上海市长宁、嘉定区高三数学二模考试试题 理(含解析)

(2022上海长宁、嘉定二模)上海市长宁、嘉定区2022年高三下学期二模数学（理）试卷数学（理）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是__________．2．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数=m _________． 3．（理）已知集合{}{}331,,0,1<<=-=x x B a A ，若A B ≠∅，则实数a 的取值范畴是 ． 4．已知复数z 满足1i z -＝3，则复数z 的实部与虚部之和为__________．5．求值：1220132013201320132013124(2)C C C -+-+-=___________．6．已知向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过7．设1,0≠>a a ，行列式34210231D -=xa 中第3第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像通过点()1,2，则a = ．8．（理）如图是一个算法框图，则输出的k 的值是 _______． 9．（理）已知135sin ,53)cos(-==-ββα，且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈，则 ______sin =α．10．（理）设函数⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=]1,0[,1)0,1[,1)(2x x x x x f ，则将)(x f y =的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的体积为____________．11．（理）抛掷一枚质地平均的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B ，则事件B A 的概率=)(B A P ____________．理第8题，12．（理）设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(1)1(|1|1)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则232221x x x ++=____________．13.（理）函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值和最小值分别为m M ,，则=+m M ______． 14．（理）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式21222ma nS a n n ≥+对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为._______二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15. 已知),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA OB ⊥的充要条件是 （ ） A ．12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2121b b a a = D.1221b a b a = 16.（理）关于直线，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）A ．若,,//m l =⋂βαα则m l //B ．若,//,βαl l ⊥则βα⊥C ．若,//,//ααm l 则m l //D ．若l m l ⊥,//α，则α⊥m17. 过点(1,1)P 作直线与双曲线2212y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则如此的直线 （ ） A ．存在一条，且方程为210x y --= B ．存在许多条 C ．存在两条，方程为()210x y ±+= D ．不存在 18. （理）已知0>a 且1≠a ，函数)(log )(2b x x x f a ++=在区间),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，则函数bx x g a -=||log )(的图象是 ( )三．解答题（本大题满分74分，共5小题）19. （理）（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且2==BC AB ． （1）求AD 与平面ABC 所成角的大小； （2）求点B 到平面ACD 的距离．20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列． （1）求证：03B π<≤；（2）求1sin 2sin cos By B B+=+的取值范畴．21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx且是定义域为R 的奇函数．（1）求k 的值； （2）（理）若23)1(=f ，且)(2)(22x f m a a xg xx ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值．（文）若0)1(<f ，试说明函数)(x f 的单调性，并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的的取值范畴．22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）如图，已知点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；AB CD（2）（理）过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范畴；（3）（理）关于（2）中的点A 、B ，在y 轴上是否存在一点D ，使得△ABD 为等边三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）（理）已知三个互不相等的正数a ，b ，c 成等比数列，公比为q ．在a ，b 之间和b ，c 之间共插入n 个数，使那个3+n 数构成等差数列．（1）若1=a ，在b ，c 之间插入一个数，求q 的值；（2）设c b a <<，4=n ，问在a ，b 之间和b ，c 之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的n 个数中，有s 个位于a ，b 之间，个位于b ，c 之间，试比较s 与的大小．数学理（参考答案）一、填空题（每小题4分，共56分） 1．π 2。

2013年上海市长宁、嘉定区高考数学二模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分）1．（4分）（2012•上海）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为π．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=中，即可求出函数的最小正周期．解答：解：f（x）=sin（2x+），∵ω=2，∴T==π，则函数的最小正周期为π．故答案为：π点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．2．（4分）（2013•嘉定区二模）若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），且实数f（1）＜0，则m= ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：依题意，1是2x2﹣3x+a=0的根，将1代入可求得a=1，从而可求得m的值．解答：解：∵x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），∴1是2x2﹣3x+a=0的根，∴2×1﹣3×1+a=0∴a=1，∴2x2﹣3x+1=0的解集为（，0），∵不等式2x2﹣3x+1＜0的解集为（m，1），∴m=．故答案为：．点评：本题考查一元二次不等式的解法，求得a的值是关键，属于基础题．3．（4分）（2013•嘉定区二模）（理）已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜3x＜3}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（0，1）．考点：交集及其运算；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：先化简集合B，求出A∩B得具体集合，结合条件分析A∩B=∅时a取值范围，对所求得的a范围取补集即可得答案．解答：解：集合B={x|1＜3x＜3}={x|0＜x＜1}，A={﹣1，0，a}，若A∩B=∅，必有a≤0或a≥1，则当A∩B≠∅时，有a∈（0，1）．故答案为：（0，1）．点评：本题考查集合的运算，考查学生的计算能力，属于基础题．4．（4分）（2013•嘉定区二模）已知复数z满足（i为参数单位），则复数z的实部与虚部之和为．考点：复数的基本概念；虚数单位i及其性质．专题：待定系数法．分析：复数z=a+bi （a、b∈R），代入已知的等式，利用两个复数代数形式的乘除法法则及两个复数相等的充要条件，解方程组求出复数的实部和虚部．解答：解：设复数z=a+bi （a、b∈R），代入已知的等式得=3，=3，=3，∴a=1，b=，∴a+b=1+=，故答案为：．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的条件及复数实部、虚部的定义．5．（4分）（2013•嘉定区二模）求值：= ﹣1 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由二项式定理可知=（1﹣2）2013可求解答：解：∵=（1﹣2）2013=﹣1故答案为：﹣1点评：本题主要考查了二项式定理的逆应用，解题的关键是熟练掌握基本公式6．（4分）（2005•湖北）已知向量不超过5，则k 的取值范围是 [﹣6，2] ．考点：向量的模． 分析： 根据向量模的计算公式，列出一个关于K 不等式，解不等式，即可求出K 的取值范围． 解答： 解：∵≤5∴﹣6≤k≤2故答案为：[﹣6，2] 点评：求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A 、B 坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求．7．（4分）（2013•嘉定区二模）设a ＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的代数余子式记作y ，函数y=f （x ）的反函数图象经过点（2，1），则a= 4 ．考点： 三阶矩阵． 专题： 函数的性质及应用． 分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可．函数y=f （x ）的反函数图象经过点（2，1），可知点点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，由此代入数值即可求得a ． 解答：解：由题意得第3行第2列元素的代数余子式 M 32=﹣=﹣a x+6依题意，点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，将x=1，y=2，代入y=﹣a x+6中， 得﹣a+6=2，解得a=4． 故答案为：4． 点评： 此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．8．（4分）（2013•嘉定区二模）（理）如图是一个算法框图，则输出的k的值是 6 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．解答：解：由于k2﹣6k+5＞0⇒k＜1或k＞5．第1次循环，k=1+1=2，第2次循环，k=2+1=3，第3次循环，k=3+1=4，第4次循环，k=4+1=5，第6次循环，k=5+1=6，6＞5满足k2﹣6k+5＞0，退出循环，输出的结果为6，故答案为：6．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当不满足条件，执行循环，属于基础题．9．（4分）（2013•嘉定区二模）已知，且，则sinα=．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由α和β的范围求出α﹣β的范围，根据cos（α﹣β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α﹣β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则s inα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．10．（4分）（2013•嘉定区二模）（理）设函数，则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的体积为π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，这旋转一周所得旋转体是由一个半球与一个圆锥组成，求出半球的体积与圆锥的体积即可得到结果．解答：解：由题意可知函数，则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体是由一个半球与一个圆锥组成，球的半径为：1，圆锥的底面半径为1，高为1，所以所求几何体的体积为：=π．故答案为：π点评：本题考查旋转体的体积的求法，判断几何体的性质是解题的关键，注意准确利用公式进行计算．11．（4分）（2013•嘉定区二模）（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B，则事件A∪B的概率P（A∪B）= ．考点：古典概型及其概率计算公式；概率的基本性质．专题：概率与统计．分析：由题意分别可得P（A），P（B），P（AB），而P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB），代入计算可得．解答：解：由题意抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数共6种可能，其中为偶数的有2，4，6三种可能，故P（A）=，向上的点数大于2且小于或等于5有3，4，5三种可能，故P（B）=，而积事件AB只有4一种可能，故P（AB）=，故P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）==故答案为：点评：本题考查古典概型的求解，涉及概率的基本性质和全概率公式，属基础题．12．（4分）（2013•嘉定区二模）设定义域为R的函数，若关于x 的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x1，x2，x3，则x12+x22+x32等于 5 ．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；数形结合；分类讨论．分析：根据已知中函数的解析式，我们可以画出函数的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x1，x2，x3时，x1，x2，x3的值，进而求出x12+x22+x32的值．解答：解：函数的图象如下图所示：由图易得函数的值域为（0，+∞）令t=f（x）则方程f2（x）+bf（x）+c=0可化为t2+bt+c+0，若此方程无正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0无根若此方程有一个非1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有两根；若此方程有一个等 1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有三根；此时t=f（x）=1，x1=0，x2=1，x3=2，x12+x22+x32=5若此方程有两个非1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有四根；若此方程有一个非1，一个等1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有五根；综上x12+x22+x32=5故答案为：5点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的作法，根的存在性及根的个数判断，其中画出函数的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x1，x2，x3时，所满足的条件是解答醒本题的关键．13．（4分）（2012•黑龙江）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m= 2 ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；压轴题．分析：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．解答：解：函数可化为f（x）==令，则为奇函数∴的最大值与最小值的和为0∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2即M+m=2故答案为：2点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．14．（4分）（2013•嘉定区二模）设S n为数列{a n}的前n项之和．若不等式对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：由题意可知5×a n2+2×a1•a n+a12≥4λa12，两边除以a12，设 x=，有．由此可知答案．解答：解：∵∴可以转化为5×a n2+2×a1•a n+a12≥4λa12两边除以a12，设 x=，有，∴∴当 x=﹣时，λ 有最大值．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件．二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15．（5分）（2013•嘉定区二模）已知A（a1，b1），B（a2，b2）是坐标平面上不与原点重合的两个点，则的充要条件是（）A．B．a1a2+b1b2=0C．D．a1b2=a2b1考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用⇔即可得出．解答：解：⇔⇔a1a2+b1b2=0．故选B．点评：熟练掌握⇔是解题的关键．16．（5分）（2013•浙江模拟）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．分析：由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理判断A、B；再由线面和面面垂直的定理判断C、D．解答：解：A不对，由线面平行的性质定理知必须l⊂β；B不对，由面面平行的判定定理知两条直线必须相交；D不对，有条件有可能m⊂α；C正确，由l∥β知在β内有与l平行的直线，再由l⊥α和面面垂直的判定定理得α⊥β．故选C．点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了学生对定理的运用能力和空间想象能力．17．（5分）（2013•嘉定区二模）过点P（1，1）作直线与双曲线交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（）A．存在一条，且方程为2x﹣y﹣1=0 B．存在无数条C．存在两条，方程为2x±（y+1）=0 D．不存在考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：利用平方差法：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线方程然后作差，由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率，再用点斜式即可求得直线方程，然后再检验直线与曲线方程联立的方程的解的存在的情况解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，则x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴，即k AB=2，故所求直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．联立可得2x2﹣4x+3=0，但此方程没有实数解故这样的直线不存在故选D点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线方程的求法，涉及弦中点问题，往往考虑利用“平方差法”加以解决．但是一定要检验所求直线与椭圆的方程的解的存在情况18．（5分）（2013•嘉定区二模）已知a＞0且a≠1，函数在区间（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a|x|﹣b|的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象；对数函数的单调性与特殊点．专题：数形结合．分析：根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出b 的值，根据函数是一个增函数，看出底数的范围，得到结果．解答：解：∵函数在区间（﹣∞，+∞）上是奇函数，∴f（0）=0∴b=1，又∵函数在区间（﹣∞，+∞）上是增函数，所以a＞1，所以g（x）=log a||x|﹣1|定义域为x≠±1，且当x＞1递增，当0＜x＜1递减，故选A点评：本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．三．解答题（本大题满分74分，共5小题）19．（12分）（2013•嘉定区二模）（理）如图：已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2．（1）求AD与平面ABC所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离．考点：直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间角．分析：（1）由AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，∠DAC就是AD 与平面ABC所成的角，然后直接解直角三角形即可；（2）设出点B到平面ACD的距离，直接利用等积法求距离．解答：解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，∠DAC就是AD与平面ABC所成的角．因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，，所以，所以AD与平面ABC所成角的大小为45°；（2）设点B到平面ACD的距离为d，由（1）可得，，则=．=．由V A﹣BCD=V B﹣ACD，得，所以．所以点B到平面ACD的距离为．点评：本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．20．（12分）（2013•嘉定区二模）在△ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列．（1）求证：；（2）求的取值范围．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理求得cosB的值，利用基本不等式求得cosB的范围，即可求得B的范围．（2）根据三角恒等变换化简y的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得y 的范围．解答：解：（1）由已知，b2=ac，所以由余弦定理，得由基本不等式a2+c2≥2ac，得．所以．因此，．（2），由（1），，所以，所以，所以，的取值范围是．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．21．（14分）（2013•嘉定区二模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k的值；（2）（理）若，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．（文）若f（1）＜0，试说明函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的定义：对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），或性质可得f（0）=0，由此求得k值．（2）（理）利用换元法，将函数转化为二次函数，研究函数的单调性，得到函数g（x）取得最小值．利用条件，就可以求m的值．（文）由f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得0＜a＜1，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．解答：解：（1）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣x﹣（k﹣1）a x=﹣a x+（k﹣1）a﹣x，即（k﹣1）（a x+a﹣x）﹣（a x+a﹣x）=0，（k﹣2）（a x+a﹣x）=0，因为x为任意实数，所以k=2．解法二：因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，即1﹣（k﹣1）=0，k=2．当k=2时，f（x）=a x﹣a﹣x，f（﹣x）=a﹣x﹣a x=﹣f（x），f（x）是奇函数．所以k的值为2．（2）（理）由（1）f（x）=a x﹣a﹣x，因为，所以，解得a=2．故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得，所以g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当时，h（t）在上是增函数，则，，解得（舍去）．当时，则f（m）=﹣2，2﹣m2=﹣2，解得m=2，或m=﹣2（舍去）．综上，m的值是2．（2）（文）由（1）知f（x）=a x﹣a﹣x，由f（1）＜0，得，解得0＜a＜1．当0＜a＜1时，y=a x是减函数，y=﹣a﹣x也是减函数，所以f（x）=a x﹣a﹣x是减函数．由f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0，所以f（x2+tx）＜﹣f（4﹣x），因为f（x）是奇函数，所以f（x2+tx）＜f（x﹣4）．因为f（x）是R上的减函数，所以x2+tx＞x﹣4即x2+（t﹣1）x+4＞0对任意x∈R成立，所以△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．所以，t的取值范围是（﹣3，5）．点评：本题考查指数型复合函数的性质以及应用，考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．22．（18分）（2013•嘉定区二模）如图，已知点F（0，1），直线m：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q ，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）（理）过轨迹C的准线与y轴的交点M作直线m′与轨迹C交于不同两点A、B，且线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D（0，y0），求y0的取值范围；（3）（理）对于（2）中的点A、B，在y轴上是否存在一点D，使得△ABD为等边三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设P（x，y），由题意得Q（x，﹣1），即可得到，，，，利用向量的数量积运算即可得出动点P的轨迹C的方程；（2）利用（1）的轨迹方程即可得到准线方程及点M的坐标，设直线m'的方程为y=kx ﹣1（k≠0），与抛物线方程联立得到根与系数的关系，利用中点坐标和垂直平分线的性质即可得到线段AB的垂直平分线的方程即可；（3）利用（2）的结论，点到直线的距离公式及等边三角形的判定即可得出．解答：解：（1）设P（x，y），由题意，Q（x，﹣1），，，，，由，得2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），化简得x2=4y．所以，动点P的轨迹C的方程为x2=4y．（2）轨迹C为抛物线，准线方程为y=﹣1，即直线m，∴M（0，﹣1），设直线m'的方程为y=kx﹣1（k≠0），由得x2﹣4kx+4=0，由△=16k2﹣16＞0，得k2＞1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，所以线段AB的中点为（2k，2k2﹣1），所以线段AB垂直平分线的方程为（x﹣2k）+k[y﹣（2k2﹣1）]=0，令x=0，得．因为k2＞1，所以y0∈（3，+∞）．（3）由（2），x1+x2=4k，x1x2=4，∴===．假设存在点D（0，y0），使得△ABD为等边三角形，则D到直线AB 的距离．因为D（0，2k2+1），所以，所以，解得．所以，存在点，使得△ABD为等边三角形．点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、向量的数量积、准线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、等边三角形的定义、点到直线的距离公式、线段的垂直平分线及对称等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．23．（18分）（2013•嘉定区二模）（理）已知三个互不相等的正数a，b，c成等比数列，公比为q．在a，b之间和b，c之间共插入n个数，使这n+3个数构成等差数列．（1）若a=1，在b，c之间插入一个数，求q的值；（2）设a＜b＜c，n=4，问在a，b之间和b，c之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，t个位于b，c之间，试比较s与t的大小．考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）若a=1，设由4个数构成的等差数列的公差为d ，则，消去d，求得q的值．（2）设所构成的等差数列的公差为d，由题意，d＞0，共插入4个数．若在a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数，求得q的值；若在a，b之间插入3个数，在b，c之间插入1个数，求得q的值；若a，b之间和b，c之间各插入2个数，求得q的值，综合可得结论．（3）设所构成的等差数列的公差为d，由题意可得，因为q≠1，所以，分q＞1和 0＜q＜1两种情况，分别得出结论．解答：解：（1）若a=1，因为a，b，c是互不相等的正数，所以q＞0且q≠1．由已知，a，b，c是首项为1，公比为q的等比数列，则b=q，c=q2，当插入的一个数位于b，c之间，设由4个数构成的等差数列的公差为d，则，消去d得2q2﹣3q+2=0，因为q≠1，所以q=2．（2）设所构成的等差数列的公差为d，由题意，d＞0，共插入4个数．若在a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数，则，于是，2b﹣2a=c﹣b，q2﹣3q+2=0，解得q=2．若在a，b之间插入3个数，在b，c之间插入1个数，则，于是，2c﹣2b=b﹣a，解得（不合题意，舍去）．若a，b之间和b，c之间各插入2个数，则，b﹣a=c﹣b，解得q=1（不合题意，舍去），综上，a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数．（3）设所构成的等差数列的公差为d，由题意可得，b=a+（s+1）d，，又c=b+（t+1）d，，所以，，即，因为q≠1，所以．所以，当q＞1，即a＜b＜c时，s＜t；当0＜q＜1，即a＞b＞c时，s＞t．点评：本题主要考查等差数列的定义、性质以及通项公式，等比数列的定义、性质以及通项公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

一、选择题1. 答案：A解析：本题考查指数函数的性质。

由于指数函数y=a^x（a>0，a≠1）在定义域内是单调递增的，当x增加时，y也随之增加。

因此，选择A。

2. 答案：C解析：本题考查数列的通项公式。

根据数列的定义，我们有an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。

代入题目中的数列，得到an = 2 + (n-1)×3 = 3n - 1。

因此，选择C。

3. 答案：B解析：本题考查三角函数的性质。

根据三角函数的和差公式，我们有sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB。

代入题目中的角度，得到sin(π/6 + π/3) =sin(π/2) = 1。

因此，选择B。

4. 答案：D解析：本题考查复数的运算。

复数a + bi的模长是|a + bi| = √(a^2 + b^2)。

代入题目中的复数，得到|2 + 3i| = √(2^2 + 3^2) = √13。

因此，选择D。

5. 答案：A解析：本题考查平面几何中的相似三角形。

由于三角形ABC和三角形DEF的对应角相等，根据相似三角形的性质，它们的边长成比例。

因此，选择A。

二、填空题6. 答案：3解析：本题考查一元二次方程的解法。

将方程x^2 - 4x + 3 = 0因式分解得(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1或x = 3。

7. 答案：π解析：本题考查圆的周长。

圆的周长公式是C = 2πr，其中r是圆的半径。

代入题目中的半径，得到C = 2π×1 = 2π。

8. 答案：1/2解析：本题考查数列的前n项和。

根据等差数列的前n项和公式，我们有Sn =n(a1 + an)/2，其中a1是首项，an是第n项。

代入题目中的数列，得到S10 =10(2 + 20)/2 = 110。

9. 答案：√2解析：本题考查直角三角形的边长。

根据勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，满足a^2 + b^2 = c^2。

上海市嘉定、长宁区2021年高三(二模)数学(理科)及答案2021学年嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷（理）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．21．已知集合A {x|x| 2,x R}，B {xx 1 0,x R}，则A B ________．2．抛物线x2 8y的焦点到准线的距离是______________．3．若(1 ai)i 2 bi，其中a、b R，i是虚数单位，则|a bi| _________． 4．已知函数g(x) 2x，若a 0，b 0且g(a)g(b) 2，则ab的取值范围是_______． 5．设等差数列 an 满足a5 11，a12 3， an 的前n项和Sn的最大值为M，则lgM=__________．6．若(a x)8 a0 a1x a2x2 ... a8x8（a R），且a5 56，则a0 a1 a2 ... a8 _______________．2an1 17. 已知对任意n N，向量dn a a, n 14na 都是直线y x的方向向量，设数列n*{an}的前n项和为Sn，若a1 1，则limSn _____________．n8．已知定义在R上的单调函数f(x)的图像经过点A( 3,2)、B(2, 2)，若函数f(x)的反函数为f 1(x)，则不等式2f1(x 2) 1 5的解集为9. 已知方程sinx 3cosx m 1在x [0, ]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是____________．10. 随机变量的分布律如下表所示，其中a，b，c成等差数列，若E是___________．11．现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________．1，则D 的值 3xQ xP yP,12. 在平面直角坐标系xOy中，点P(xP,yP)和点Q(xQ,yQ)满足按此yQ xP yP,感谢您的阅读，祝您生活愉快。