上海市十三校高三数学第二次联考试题 理(含解析)

2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）8．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=．10．设函数f（x）=（）x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x1、x2，函数g（x）=logx的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x3，x4则x1+x2+x3+x4的值为．11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…a n}（n∈N+），记满足条件的所有数列{a n}中，a10的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为．13．已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行16．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A． B． C． D．17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，918．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线三、解答题（共5小题，满分0分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）20．复数z1=2sin，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]；（1）若z1•z2是实数，求cos2θ的值；（2）若复数z1、z2对应的向量分别是、，存在θ使等式（）•（）=0成立，求实数λ的取值范围．21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2016？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2 （3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）当x∈（，2）时，求μ（x+log2x）的取值的集合；（2）如函数f（x）=有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N+）上的值域为M a，集合M a中的元素个数为a n，求证：．2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=2．【考点】二阶矩阵．【专题】计算题．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1∴x=2故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为﹣20．【考点】二项式系数的性质．【专题】对应思想；定义法；二项式定理．【分析】根据二次项展开式的通项公式，写出含x项的指数，令指数为0求出r的值，再计算二项展开式中的常数项．【解答】解：二次项（2x﹣）6展开式中的通项公式为：T r+1=•（2x）6﹣r•=•26﹣r••x6﹣2r，由6﹣2r=0得：r=3；∴二项展开式中的常数项为：•23•=﹣20．故答案为：﹣20．【点评】本题考查了二项式系数的性质问题，利用二项展开式的通项公式求出r的值是解题的关键，是基础题．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的焦点位置，求出半焦距，经过的椭圆的长半轴等于，可求短半轴，从而写出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，c=1，a=，∴b2=4，故椭圆的方程为为故答案为：．【点评】本题考查椭圆的性质及标准方程的求法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．用待定系数法求椭圆的标准方程是一种常用的方法．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=[4，5）．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣3＜2，解得：1＜x＜5，即A=（1，5），由B中不等式变形得：x（x﹣4）≥0，且x≠0，解得：x＜0或x≥4，即B=（﹣∞，0）∪[4，+∞），则A∩B=[4，5），故答案为：[4，5）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】由A的度数，求出sinA的值，设a=BC，c=AB，由sinA，BC及AB的值，利用正弦定理求出sinC的值，由c小于a，根据大边对大角得到C小于A的度数，得到C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，由选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学至少有一名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任意2人参加体能测试，基本事件总数n=，选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，∴选到的2名同学至少有一名女同学的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE所成角的大小是arccos（结果用反三角函数值表示）【考点】异面直线及其所成的角；反三角函数的运用．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空是直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D1与DE所成角的大小．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空是直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则B1（2，0，2），D1（0，2，2），D（0，2，0），E（0，0，1），=（﹣2，2，0），=（0，﹣2，1），设异面直线B1D1与DE所成角为θ，cosθ===，∴θ=arccos．∴异面直线B1D1与DE所成角的大小是arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是[﹣1，1]．【考点】基本不等式．【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式．【分析】化简a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，从而可得b2﹣k2b2≥0恒成立，从而解得．【解答】解：∵a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，∴对任意k，b，都存在a=kb；∴不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立可化为：b2﹣k2b2≥0恒成立，即1﹣k2≥0成立，故k∈[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及恒成立问题的应用．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．设函数f（x）=（）x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x1、x2，函数g（x）=logx的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x3，x4则x1+x2+x3+x4的值为10．【考点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】x1、x2是（）x=5﹣x的两个根，得到x1=5﹣，x2=5﹣，再根据f（x）与g（x）互为反函数得到x3=y2=，x4=y1=，问题得以解决．【解答】解：函数f（x）=（）x的图象与直线y=5﹣x交点的横为x1、x2，∴x1、x2是（）x=5﹣x的两个根，∴x1=5﹣，x2=5﹣，∵f（x）=（）x的图象与g（x）=log x关于y=x对称，∴x3=y2=，x4=y1=，∴x1+x2+x3+x4═5﹣+5﹣++=10．故答案为：10．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的性质，以及方程的根的问题，关键是f（x）与g （x）互为反函数，属于中档题11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…a n}（n∈N+），记满足条件的所有数列{a n}中，a10的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=502．【考点】数列递推式．【专题】计算题；阅读型；分类讨论；归纳法；等差数列与等比数列．【分析】由a1=1知，数列{a n}都是正数，故数列{a n}是递增数列，从而可得a10的最小值b=1×10=10，a10的最大值a=29=512，从而解得．【解答】解：∵a1=1，∴a2﹣a1∈{a1}，∴a2﹣a1=1，故a2=2，a3﹣a2∈{a1，a2}，∴a3﹣a2=1，a3﹣a2=2，∴a3=3或a3=4；同理可得，a10的最小值b=1×10=10，a10的最大值a=29=512，故a﹣b=512﹣10=502，故答案为：502．【点评】本题考查了学生对新定义的接受能力及应用能力，同时考查了等比数列与等差数列的应用．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，3]．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的性质求出f（﹣2）=0，由条件画出函数图象示意图，结合图象并对x 分类列出不等式组，分别利用函数的单调性求解即可求出不等式的解集．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且f（2）=0，在（﹣∞，0）是减函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，函数图象示意图：其中f（0）=0，∵xf（x﹣1）≥0，∴或，解得﹣1≤x≤0或1≤x≤3，∴不等式的解集是[﹣1，0]∪[1，3]，故答案为：[﹣1，0]∪[1，3]．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，正确画出函数的示意图是解题的关键，考查分类讨论思想和数形结合思想．13．已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为9．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；分析法；平面向量及应用．【分析】以A1A2所在直线为x轴，中点A4为坐标原点，建立直角坐标系，可设A1（﹣1，0），A2（1，0），A3（0，），A4（0，0），A5（﹣，），A6（，），运用向量的坐标运算和数量积的坐标表示，计算即可得到所求个数．【解答】解：以A1A2所在直线为x轴，中点A4为坐标原点，建立直角坐标系，可设A1（﹣1，0），A2（1，0），A3（0，），A4（0，0），A5（﹣，），A6（，），可得=（2，0），若i=1，则•=2（+1），可得4，2，2，1，3；若i=2，则•=2（﹣1），可得﹣4，﹣2，﹣2，﹣3，﹣1；若i=3，则•=2（），可得﹣2，2，0，﹣1，1；若i=4，则•=2（），可得﹣2，2，0，﹣1，1；若i=5，则•=2（+），可得﹣1，3，1，1，2；若i=6，则•=2（﹣），可得﹣3，1，﹣1，﹣1，﹣2．综上可得取值有±1，±2，±3，±4，0共9个．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是[，+∞）．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得≤ωx+≤ωπ+，2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，由此求得ω的范围．【解答】解：由题意得，D=[0，π]，f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的定义域为D，∵f﹣1（[0，2]）={x|f（x）∈[0，2]，x∈R}，故2sin（ωx+）∈[0，2]．∵ω＞0，x∈[0，π]，∴≤ωx+≤ωπ+，∴由2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，∴ω≥，故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了对应关系的应用，以及函数的定义域与值域的关系的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．16．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．【点评】本题考查空间图形的三视图，考查侧视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选B【点评】本题主要考查系统抽样方法．18．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线【考点】轨迹方程．【专题】压轴题；运动思想．【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分0分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】求出圆锥的侧面积即为答案．【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r，则圆锥的高为r，圆锥的母线为．∵V==，∴r=10cm．∴圆锥形容器的侧面积S==100cm2≈444.3cm2．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积，体积计算，属于基础题．20．复数z1=2sin，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]；（1）若z1•z2是实数，求cos2θ的值；（2）若复数z1、z2对应的向量分别是、，存在θ使等式（）•（）=0成立，求实数λ的取值范围．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用；数系的扩充和复数．【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，通过复数是实数求出θ，然后求解即可；（2）写出复数z1，z2对应的向量，代入等式（）•（）=0，展开数量积即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：复数z1=2sin，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]．（1）z1•z2=2sinθ+2cosθ+（4sinθcosθ﹣）i，z1•z2为实数，可得4sinθcosθ﹣=0，sin2θ=，解得2θ=，∴cos2θ=﹣；（2）复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，复数z1，z2对应的向量分别是，=（2sinθ，﹣），=（1，2cosθ），（）•（）=0，∵=（2sinθ）2+（﹣）2+1+（2cosθ）2=8，=（2sinθ，﹣）•（1，2cosθ）=2sinθ﹣2cosθ，∴（）•（）=λ（）﹣（1+λ2）=8λ﹣（1+λ2）（2sinθ﹣2cosθ）=0，化为sin（θ﹣）=，∵θ∈[]，∴（θ﹣）∈[0，]，∴sin（θ﹣）∈[0，]．∴0≤≤，解得λ≥2+或λ≤2﹣．实数λ的取值范围是（﹣∞，2﹣]∪[2+，+∞）．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数为实数的条件，训练了向量的数量积的应用，是中档题．21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2016？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】计算题；分类讨论；构造法；等差数列与等比数列．【分析】（1）可求得d==3，{b n﹣a n}是等比数列，公比q=2，从而求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）化简c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，从而分类讨论以确定数列{c n}的前n项和S n，可求得S n=，从而讨论即可．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，∴d==3，∴a n=3n，∵{b n﹣a n}是等比数列，且b1﹣a1=4﹣3=1，b4﹣a4=20﹣12=8，∴q=2，∴b n﹣a n=1•2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1；（2）c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，故①当n为奇数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…+（3（n﹣1）+2n﹣2）﹣（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…+3（n﹣1））﹣3n+（﹣1+2﹣4+…﹣2n﹣1）=3×﹣3n+[（﹣2）n﹣1]=﹣（n+1）+[（﹣2）n﹣1]=﹣[（n+1）+（2n+1）]，②当n为偶数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…﹣（3（n﹣1）+2n﹣2）+（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…﹣3（n﹣1）+3n）+（﹣1+2﹣4+…+2n﹣1）=3×+[（﹣2）n﹣1]=n+（2n﹣1），综上所述，S n=，若S m=2016，故m一定是偶数，故m+（2m﹣1）=2016，故（2m﹣1）=2016﹣m，而（214﹣1）＞2016，（212﹣1）＜2016﹣×12，故m值不存在．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了数列前n项和的求法及分类讨论的思想应用．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2 （3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．【考点】抛物线的简单性质．【专题】新定义；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求得特征直线的斜率，哟哟点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出双曲线的渐近线方程，可得点G的“特征直线”的斜率为2，求得G的坐标，解方程可得较大的根，进而得到证明；（3）设C（m，n），D（s，t），求得直线l1、l2的方程，求得交点M，解方程可得两根，再由向量共线的坐标表示，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率为1，即有直线l的方程为y﹣1=x﹣2，即为y=x﹣1；（2）证明：双曲线的渐近线为y=±x，可得点G的“特征直线”的斜率为2，即有G的横坐标为4，可设G的坐标为（4，4），可得点G的“特征直线”方程为y﹣4=2（x﹣4），即为y=2x﹣4，点Q（a，b）为线段GH上的点，可得b=2a﹣4，（0≤a≤4），方程x2﹣ax+b=0的根为x=，即有较大的根为===2，可得r（a，b）=2；（3）设C（m，n），D（s，t），即有直线l1：y+n=mx，l2：y+t=sx，联立方程，由n=m2，t=s2，解得x=（m+s），y=ms，即有a=（m+s），b=ms，则方程x2﹣ax+b=0的根为x1=m，x2=s．可得E（0，﹣m2），点M在线段CE上，则b=ma﹣m2=ms，则=λ（λ≥0），即（m+s）﹣m=λ（0﹣（m+s）），即有（s﹣m）（m+s）≤0，即s2≤m2，即|s|≤|m|，则r（a，b）=；以上过程均可逆，即有点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查抛物线的切线的方程的求法和运用，考查向量共线的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）当x∈（，2）时，求μ（x+log2x）的取值的集合；（2）如函数f（x）=有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N+）上的值域为M a，集合M a中的元素个数为a n，求证：．【考点】函数零点的判定定理；函数的值域．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）当x∈（，2）时，（x+log2x）∈．即可得出μ（x+log2x）的取值的集合．（2）当x∈（0，1]时，=∈[1，+∞）；当x∈（1，2]时，=∈[1，2）；…，当x∈（n﹣1，n]时，=∈[1，）；函数f（x）=有且仅有2个零点，即可得出实数a的取值范围是．（3）当x∈（n﹣1，n]时，μ（x）=n．可得xμ（x）=nx的取值范围是（n2﹣n，n2]，进而g （x）在x∈（n﹣1，n]上的函数值的个数为n个．可得M n中元素的个数个数，可得a n=，可得．【解答】解：（1）当x∈（，2）时，（x+log2x）∈．∴μ（x+log2x）的取值的集合为{0，1，2，3}．（2）当x∈（0，1]时，=∈[1，+∞）；当x∈（1，2]时，=∈[1，2）；当x∈（2，3]时，=∈[1，）；…，当x∈（n﹣1，n]时，=∈[1，）；函数f（x）=有且仅有2个零点，∴实数a的取值范围是．（3）证明：当x∈（n﹣1，n]时，μ（x）=n．∴xμ（x）=nx的取值范围是（n2﹣n，n2]，进而g（x）在x∈（n﹣1，n]上的函数值的个数为n个．由于区间（n2﹣n，n2]与（（n+1）2﹣（n+1），（n+1）2]没有共同的元素，∴M n中元素的个数为1+2+…+n）=，可得a n=，．【点评】本题考查了新定义、函数的性质、等差数列的前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。

上海市数学高三上学期文数第二次联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一上·哈尔滨月考) 设则（）A .B .C .D .2. （1分） (2017高二下·眉山期末) 设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A . 3iB . ﹣3iC . 3D . ﹣33. （1分）向量=（x，y）（O为原点）的终点A位于第二象限，则有（）A . x＞0，y＞0B . x＞0，y＜0C . x＜0，y＞0D . x＜0，y＜04. （1分）定义设实数满足约束条件则的取值范围是（）B .C .D .5. （1分） (2015高一下·忻州期中) 已知点A（﹣1，3）、B（3，2）、C（﹣4，5）、D（﹣3，4），则向量在方向上的投影为（）A .B . ﹣C .D . ﹣6. （1分）已知函数是R上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，＞0，则的值（）A . 恒为正数B . 恒为负数C . 恒为0D . 可正可负7. （1分）设函数，则方程的根有（）A . 1个B . 2个C . 3个8. （1分） (2016高一下·天水期末) 已知点G是△ABC的重心，且AG⊥BG， + = ，则实数λ的值为（）A .B .C . 3D . 29. （1分） (2019高一上·长春月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .10. （1分） (2017高一下·邢台期末) 设Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，Sn=2Sn﹣1+n﹣2（n≥2），则a2017等于（）A . 22016﹣1B . 22016+1C . 22017﹣1D . 22017+111. （1分）设f（x）=，则 f[f （﹣1）]=（）A .B . 1C . 2D . 412. （1分）函数的最大值为（）A .B . eC .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·朝阳月考) 在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点．若圆上存在一点C，满足，则r的值为________．14. （1分） (2018高一下·涟水月考) 等差数列中，若 ,，则 ________.15. （1分）角θ其终边上一点P(x,)，且cosθ=x，则sinθ的值为________16. （1分）函数f（x）= 的单调递增区间是________．三、解答题 (共6题；共13分)17. （2分） (2016高一下·苏州期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn=3n﹣1．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求数列{nan}的前n项和Tn．18. （3分）(2013·山东理) 设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．19. （2分） (2016高三上·绍兴期末) △A BC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinAsinB=sinCtanC．（1）求的值：（2）若a= c，且△ABC的面积为4，求c的值．20. （2分） (2015高二下·忻州期中) 在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，sinA+sinB=2sinC，a=2b．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若S△ABC= ，求c．21. （2分） (2017高二上·石家庄期末) 已知函数f（x）=ex﹣ax，（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．22. （2分） (2017高二下·安阳期中) 已知函数f（x）=ex﹣2x+2（x∈R）．（1）求f（x）的最小值；（2）求证：x＞0时，ex＞x2﹣2x+1．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共13分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）2013.12一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．函数()|2|f x x =+的定义域是___________．2．幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，则1()4f 的值为 .3．已知4cos 5α=，则cos()2sin()22tan()cot()2παπαππαα-+-+++=______________.4．计算：2211lim[()]12n n n n n →+∞--++=_________．5．已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m mm +⎛⎫⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为___________．6．已知流程图如图所示，为使输出的b 值为16，则判断框内①处可以填数字 ．（填入一个满足要求的数字即可）7．已知x y R +∈、，且41x y +=，求19x y+的最小值.某同学做如下解答： 因为 x y R +∈、，所以14x y =+≥19x y +≥ ①⨯②得1924x y +≥=，所以 19x y+的最小值为24。

判断该同学解答是否正确，若不正确，请在以下空格内填写正确的最小值；若正确，请在以下空格内填写取得最小值时x 、y 的值. .8．等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482nn B a a a a =++++，则当n =____时，n B取得最大值.9．函数()()x x y 2arccos 1arcsin +-=的值域是 .10．设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.11．已知函数()(2318,3133x tx x f x t x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，记()()*n a f n n N=∈，若{}na 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.12．已知()sin 2cos 2f x a x b x =+（a ，b 为常数），若对于任意x R ∈都有()5()12f x f π≥，则方程()0f x =在区间[]0,π内的解为 . 13．函数()()g x x R ∈的图像如图所示，关于x 的方程2[()]()230g x m g x m +⋅++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是_______________．14．已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12n n a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为 （用k 表示）二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．函数22log xy x =+的零点在区间（ ）内（A ）11(,)43（B ）12(,)35（C ）21(,)52（D ）12(,)2316．已知a b 、为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 （D ）非充分非必要17．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点， 则当P 沿A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM ∆的面积y 的函数()y f x =的图像的形状大致是下图中的（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）18．集合()*{,,S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是( ) （A ）(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ （B ）(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ （C ）(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ （D ）(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉P AB三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分，第一小题满分4分，第二小题满分8分）已知集合21|1,1x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,B x x a x R =-≤∈. （1）求集合A ；（2）若R B A B = ð，求实数a 的取值范围.20．（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分）行列式cos 2sin 01cos AA x A x x()0A >按第一列展开得1121312M M -+，记函数()1121f x M M =+，且()f x 的最大值是4.（1）求A ；（2）将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在11,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域． 21．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A 、B 、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C 在点A 的北偏东47°方向，点B 在点C 的南偏西36°方向，点B 在点A 的南偏东79°方向，且A 、B 两点的距离约为3海里。

湖南省2015届高三 十三校联考 第二次考试数学（理）长郡中学 衡阳八中 永州四中 岳阳县一中 湘潭县一中 湘西州民中 石门一中 澧县一中 郴州一中 益阳市一中 桃源县一中 株洲市二中一．选择题1．集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则A B =I （ ）A ．{}3,4,5B ．{}4,5,6C ．{}36x x <≤D ．{}36x x <≤2．下列命题中，真命题是 （ ） A ．0x R ∃∈，使得00xe ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥ C ．函数2()2xf x x =-有两个零点D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件3．已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( )A ．B ．C ．D ．64．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则（ ） A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数 C ．)1(+x f 一定是奇函数 D ．)1(+x f 一定是偶函数 5．已知函数()cos6xf x π=，集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =，现从M 中任取两个不同的元素,m n ，则()()0f m f n ⋅=的概率为( ) A ．512B ．712C ．718D ．796.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ） A.1008 B.2015yxAQ PO（第10题C.1007D. 1007-8．设函数)(x f y =在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数⎩⎨⎧>≤=p x f p px f x f x f p )(,)(),()(，则称函数)(x f p 为)(x f 的“p 界函数”若给定函数2,12)(2=--=p x x x f ，则下列结论不成立的是（ ） A.[][])0()0(p p f f f f = B. [][])1()1(p p f f f f = C. [][])2()2(f f f f p p = D. [][])3()3(f f f f p p =9.已知函数21()(,g x a x x e e=-≤≤e 为自然对数的底数)与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e+- D ．2[2,)e -+∞ 10．如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点Q P ,．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C的离心率为( )ABC D二．填空题7．已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,)+? （C ）(0,4)（D ）(8,)+?（一）选做题11．如图，BD 是半圆O 的直径，A 在BD 的延长线上，AC 与半圆相切于点E ，AC BC ⊥，若AD =6AE =，则EC = 3 .12．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点P 为直线cos sin 40ρθρθ--=上一点，点Q 为曲线2(14x t t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上一点，则||PQ 的最小值为13．已知函数f(x)=|x-k|+|x-2k|，若对任意的x ∈R ，f(x )≥f(3)=f(4)都成立，则k 的取值范围为[]2,3 .（二）必做题 14．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，则二项式6⎛⎝的展开式的常数项是____-160_____.15．如果实数,a b 满足条件：20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值是 5 。