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高职5.3.1等比数列的概念

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1 【课题】 5.3.1 等比数列的概念 【教学目标】 知识目标：

（1）理解等比数列的定义； （2）理解等比数列通项公式． 能力目标： 通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力． 【教学重点】 等比数列的通项公式． 【教学难点】 等比数列通项公式的推导． 【教学设计】 本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导． 等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的

重视.同时要强调“等比”的特点:qaann1(常数). 例1是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：1a，q,n, na, 只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意:例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法. 【教学用具】

教学课件．学案.彩色粉笔 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 2

教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间 *揭示课题 5．3．1 等比数列的概念．

*创设情境 兴趣导入 【观察】 庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把一尺之棰作为数列的第一项，每日剩下的依次作为数列中的项，会是一个什么数列呢？ 不难发现，从第2项开始，数列中的各项都是其前一项的

21倍，即从第2项开始，每一项与它的前一项的比都等于21．

介绍 播放 课件 质疑 引导 分析 了解 观看 课件 思考 自我 分析 从实例出发使学生自然的走向知识点

0

5 *动脑思考 探索新知 【新知识】 如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q来表示． 由定义知，若na为等比数列，q为公比，则1a与q均不为零，且有1nnaqa，即 (6.5)

总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 理解 记忆 带领 学生 分析

引导 式启 发学 生得 出结 果 10

*巩固知识 典型例题 例１ 在等比数列{}na中，15a，3q，求2a、3a、4a、

5a． 解

说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会

15

1nnaaq． 3

教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间

21324354

5315,15345,453135,1353405.aaqaaqaaqaaq

【试一试】 你能很快地写出这个数列的第９项吗？ 提问 巡视 指导 动手 求解

及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 20

*创设情境 兴趣导入 如何写出一个等比数列的通项公式呢？ 质疑 引导 分析 思考

参与 分析

学生 自然 的走 向知 识点

21

*动脑思考 探索新知 与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律． 设等比数列na的公比为q，则



2123211

234311

,,,aaqaaqaqqaqaaqaqqaq

„„ 【说明】 01111aaaq

总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 归纳 理解 记忆 带领 学生 总结 问题 得到 等差数列通项公式 25 4

教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间

依此类推，得到等比数列的通项公式： .11nnqaa （6.6）

知道了等比数列na中的1a和q，利用公式（6.6），可以直接计算出数列的任意一项. 【想一想】 等比数列的通项公式中,共有四个量：na、1a、n和q，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？

引导启发学生思考求解

*巩固知识 典型例题 例2求等比数列 ,81,41,21,1 的第10项． 解 由于 11a，12q， 故，数列的通项公式为 11111111111(1)(1)222nnnnnnnaaq， 所以 101010111(1)5122a． 例3 在等比数列na中，51a，18a８，求13a． 解 由81,185aa有 411aq， （1） 7118aq， （2） 说明 强调 引领 讲解 说明 引领 分析 强调 含义 观察 思考 主动 求解 观察 思考 求解 通过例题进一步领会

注意 观察 学生 是否 理解 知识

30 5

教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间

（2）式的两边分别除以(1)式的两边,得 38

1q,

由此得

21q．

将21q代人（1），得 412a,

所以，数列的通项公式为 4112()2nna．

故 12124813111222256aaq





．

【注意】 本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法． 【想一想】 在等比数列na中，719a， 13q．求3a时，你有没有比较简单的方法？ 【知识巩固】 例4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列．已知他们三人一共钓了14条鱼，而每个人钓鱼数量的积为64． 并且知道，小强钓的鱼最多，小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？ 分析 知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的

积,可以将这三个数设为,,aaaqq,这样可以方便地求出a,从而解决问题.

说明 引领 分析 强调 含义 领会 思考 求解

观察 思考 求解

点 反复 强调

注意 观察 学生 是否 6

教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间

解 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为,,aaaqq．则

14,64.aaaqqaaaqq





解得

,2,4qa

或.21,4qa

当2q时 ,824,224aqq

a

此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8. 当21q时 ,2214,8214aqq

a

此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2. 由于小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了2条鱼，小刚钓了4条鱼，小强钓了8条鱼． 【注意】

将构成等比数列的三个数设为aqaqa,,，是经常使用的方法． 说明 领会 思考

理解 知识 点

反复 强调 40

*运用知识 强化练习 1.求等比数列,6,2,32.的通项公式与第7项． 2.在等比数列na中，2125a,55a, 判断125是否为数列中的项，如果是，请指出是第几项.

启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 7

教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间

42 *理论升华 整体建构

思考并回答下面的问题： 等比数列的通项公式是什么

结论： .11nnqaa 质疑 归纳强调 回答 理解 强化 及时了解学生知识掌握情况 43

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导 回忆

*自我反思 课后作业 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

已知等比数列}{na中,81,174aa,求11a． 提问 反思

检验 学生 学习 效果

培养学生总结反思学习过程的能力

44

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高中数学必修五--等比数列

高中数学必修五--等比数列

2 4 8 16
这些数列 有什么共同点
概念形成
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 an q (q 0) ． an1
概念形成
二、等比数列的通项公式
概念形成
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，
即 an2 an1 an1 (n 2) ．
（2）在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积，即
a1 an a2 an1 a3 an2 L ．
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an ap aq ．
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an
bn} ，{k
an}
(k
0)
，{ 1 an
} 仍为等比数列，公比分别为
q1
q2
，
q1 ，
1 q1
．Байду номын сангаас
（5）等比数列依次每 n 项的和仍为等比数列，公比为 qn
n
（6） a1 a2 L an (a1 an )2 ． （正项数列中）
课堂小结
四、等比数列的性质
一个思想 类比思想
两个方法 不完全归纳法
叠乘法
三个公式
谢谢大家
人教版高中数学必修五
不完全归纳法
叠乘法
概念形成
二、等比数列的通项公式
【问题3】怎样用函数观点来分析等比数列的通项公式呢？
类比思想
概念形成
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）

中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）

中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(?ω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。

(精品等比数列知识点总结

(精品等比数列知识点总结

(精品等比数列知识点总结等比数列是数学中的一个重要概念，它在代数、几何等学科中都有广泛的应用。

下面是精品等比数列的知识点总结：一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比相等的数列。

通常用a1，a2，a3，…，an表示一个等比数列，其中a1是首项，r是公比。

例如，1，2，4，8，16，32，64，...就是一个等比数列，其中首项a1=1，公比r=2二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式是指通过首项和公比可以求得数列中任意一项的公式。

通项公式为：an=a1 * r^(n-1)其中，an表示数列中的第n项，a1表示首项，r表示公比。

例如，对于数列1，2，4，8，16，32，64，...，我们可以通过n来求得数列中的任意一项。

其中，首项a1=1，公比r=2，假设要求第6项，代入公式中得到a6=1*2^(6-1)=32三、等比数列的性质1.公比为零或负数时，数列不存在。

当公比r为0时，根据通项公式，数列中的所有项都为0，而等比数列至少要有一个非零项；当公比r为负数时，根据通项公式，数列中的项会在正负之间来回变换，不满足等比数列的定义。

2.公比大于1或小于-1时，数列的项会随着n的增大趋于无穷大或无穷小。

当公比r大于1时，数列中的项会随着n的增大趋于无穷大；当公比r小于-1时，数列中的项会随着n的增大趋于无穷小。

3.公比介于-1和1之间时，数列的项会趋于0。

当公比r介于-1和1之间时，数列中的项会随着n的增大趋于0。

4.等比数列的和等比数列的所有项的和称为等比数列的和，记作Sn。

当公比r为1时，等比数列变为等差数列，求和公式为：Sn=n*(a1+an)/2当公比r不为1时，等比数列的和公式为：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中n为项数。

四、等比数列的常见应用1.等比数列在财务和投资领域的应用等比数列的通项公式可以用于计算利息复利，投资收益率等问题，帮助分析和预测资金的增长趋势。

5.3.1等比数列 教学设计-2021-2022学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.3.1等比数列 教学设计-2021-2022学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第三册

等比数列第一课时教学设计一教分材析：1.教材地位与作用等比数列是人教b版高中数学选择性必修三第五章第三节第一课时的内容。

数列这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也时高考的重点。

等比数学数列是在学习等差数列之后的又一特殊数列。

数列是一种特殊的函数，是函数知识的延续。

同时学好等比数列的概念和通项公式，更有利于下一步研究等比数列的性质以及前n 项和公式。

数列在储蓄、分期付款的有关计算等方面有着广泛的实际应用。

数列不但在知识上起着承前启后的作用，还具备现实意义。

学习数列不但可以提高学生的观察、分析、猜想的能力，同时还可以培养学生的数学核心素养。

2.设计理念新课标提出在数学教学中，应该培养学生的数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理、直观想象、数据分析六大核心素养。

所以本节课课前我利用班级优化大师推送微课视频和习题，让学生预习并做简单课前测试，学生发现问题带着困惑走进课堂，更有针对性地进行学习。

课上我借助微视频多媒体技术进行引入，创造问题情境，让学生们在实际问题中抽象出数学模型，培养学生的数学抽象和数学建模能力。

而在猜想过程中培养学生的逻辑推理能力。

学生边做边学，边学边做，理论联系实际，自己查缺补漏。

以学生为主体的教学方式，发挥学生的主观能动性，教师帮助学生构建知识结构，理清知识脉络，从而实现翻转课堂。

二、学情分析：学生在学习本节内容之前已经学习等差数列的概念，通项公式以及等差数列前n项和的公式，具备一定的数学思想方法，有一定的观察、分析、猜想和归纳的能力。

三教学目标1、知识与技能目标：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式。

2、过程与方法目标:培养学生用归纳类比的方法去分析解决问题。

让学生能在具体的情境中，发现等比关系，培养学生们的数学建模能力。

3、情感与态度目标:让学生充分感受到数列是现实生活中的重要模型，提高学生的学习兴趣。

．四、教学重点:理解等比数列的概念，掌握通项公式的推导．五、教学难点:灵活应用等比数列的通项公式和推广公式，熟练的解决相关的数学问题。