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新人教A版必修5高中数学第一章解三角形学案

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高中数学 第一章 解三角形学案
新人教A 版必修5
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．
学法重难点
测量距离的实际应用
一：知识链接（本课时的主要知识展示）
问题1：正弦定理和余弦定理
（1）用正弦定理：
①知两角及一边解三角形； ②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论
解的个数）．
（2）用余弦定理：
①知三边求三角； ②知道两边及这两边的夹角解三角形．
问题2：应用举例
① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．
二：试一试（课前演练）
练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变.
则斜坡长变为___ ．
新课探究
探究1 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =
，求角C 的大小 及△ABC 最短边的长．
探究2 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一
艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30， 相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到1）？
探究3 在∆ABC 中，设tan 2,tan A c b B b
-= 求A 的值．
※ 模仿练习 练1. 练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油
井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，
北 20 10 A B • •
C 30°60°B C 北
海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min 到达C 点，求P 、C 间的距离．
练2. 在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 应用正、余弦定理解三角形；
2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；
3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．
※ 知识拓展
设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是： =()()()abc
R p p a p b p c --- ( 内切圆半径 ()()()S p a p b p c r p p
---==) 当堂检测
A 级：
1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）. A ．9 B ．18 C ．93 D ．183
2.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（ ）.
A ． 60°
B ． 90°
C ．150°
D ．120°
3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（ ）.
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．不确定的
B 级：
4. 在△ABC 中，32a =，23b =，1cos 3
C =，求ABC S ∆；
5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，求A 。

课后作业
1. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若
1cos cos sin sin 2
B C B C -=． （1）求A ；（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．
2. 在△ABC 中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，22285
bc a c b -=-，a =3， △ABC 的面积
为6，
（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c.
学后反思。

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高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.1.1正弦定理3

高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.1.1正弦定理3


所以 cos B＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝
2－ 4
6，
b＝cssiinnCB＝ 2ssinin4150°5°＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°)
＝
6＋ 2
2 .
解析：选 C.由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C，又coas A＝cobs B
＝cocs C，得csions AA＝csions BB＝csions CC，即 tan A＝tan B＝tan C，
所以 A＝B＝C，即△ABC 为等边三角形．
2．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 c
C．2<x<2 2
D．2<x<2 3
解析：选 C.由 asin B<b<a，得 22x<2<x，所以 2<x<2 2.
判断三角形的形状
已知在△ABC 中，角 A，B 所对的边分别是 a 和 b，若
acos B＝bcos A，则△ABC 一定是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【解析】 由正弦定理得：acos B＝bcos A⇒sin Acos B＝sin Bcos A⇒sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有 A－B ＝0，A＝B，即△ABC 为等腰三角形． 【答案】 A
1．若把本例条件变为“bsin B＝csin C”，试判断△ABC 的形 状． 解：由 bsin B＝csin C 可得 sin2B＝sin2C，因为三角形内角和 为 180°， 所以 sin B＝sin C．所以 B＝C.故△ABC 为等腰三角形．
3．正弦定理的变形
若 R 为△ABC 外接圆的半径，则
高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53

高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53


45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
高中数学第1章解三角形课件新人教A版必修5(2024)

高中数学第1章解三角形课件新人教A版必修5(2024)

的面积。 • 解析：根据正弦定理$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，代入已知条件可得
$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sin C}$，解得$a = \frac{2\sqrt{6}}{3}, b = \sqrt{2}$。再根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$，代入已知条件可得$S = \frac{\sqrt{3} + 1}{3}$。
例2
已知△ABC中，D、E分别是AB、AC上的 点，且AD/AB=AE/AC，求证： △ADE∽△ABC。
例3
已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D， 若AD=3，BD=4，求CD的长。
28
06
2024/1/28
三角函数在解三角形中的应用
29
三角函数基本概念回顾
2024/1/28
角度与弧度的定义及转换 正弦、余弦、正切函数的定义域、值域及 性质 诱导公式及周期性质 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
19
利用面积公式解决实际问题
2024/1/28
01
在测量工程中，经常需要计算不 规则地块的面积，可以通过测量 地块边界的长度，利用海伦公式 或向量叉积计算面积。
02
在建筑设计中，计算房间面积或 建筑物占地面积时，也可以利用 三角形面积公式进行计算。
20
面积公式在几何中的应用
在几何证明题中，有时需要计算某个 三角形的面积，以证明两个三角形面 积相等或成比例等关系。
解决几何问题中的最值问题
通过正弦定理可以解决一些几何问题中的最值问题，如求三角形中的最大角或最 小角等。
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用

高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用


3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3