数学物理方程的导出

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举例 1. 2.
u sin(xy)u 0 x 2u a2 2u ex cost t2 x2
线性PDE 线性PDE
3. ut ux sin u 4. (ut )2 (ux )2 u2
非线性PDE 非线性PDE
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PDE维数： 是指方程中出现的空间坐标的个数。
1. u sin(xy)u 0 x
作用在物体上的力=该物体的质量×该物体的加速度
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取弦的平衡位置为ox 轴，运动平面为 x-O-u.
u
Q
在时刻 t ，弦线在 x
P
点的位移为 u(x, t)
o
l
x
F(x,t)
T
Q '
u
P
把上图中PQ的放大
o
T x x x
x
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• 设弦上坐标为 x 的点在时刻 t 沿垂直于 x 轴 方向的位移用函数 u (x, t) 来表示。 下面利用微元法建立方程：
• 处理一般线性问题的基本原理
➢叠加原理 ➢齐次化原理
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数理方程的基本概念
偏微分方程（PDE）的基本概念
x (x1, x2 ,L , xn )
自变量
u(x) u(x1, x2,L , xn )
偏微分方程的一般形式
未知函数
u u
mu
F ( x1,L
, xn , u, x1 ,L
, xn
,L
, x1m1x2m2 L
a2
2u x2
2u y 2
2u z 2
f
(x,
y, z,t),
即 u a2u f (x, y, z,t) ，其中 f F .
t
c
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如果我们考虑的是稳恒的温度场，即 u 与时间 t 无关 ， 温度分布达到某种动态平衡状态， 则有

ρ
， f ( x, t ) =
f 0 ( x, t )
ρ
.
注意：由前面的推导，边界张力的垂直分量为：
∂u ( x, t ) Ta ⋅ i u = −T0 , ∂x x = a
u
∂u ( x, t ) Tb ⋅ i u = T0 . ∂x x =b
f0
Tax
A
Ta
Tay
αa
B
Tby
αb
Tbx
Tb
a
b
想的曲线。
∂u ( x, t ) < < 1 ,故 其 高 阶 项 可 近 似 看 着 为 0 。 微小的振动 ─ ∂x
外力── 线密度可设为 f0 ( N / m)；方向：f0 > 0向上，f0＜0向下。 拉紧——弦的张力随时间的变化可忽略不计。
4.受力分析及各物理量计算公式
①．受力分析： 如图：小段弦受外力、张力共同作用
问题的数学提法：
设 刻 ， 对 应 于 x点 处 的 位 移 为 u ( x , t ) ， 求 函 数 t 时 u = u ( x, t )
1
0.5 u 0.5 0
u 1
2
x 1 2 3 4 5 6
-0.5 -0.5 -1 -1 0
1.5 1
t
2 0.5 x 4 6 0
3．分析、假设
①．波动原因： 对 速度变化，当把小段弦视作质点时，这小段弦服从Newton 第二定律：F＝ma（外力的合力＝质量＊加速度）。 ②．术语及假设： 柔软── 抗拉伸，不抗弯曲，从而拉力与弦线相切。 均匀── 弦的线密度为常数，可设为ρ kg/m。 细弦── 弦的直径与长度之比远远小于1，弦可视为理
例
∂u ∂2u − 2 = u +1 ∂t ∂x

n
k
u n
k1 u
u1 uΒιβλιοθήκη k k1u nu1
一般形式：u
u n (x,y,z)
g(x, y, z,t)
或
u
u n
g
泛定方程：u t
a2
2u x2
2u y2
2u z2
f
柯 西
初始条件 u
a2u f
问 题
t0
初 边
u g
值边
热管道 1D : ut a2uxx f
t1
则有热源的热传导方程为 ut a2u f a2u F / c .
2. 扩散方程的导出
扩散物从浓度高流向浓度低
* Nerst扩散定律
在该点的扩散系数
扩散物在无穷小时段dt内沿法线方向流过一个无穷
小面积dＳ的质量dm与扩散物浓度沿曲面dＳ法线
方向的方向导数N 成正比，即
n
t1,t2
由能量守恒：Q流入 Q吸收
t2 k(x, y, z) udSdt
t1
n
N-L公式及交换下积分次
c(x, y, z)(x, y, z)[u(x, y, z,t2) u(x, y序, z,t1)]dxdydz
t2 t1
ctudxdydzdt
利用高维N-L积分公式，
左端 t2 k(x, y, z) udSdt
dm D(x, y, z) N dSdt
n
因此类似热方程推导：
t2 D(x, y, z) NdSdt
t1
n
(N(x, y, z,t2) N(x, y, z,t1))dxdydz
tN(x, y, z,t) x DxN x DyN x DzN

第七章 数学物理方程及其定解问题
1.数学物理方程的导出 2.定解条件 3.数学物理方程的分类 4.达朗贝尔公式 定解问题
1
3.数学物理方程的分类
1.基本概念
a. 二阶偏微分方程:
若 u u(x1,L , xn ) ,如果方程可以表为:
nn
n
a uij xix j biuxi cu f 0
j 1 i1
i 1
,即方程中偏导数的阶数是2次的,则称为二阶偏微分方程
b. 二阶线性偏微分方程:
若其中的系数只是自变量的函数，即 aij , bi , c, f只是 x1,L , xn的函数，则称为是线性的方程
2
c. 齐次二阶线性偏微分方程:
若 f 0 则称方程是齐次的
2.叠加原理 当泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作 几个部分的解的线性叠加.
ut (x, 0) (x), (0 x )
u(0,t) 0
分析: 端点固定。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义， 考虑端点固定，作奇延拓
(x)(x 0)
(x)(x 0)
(x)


(x)(x

, 0)
(x)


(x)(x

0)
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由达朗贝尔公式得到解，其中x≥0的部分即所讨论问题的解。
3
7.4 达朗贝尔公式 定解问题
1.无限长的自由振动 2.端点的反射
满足达朗贝尔公式
半无限长弦的自由振动
延拓,利用达朗贝尔公式
半无限长杆的自由振动
3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的数 学物理方程)
4.定解问题的适定性
4
一. 无界弦的自由振动