3-第03讲 简单的数列求和

单调增加 若 {xn} 满足 x1 x2 xn , 则称 {xn}单调增加, 也记为{xn} .
不减少的
数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.
若 {xn} 满足 x1 x2 xn , 则称
{xn} 严格单调减少 记为{xn} .
单调减少 若 {xn} 满足 x1 x2 xn , 则称
,
则当
n
N 时,
放 大 不
1 sin 0 1 sin 1
nn
n nn
等 式 法
成立. 由极限的定义可知: lim 1 sin 0 .
n n n
例7
设 {xn} :
a, a,, a,,
证明
lim a
n

a.
证 0,
取 N 1, 则当 n N 时, 有
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。
第二章 极 限
第一节 数列的极限 一、数列及其简单性质 二、数列的极限 三、数列极限的性质 四、数列的收敛准则
一、数列及其简单性质
1. 定义
数列也称为序列
设 f (n) 是以正整数集 Z＋ 为定义域的函数.
将 f 的值域 f (Z ) { xn | xn f (n), n N } 中的元素 xn, 按自变量 n 增大的次序排列出来所 得到的一串数：
x1, x2 , , xn , 称为一个数列, 记为{ xn }.
x1 x2 x3 … xn …
••••• •••••
x

1 2n-1
-
1 2n+1
)]
=
3n 2n+1
.
11.已知 {an} 是 首 项 为 a1, 公 比 为 q 的 等 比 数 列. (1)求和: a1C20-a2C12+a3C22, a1C03-a2C13+a3C23-a4C33 ; (2)由(1)的结果归纳概 括出关于正整数 n 的一个结论, 并加以证明; (3)设q≠1, Sn是{an} 的前 n 项和, 求 S1Cn0-S2C1n+S3C2n-S4C3n+ … +(-1)nSn+1Cnn.
n+1 项
∵lgx+lgy=a, ∴lg(xy)=a.
∴Sn=
n(n+1) 2
lg(xy)=
n(n2+1)a.
注: 本题亦可用对数的运算性质求解:
∵Sn=lg[xn+(n-1)+…+3+2+1y1+2+3+…+(n-1)+n],
∴Sn=
n(n+1) 2
lg(xy)=
n(n2+1)a.
7.求证: Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n+1)Cnn=(n+1)2n.
-nn2+,1 2
,
n 为偶数时, n 为奇数时.
将数列的每一项拆(裂开)成两项之差, 使得正负项能相互
抵消, 剩下首尾若干项.
例
求和
Sn=
1×1 2+
1 2×3
+…+
1 n(n+1)
.
n n+1

数列的求和数列求和是数列研究中的一类常见问题，但并非所有数列都可求和，只有一些特殊类型的数列运用特殊方法才能求和。

掌握此类问题就必须把握每一种方法的使用条件和构造方法。

教学目标在知识方面：理解数列的前n 项和的各种方法，掌握数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

在能力方面：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。

在情感方面：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。

重点难点重点：使学生掌握数列的前n 项和公式，用数列的前n 项和公式解决实际问题。

难点：由研究数列的结构特点推导数列的前ｎ项和公式。

一、基本方法1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n 2．错位相减法求和：如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

4．合并求和：如：求22222212979899100-++-+- 的和。

5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：111)1(1+-=+n n n n )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅ )!1(1!1)!1(+-=+n n n n 6．公式法求和 6)12)(1(12++=∑=n n n k n k 213]2)1([+=∑=n n k n k8．其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等二、范例剖析1、分组转化法求和：把数列每一项统一拆成几部分，每一部分构成可以直接求和的数列．例：求和S n ＝1＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+211＋⎪⎭⎫ ⎝⎛++41211＋…＋⎪⎭⎫ ⎝⎛++++1-2141211n . 解： 和式中第k 项为k a ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝211211-⎪⎭⎫ ⎝⎛-k ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛k 21-12 ∴S n ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 21121121122 ＝2[(1＋1＋…＋1)n 个－(12＋122＋…＋12n )]＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--211211212n n ＝12n －1＋2n －2. 练习：{}{}项和的前，求数列，中，已知数列n a n a a a a n n n n 23211+=-=+2．错位相减法求和例：已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。

4．处理非等差、等比数列旳求和，主要有两种思绪
(1)转化旳思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想措施往往经过通项分解或错位相减来完 毕．
(2)不能转化为等差或等比数列旳数列，往往经过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
5．“错位相减”、“裂项相消”等是数列求和最主要 旳措施．是高考要点考察旳内容，应熟练掌握．
(其中d＝an＋1－an)．
常见旳拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4. 1 1 ( a b) a b ab
5.
1
1[ 1
1
]
即数列an的周期是 4,
a4=-1 又 a3 2 ,
故 a1+a2 +a3 +a4 =2 , a2009 a45021 a1 ,
a1+a2 +a3 +a4 +.......+a2009 502(a1+a2 +a3 +a4 ) a2009 1003
练习：
已知在数列 an
中，
a1
2
，
an1
(3)求数列1,3＋4,5＋6＋7,7＋8＋9＋10， …，前n项和Sn.
例1：求和：
1. 4 6 8 ……+（2n+2）
2.
11 1 1 2 22 23
1 2n
3. x x2 xn
10看通项，是什么数列，用哪个公式； 20注意项数
例2、已知lg(xy) 2