2019学年高中数学第二章解析几何初步2.2.1圆的标准方程训练案北师大版必修2
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2.2.1 圆的标准方程
,
[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3的周长平分，则a等于( )
A．13 B．7
C．－13 D．以上答案都不对
解析：选B.当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a，－5)代入直线方
程x＋2y＋3＝0，得a＋2×(－5)＋3＝0.解得a＝7.
2．已知某圆的一条直径的端点分别是A(4，0)，B(0，－6)，则该圆的标准方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
解析：选D.由中点坐标公式得圆心(2，－3)，
r＝12|AB
|＝12 （4－0）2＋（0＋6）2＝13，
故圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
3．点(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是( )
A．0
解析：选B.由于点在圆的内部，所以(5a＋1－1)2＋(a)2<26，即26a<26，又a≥0，
解得0≤a<1.
4．以圆(x－2)2＋(y－1)2＝3的圆心关于x轴对称的点为圆心，半径与该圆相等的圆的
方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝3
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝3
D．(x－2)2＋y2＝3
解析：选B.由题意知(x－2)2＋(y－1)2＝3的圆心坐标为(2，1)，关于x轴对称的点为
(2，－1)，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝3.
5．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离为( )
A．6 B．4
C．5 D．1
解析：选C.圆的半径r＝1，圆心(0，0)到直线3x＋4y－25＝0的距离d＝
|3×0＋4×0－25|
32＋4
2
＝5，故所求的距离为5.
6．已知点P(4a＋1，2a)在圆(x＋1)2＋y2＝1上，则a＝________．
解析：由已知得(4a＋2)2＋(2a)2＝1，即20a2＋16a＋3＝0，
解得a＝－12或a＝－310.
答案：－12或－310
7．若圆心在x轴上，半径为5的圆C位于y轴左侧，且圆心到直线x＋2y＝0的距离
等于半径，则圆C的方程是________．
解析：设圆心坐标为C(a，0)(a<0)，
2
则|a|12＋22＝5，
所以|a|＝5.又因为a<0，
所以a＝－5，
故圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
答案：(x＋5)2＋y2＝5
8．在y轴上的截距为2和8，且半径为5的圆C的方程是________．
解析：由题意知圆过点A(0，2)，B(0，8)，所以圆心C在弦AB的垂直平分线y＝5上，
设圆心坐标为C(a，5)，所以a2＋（5－2）2＝5，所以a＝±4.所以所求圆的标准方程为
(x±4)2＋(y－5)2＝25.
答案：(x＋4)2＋(y－5)2＝25或(x－4)2＋(y－5)2＝25
9．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的范围．
解：(1)因为点M(6，9)在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
即a2＝10.
又a>0，所以a＝10.
(2)因为|PN|＝（3－5）2＋（3－6）2＝13.
|QN|＝（5－5）2＋（3－6）2＝3，
所以|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，
所以3
(1)求圆C的方程；
(2)求圆心到直线x＋2y＋4＝0的距离．
解：(1)AB的中点坐标为(1，0)，
所以圆心在直线x＝1上，
又知圆心在直线x－y＝0上，
所以圆心坐标是(1，1)，圆的半径是r＝5，
所以圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝5.
(2)圆心到直线x＋2y＋4＝0的距离d＝|1＋2＋4|5＝755.
[B.能力提升]
1．过点A(1，2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25
B．(x－1)2＋(y－3)2＝2
C．(x－5)2＋(y－5)2＝25
D．(x－1)2＋(y－1)2＝1
解析：选A.由题意可设圆心为(a，a)，则半径r＝a，圆方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
又点A(1，2)在圆上，所以(1－a)2＋(2－a)2＝a2，解得a＝1或a＝5，所以所求圆的方程为
(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25，所以选A.
2．若点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
解析：选A.设圆心为M，则M(1，0)，
由题意知kPM＝0－（－1）1－2＝－1，
从而AB的斜率为1，
于是AB的方程为y－(－1)＝x－2，
3
整理得x－y－3＝0.
3．如图所示，定圆的半径为a，圆心为(b，c)，则直线ax＋by＋c＝0与直线x－y＋1
＝0的交点在第________象限．
解析：由题图知，a>0，b<0，c>0，且c
－b＋ca＋b，
a－c
b＋a
.
因为b＋ca＋b>0，a－cb＋a<0，
所以交点在第三象限．
答案：三
4．在圆x2＋y2＝25上有一点P(4，3)．点E，F是y轴上两点，且满足|PE|＝|PF|，连
接PE，PF，并延长分别与圆交于C，D，则直线CD的斜率是________．
解析：过P点作x轴的平行线，交圆于点G，连接OG，则G点坐标为(－4，3)，PG⊥EF.
因为△PEF是以P为顶点的等腰三角形，所以PG是∠DPC的平分线，所以G是圆弧CD的中
点，所以OG⊥CD.设CD与y轴交于点A，PG与CD交于点M，PG与y轴交于点N，所以∠
DAO
＋∠GOA＝90°，又∠AMP＋∠DAO＝90°，所以 ∠CMP＝∠GOA.所以直线CD的斜率等于tan
∠CMP＝tan ∠GOA.Rt△GON中tan ∠GOA＝GNON＝43.
答案：43
5．已知平面直角坐标系中有四个点A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)，D(－1，2)判断这四
个点能否在同一个圆上，为什么？
解：设经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．代入三点的坐
标得a2＋（b－1）2＝r2，（a－2）2＋（b－1）2＝r2，（a－3）2＋（b－4）2＝r2，解方程组，得a＝1b＝3，r2＝5.所以经过A，B，C三点的圆的标准
方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.将点D的坐标代入圆的标准方程，左边＝右边，所以点D在圆
上，故A，B，C，D四点能在同一个圆上．
6．(选做题)已知点A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，
求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
解：设P(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(
x
2
＋y2)－4y＋68＝80－4y.
因为－2≤y≤2，所以72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.
