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一、 斯通－刘维尔型1、将方程0)1('2''=---y xy y λ转化为斯通－刘维尔型。
解：原方程两端同时乘以2x e -，可得：222''2'(1)0x x x e y xe y e y λ------=则：22[](1)0xxd dy eey dxdxλ----=为其斯通－刘维尔型。
2、（8分）将方程22(1)'''()0x y xy x y λη----=转化为斯通-刘维尔型，其中η为常数。
原方程两边同乘211x-后，得：222'''011x x y y y xxλη---=--，即为：2222'''0111x xy y y y xxxηλ-+-=---方程两边同乘以21xdxx e --⎰，就化成了斯通-刘维尔型方程222211122[][][]011xx x dx dxdxx xxd dyxee y ey dx dx x xηλ------⎰⎰⎰+-=--即为：3322222(1)(1)0d x y x x y dx ηλ--+---=二、级数解的形式1、给出0')1(''=+-++y y x s xy λ在x ＝0处级数解的形式。
答：x ＝0为原方程的正则奇点，在x ＝0处级数解的形式为：k ckk y ax∞+==∑2、给出方程22'''(1)0xy y x x y λ++-=在0x =处级数解的形式。
解：方程对应的标准形式为：22'''(1)0y y x y xλ++-=1x在0x =处不解析，0x =为其一级极点；22(1)x λ-在0x =处解析，可知：0x =为原方程的正则奇点。
则：在0x =处级数解的形式为0cnnn y xax ∞==∑，或写成0c nnn y ax ∞+==∑或写成两个线性独立解：110c nnn y ax∞+==∑，220c nnn y bx∞+==∑。
数学物理方程考试试题及解答(1)数学物理方程考试试题及解答考试题目：求解一阶常微分方程y'+3y=x+e^(-2x)解答：1. 首先我们需要将原方程变形，得到y'和y的系数都为1的形式： y'+3y=x+e^(-2x)y'+3y-1*x= e^(-2x)即：y'+3y-(1*x)= e^(-2x)2. 根据一阶常微分方程的标准形式 y'+p(x)y=q(x) ，我们可以将上述方程的左侧写成d/dx(y*e^(3x))的形式。
具体步骤如下：(y'+3y)e^(3x) - x*e^(3x) = e^(3x)*e^(-2x)即：d/dx(y*e^(3x)) - x*e^(3x) = e^xd/dx(y*e^(3x)) = e^(3x)+x*e^(3x)+e^x3. 将方程两侧的d/dx和e^(3x)去掉，得到最终的含y的方程：y*e^(3x) = ∫(e^(3x)+x*e^(3x)+e^x)dx + C= (1/3)*e^(3x) + (1/2)*x*e^(3x) + e^x + C即：y = (1/3) + (1/2)*x + e^(-3x)*(e^(2x)*C+1)4. 因为是一阶线性齐次方程，存在唯一的初始条件y0，可以将解方程带入初始条件得到C的值。
考试题目：提出热传导方程的边界条件∂u/∂t = a(∂²u/∂x²)解答：热传导方程描述的是一个物质内部温度分布随时间变化的情况，它可以用数学模型来表示:∂u/∂t = a(∂²u/∂x²)其中，u(x,t)是时间t和空间x处的温度，a是热传导系数，代表了物质的传热速率。
热传导方程的边界条件通常有如下几种：1. 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：即在给定的边界上已知温度u，通常写成形式u(x,t)|_∂Ω = f(x,t) 。
在第一类边界上，温度保持不变，而且是已知的，所以我们直接用Dirichlet边界条件就可以描述。
例1下列各方程是线性的, 还是非线性的? 如果是线性的, 指出是齐次的,还是非齐次的, 并确定它的阶数. (1) 22sin sin 0xx xy yy u xu xu ++=， (2) 12=+y x u u u (3) 320xxxx xxyy yyyy u u u ++=(4)0ln =++u u u xyy xxx ， (5) 5352sin xxx xy yy y u u xu u u x -+++=解：(1) 原方程为二阶齐次线性方程(2) 由于2,x y u uu 都为非线性项，因此原方程为一阶非线性方程(3) 原方程为四阶齐次线性方程(4) 由于ln u 为非线性项，因此原方程为三阶非线性方程 (5) 原方程为三阶非齐次线性方程（非齐次项2sin x ） 例2 验证函数 (3)u f x y =+ 是方程: 30x y u u -=的解, 其中f 为任意连续可微函数.证：左(3)3(3)f x y f x y x y ∂∂=+-+∂∂()(3)3()(3)f x y f x y x y ξξ∂∂''=+-+∂∂ 3()3()0f f ξξ''=-==右 (3)x y ξ=+例3 验证函数 22ln()u x y =+是方程: 0xx yy u u +=的一个解证： 222222,x y x y u u x y x y ==++，2222222222222(02)24,()()xx yy x x y u u x y x y x y x y -=+=-++++ 左22222222222224240()()x y x y x y x y x y =-+-==++++右 例4 （1） 长为l 的弦, 两端点固定, 且在初始时刻0=t 处于水平状态, 初始速度为23sinxlπ, 作微小横振动, 试写出此定解问题.（2） 设有一长度为l 的杆, 它的表面是绝热的, 在0=x 的一端温度为5C ,另一端l x=处外界媒介的温度为5C ,且初始温度分布为)(x ϕ, 试写出此定解问题.解：(1) 定解问题为 0(0,)(,)02(,0)0,3s i n t t x x t u u u t u l t u x u x t lπ==⎧⎪==⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩(2) 定解问题为 (0,)5,[(,)]5(,0)()t x x x lu u u u t u x t x u x x κϕ==⎧⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪=⎩例5 将下列二阶线性偏微分方程化为标准型（1）22222320u u u x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂，解：（1）特征方程2320y y ''-+=，特征线12,2x y C x y C -=-=，作变量代换2x yx yξη=-⎧⎨=-⎩2,x y u u u u u u ξηξη=+=-- ， 22444xx u u u u u u u u ξξξηηξηηξξξηηη=+++=++ 32xy u u u u ξξξηηη=---，2yy u u u u ξξξηηη=++代入原方程，化为0u ξη-=， 所以原方程的标准型为 0u ξη=（2） 22222u u a t x∂∂=∂∂ 解 ：特征方程22()dx a dt =，特征线12,x at C x at C +=-=， 作变量代换x at x atξη=+⎧⎨=-⎩， 原方程化为 2222a u a u ξηξη-=，所以原方程的标准型为 0u ξη=（3）22222320u u u u u x x y y x y∂∂∂∂∂++++=∂∂∂∂∂∂解：特征方程2320y y ''-+=，特征线12,2x y C x y C -=-=，作变量代换2x y x y ξη=-⎧⎨=-⎩原方程化为0u u ξηη-+=， 所以原方程的标准型为 0u u ξηη-=例6.证明直角坐标系下的拉普拉斯方程: 22220u ux y∂∂+=∂∂在极坐标系下为01122222=∂∂+∂∂+∂∂θu r r u r ru证：cos ,sin tan r x r y y r x θθθ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩=⎪⎩2()x r x y u u u r r θ=+- ， 2y r y xu u u r rθ=+222234412[]xx rr r x x x xyu u u u u r r r r r θθθ=+-++222234412[]yy rr r y y y xyu u u u u r r r r rθθθ=+-+-2222222342[]xx yy rr r x y x y x y u u u u u r r r rθθ++++=+-+222()r x y =+2221111[]rr r rr r u u u u u u r r r r rθθθθ=+-+==++，所以拉普拉斯方程:22220u ux y ∂∂+=∂∂在极坐标系下为 01122222=∂∂+∂∂+∂∂θu r r u r r u。
数学物理方程试卷一、选择题1.在一个匀速运动中，物体的速度v与物体的位移s的关系是：A.v=s/tB.v=s/t^2C.v=s*tD.v=s*t^22.以下哪个物理量属于标量？A.速度B.力C.加速度D.距离3.物体质量为m，重力加速度为g，物体所受重力的大小为：A. mgB. mg/2C. 2mgD. mg^24.物体自由落体下落t秒后的位移s与时间t的关系为：A. s=gtB. s=gt^2C. s=gt^3D. s=1/gt5.以下哪个物理量属于矢量？A.面积B.速度C.力D.质量二、填空题1.一辆车以10m/s的速度匀速行驶了20秒，那么它的位移是_____________米。
2.物体在一个小时内匀速运动40千米，速度为_____________米每秒。
3.物体在水平地面上受到10牛的推力，质量为2千克，加速度为_____________。
4.一个物体从100米高的地方自由落体，下落10秒后的速度是_____________米每秒。
5.物体质量为5千克，重力加速度为10米每秒的平方，所受重力的大小是_____________牛。
三、解答题1.用物理公式解释为什么月亮绕地球运动？答：根据万有引力定律，任意两个物体之间都存在引力。
月球的质量相对较小，在地球的引力作用下，它会受到向地心的引力，从而绕着地球进行运动。
2.一个物体以10m/s的速度沿水平方向运动，另一个物体以5m/s的速度沿同一方向追赶第一个物体，如果第二个物体和第一个物体质量相同，两个物体发生碰撞后，它们的速度是多少？答：根据动量守恒定律，两个物体的总动量在碰撞前后保持不变。
因此，第一个物体的动量为10 kg·m/s，第二个物体的动量为5 kg·m/s。
由于两个物体质量相同，碰撞后它们的速度将相等。
设碰撞后的速度为v，则第一个物体的动量为10v kg·m/s，第二个物体的动量为5v kg·m/s。
一、填空题1、物理规律反映同一类物理现象的共同规律，称为___________。
2、在给定条件下求解数学物理方程，叫作____________________。
3、方程20tt xx u a u -=称为_________方程4、方程20t xx u a u -=称为_________方程5、静电场的电场强度E是无旋的，可用数学表示为_____________。
6、方程0j Ñ×=称为_____________的连续性方程。
7、第二类边界条件，就是______________________________________。
8、第一类边界条件，就是______________________________________。
9、00(0,)(0,)x x u x t u x t -=+称为所研究物理量u 的_____________。
10、00(0,)(0,)u x t u x t -=+称为所研究物理量u 的_____________。
11、对于两个自变量的偏微分方程，可分为双曲型、________和椭圆型。
12、对于两个自变量的偏微分方程，可分为双曲型、抛物线型和________。
13、分离变数过程中所引入的常数l 不能为_____________。
14、方程中，特定的数值l 叫作本征值，相应的解叫作_____________。
15、分离变数法的关键是________________________代入微分方程。
16、非齐次振动方程可采用______________和冲量定理法求解。
17、处理非齐次边界条件时，处理非齐次边界条件时，可利用叠加原理，可利用叠加原理，可利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化另一把非齐次边界条件问题转化另一_________的齐次边界条件问题。
18、处理非齐次边界条件时，处理非齐次边界条件时，可利用叠加原理，可利用叠加原理，可利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化另一把非齐次边界条件问题转化另一_________的齐次边界条件问题。
()()22221211*********cos 3sin 0cos 3sin 40.2cos 2cos 2sin x x y a a a x x xx y x −−+−=∆=−=−++=>⎧⎪==−⎪⎨⎪==−−⎪⎩=−xx xy yy y ，指出下列方程的类型并化为标准形式。
1） u u u u 解：方程的判别式所以方程为双曲型。
dy dx该方程的一组特征微分方程为dy dx 积分得到特征曲线为1112222211122222111222sin 2sin 2sin 2sin 2sin 082x c c y x xy x x c c y x xy x xy x x U U UB a a a x x x y y x y y a a x x y ξηξηξηξηξηξηξηξξ+=−+⎧⎧⇒⎨⎨=−−+=++⎩⎩−+⎧⎨=++⎩∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=−⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂=+∂∂∂1211121=于是令此时原方程可以转化为2A A 其中，A A ()()2221222211122212222sin 2sin 00a b y xy y B a a a b y xx x y y yU U Uu u u ξξηηηηξηξηξηξηξηξηξη∂∂++=−−∂∂∂∂∂∂=+++=−−∂∂∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠1所以16y+sinx y+sinx +由于y+sinx=，所以上式可以变为关于，得标准方程2+32()22222121122121122211122200.,().02xy y a a a xy x y a y a xyy cx c x x u u uB a a x x y ξηηξηηηη++=∆=−=−=====∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂⎛⎞=++⎜⎟∂∂∂⎝⎠2xx xy yy 221122） x u u u 解：方程的判别式所以方程为抛物型。
数学物理方程试题（一）一、填空题（每小题5分, 共20分）1.长为 的两端固定的弦的自由振动, 如果初始位移为 , 初始速度为x 2cos 。
则其定解条件是2.方程.的通解................3.已知边值问题 , 则其固有函数 =4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为 二.单项选择题（每小题5分, 共15分）1. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 2.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 3.理想传输线上电压问题( 其中CL a 12=)的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω1. 三.解下列问题2. ( 本题8分) 求问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂+∂∂x ex u yu x u 38)0,(03的解3. ( 本题8分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==∂∂∂222),0(,cos 1)0,(6y y u x x u y x y x u...本题8分.求问. 的解1. 四.用适当的方法解下列问题2. ( 本题8分) 解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=∂∂=∂∂2222321)0,(x x x u x u a t u 2.( 本题8分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t uxz y u z u y u x u a t u t t 五. ( 本题10分)解混合问题:六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 一.单项选择题（每小题4分, 共20分）1.（D..2.（B..3.（D..4.（D ）二.填空题（每空4分, 共24分）1....2...3.. ，4.)(x X n =cos ,(0,1,2,3,)2n n x B n π= 5.通解为223(,)()()2u x t x y f x g y =++ 三.解下列问..本题7分.1. 求问题 的解解: 设 （2分）代入方程,330,1m m +==- （6分）所以解为 3(,)8x y u x t e -= （7分）2． ( 本题7分) 求问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂=20222223,2sin )0,(x t ux x u x u a t u t 的解 解: 由达朗贝尔公式, 得211(,)[sin 2()sin 2()]322x at x at u x t x at x at d aξξ+-=++-+⎰（3分） 223cos 2sin 23at x x t a t =++ （7分）四.用适当的方法解下列问题1. .本题7分.解问.解: 设代入方程,令 2066A A a x''=⎧⎨=+⎩ 显然成立 解为 22(,)12366u x t x x a t xt =-+++2.( 本题7分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t u yz y x u z u y u x u a t u t t 解: 设 （2分）代入方程22326[(212)(12)]A Bt a y At t Bt +=++∆++∆ （4分）令 , 显然成立, 解为322222632),(t a t y t a yz y x t x u +++++=五. ( 本题7分)解混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂=∂∂x x u t u t u x u a t u πsin 2)0,(0),1(),0(222 解1(,){(,)}u x t L U x s -=222sin a t e x ππ-= 六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 解: 设 代入方程及边界200(0)()0T a T X X X X λλπ''⎧+=⎪''+=⎨⎪==⎩22(),sin n n n n X nx πλπ=== (cos sin )sin n n n u C ant D ant nx =+1(,)(cos sin )sin n n n u x t C ant D ant nx ∞==+∑其中 3028[1(1)]()sin n n C x x nxdx n ππππ--=-=⎰ 00(2)23sin 2sin 3(2)n n D x nxdx n aππ≠⎧⎪==⎨=⎪⎩⎰ 所以解为3138[1(1)](,)sin 2sin 2cos sin n n u x t at x ant nx a n π∞=--=+∑2009-2010学年第一学期数学物理方程试题一、 填空题（每小题4分, 共24分）1.方程.的特征线..........2.长为 的弦做微小的横振动, 、 两端固定, 且在初始时刻处于水平状态, 初始速度为 .则其定解条件.................3.方程 的通解.........4.已知边值问. .. 则其固有函数)(x X n =5.方程 的通解............6...........二. 单项选择题（每小题4分, 共20分）1.微分方程.是..）（A ）三阶线性偏微分方程 （B ）三阶非线性偏微分方程（C ）三阶线性齐次常微分方.....（D ）三阶非线性常微分方程2. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 3.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 4.理想传输线上电压问题（A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω5.单位半径的圆板的热传导混合问题⎪⎩⎪⎨⎧=<=<∂∂+∂∂=∂∂)()0,(,),(,0),1()1()1(222ρρρρρρρf u M t u t u u u a t u 有形如（ ）的级数解。
