湖北省浠水县实验高级中学2018届高三上学期数学(理科)综合测试题(2017年12月29日)
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高三数学（理科）综合测试题（2017年12月29日）AAAAA ：李小燕6、1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，||,4OP =且1122||,||,||PF F F PF 成等比数列，则椭圆的离心率为（ ）A 、4 B 、3C 、3、47、已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0O A A B A C++=，则向量CA 在向量CB方向上的投影为（ ）A 、3B 、3- D 、8、已知双曲线()222:104x y C a a -=>的一条渐近线方程为230x y +=，1F 、2F 为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且1||2PF =，则2||PF =（ ） A 、4 B 、6 C 、8 D 、1021、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点到右焦点F 1，F 到上顶点(),0C m 是线段OF 上一动点. （1）求椭圆的方程.（2）是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使()CA CB BA +⊥？并说明理由.高三调考数学参考答案（理科）一、选择题 1-12 DCACB DBCDB CA二、填空题： 13.[)5,+∞ 14. -6480 15.5440π+16.2016三：解答题 17.解：（Ⅰ）方程|f （x ）|=g （x ），即|x 2﹣1|=a |x ﹣1|，变形得|x ﹣1|（|x +1|﹣a ）=0，显然，x =1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x +1|=a 有且仅有一个等于1的解或无解，∴a ＜0．…………5分（Ⅱ）当x ∈R 时，不等式f （x ）≥g （x ）恒成立，即（x 2﹣1）≥a |x ﹣1|（*）对x∈R 恒成立，①当x =1时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当x ≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x ）==因为当x ＞1时，φ（x ）＞2，当x ＜1时，φ（x ）＞﹣2，所以φ（x ）＞﹣2，故此时a ≤﹣2．综合①②，得所求实数a 的取值范围是a ≤﹣2．…………10分 18.（Ⅰ）由图知）（61242ππωπ+=，解得2=ω∵1)122sin()12(=+⋅=ϕππf ∴)(226Z k k ∈+=+ππϕπ，即)(32Z k k ∈+=ππϕ由于22-πϕπ<<，因此3πϕ=……………………3分∴)32sin()(π+=x x f∴)62sin(3)4(2sin )4(ππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-x x x f 即函数)(x g y =的解析式为)62sin()(π-=x x g ………………6分（Ⅱ）∵1)3(2sin22++=+πC g B A ∴)22sin(1)cos(1π++=+-C B A∵C C C B A 2cos )22sin(,cos )cos(=+-=+πC C 2cos cos =，即1cos 2cos 2-=C C ，所以21cos -=C 或1（舍），π32=C ……8分 由正弦定理得42sin ==R C c ，解得32=c 由余弦定理得abc b a C 221cos 222-+=-= ∴ab ab b a 21222≥-=+，4≤ab （当且仅当a =b 等号成立）∴343sin 21≤==∆ab C ab S ABC ∴ABC ∆的面积最大值为3.……………………12分 19.解：（I ）在11()22n n n S a -=--+中，令n=1，可得1112n S a a =--+=，即112a = 当2n ≥时，21111111()2()22n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，，11n 1112a (),212n n n n n a a a ----∴=+=+n 即2112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-= n 即当时，b .又1121,b a ==∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是1(1)12,2nn n n n nb n n a a =+-⋅==∴=.……6分 (II)由（I ）得11(1)()2n n n nc a n n +==+，所以23111123()4()(1)()2222n n T n =⨯+⨯+⨯+++K 2341111112()3()4()(1)()22222n n T n +=⨯+⨯+⨯+++K 由①-②得231111111()()()(1)()22222nn n T n +=++++-+K11111[1()]1333421(1)()31222212n n n n nn n n T -++-++=+-+=-∴=--……12分20.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户。
第二阶梯水量的户数X 的可能取值为0,1,2,3 ………………1分30463101(0)30C C P X C ⋅===，21463103(1)10C C P X C ⋅=== 12463101(2)2C C P X C ⋅===，03463101(3)6C C P X C ⋅=== 所以X 的分布列为EX=13110123301026⨯+⨯+⨯+⨯95=……………………………6分(2)设Y 为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得Y ～B 3(10)5，, 所以101032()()()55kkkP Y k C -==，其中0,1,2,,10k =L ………………8分设101011111032()()()3(11)5532(1)2()()55k k k k k k C P Y k k t P Y k k C ----=-====- …………………10分 若1t >，则.6k <，(1)()P Y k P Y k =-<=；若1t <，则.6k >，(1)()P Y k P Y k =->=。
所以当6k =或7，()P Y k =可能最大，664107731032()()(6)755132(7)6()()55C P Y P Y C ===>= 所以n 的取值为6。
………………12分21.解：（1）由题意1a c -=解得1a b c ==∴椭圆方程为2212x y +=（2）由（1）得()1,001F m ∴≤≤假设存在满足题意的直线l ，设l ：()1y k x =-代入2212x y +=得： ()2222214220kx k x k +-+-=设()()1122,,A x y B x y 则22121212122224222,,(2)212121k k kx x x x y y k x x k k k --+==+=+-=+++()()211222242,,2,2121k k CA CB x m y x m y m k k ⎛⎫-∴+=-+-=- ⎪++⎝⎭而AB的方向向量为()()1,0k CA CB AB ∴+⋅=()22224220122121k k m k m k m k k -∴-+⋅=⇔-=++， ①当102m ≤<时，k =l ； ②当112m ≤≤时，k 不存在，即不存在这样的直线l . 22.解：（Ⅰ）由题意知，函数f （x ）的定义域为（0，+∞），方程f′（x ）=0在（0，+∞）有两个不同根； 即方程lnx ﹣ax =0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故．……4分（解法二）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大＞0，即，所以．综上所述，．4分（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．……8分令，=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1． (12)分。
