。

中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)

中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)

分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。

中考知识点分式

中考知识点分式

中考知识点 分式1、分式的定义一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式。

注：A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。

2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

C B C A B A ⋅⋅=；A A C B B C÷=÷。

3、分式的约分和通分定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。

4、分式的乘除①乘法法则：d b c a d c b a ⋅⋅=⋅。

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

②除法法则：cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

③分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

分式乘方要把分子、分母分别乘方。

④整数负指数幂：1n na a -=。

5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

①同分母分式的加减：a b a b c c c±±=； ②异分母分式的加法：a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±=。

注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。

1、了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；2、能进行简单的分式加、减、乘、除运算；1、分式的概念、意义，如求分式中字母的取值范围、分式为0的条件及相应的综合运用。

2、运用分式的基本性质进行约分、通分。

3、运用分式的加、减、乘、除法则进行分式的化简、代入求值。

【2014中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威课件(考点聚焦+归类探究+回归教材)：第3课时 分式

【2014中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威课件(考点聚焦+归类探究+回归教材)：第3课时 分式


∴x－1≠0，∴x≠1. (2)分式值为0的条件为x－3＝0，x＋4≠0，解得x＝3.
考点聚焦
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第3课时┃分式
方法点析 (1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为零时分 式无意义． (2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分
约分 把分式的分子与分母中的公因式约去，叫做分式的约 分 利用分式的基本性质，使________ 分子 和________ 分母 同时 通分 乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母化成同分 母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分
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合运
算
考点聚焦
第3课时┃分式
归 类 探 究
探究一 分式的有关概念 命题角度： 1. 分式的概念；
2. 使分式有(无)意义、值为0(正或负)的条件．
例1
围是( A )
5 (1)[2013· 成都]要使分式 有意义，则x的取值范 x－1
第3课时┃分式
解
x 2y 1 1 xy (1) x＋y＋x＋y · ÷ ＋ x＋2y x y x＋2y x＋y xy xy xy ＝ · ÷ ＝ · x＋y x＋2y xy x＋y x＋y x2y2 ＝ 2. （x＋y）
2 2 2 2 b － a 1 1 1 1 a ＋ b (2)a＋b ÷a2－b2＝ ab ÷ a2b2
2. 利用分式的基本性质进行约分和通分．
例2 [2012· 义乌]下列计算错误的是( A )
0.2a＋b 2a＋b A. ＝ 0.7a－b 7a－b a－b C. ＝－1 b－a