第一章 概率论的基本概念(三)

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

1 / 10 第一章 概率论的基本概念

定义: 随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，Ｓ的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件.

事件关系： 1.AB,A发生必导致B发生． 2.AＢ和事件，A,B至少一个发生,ＡB发生．

3.AB记AB积事件，A，B同时发生,AB发生． ４．A－B差事件,A发生,B不发生，Ａ－B发生．

５．AB=Ø，A与Ｂ互不相容（互斥)，A与B不能同时发生,基本事件两两互不相容. 6.AB=S且AＢ＝Ø，A与B互为逆事件或对立事件，A与B中必有且仅有一个发生，记B＝ASA．

事件运算: 交换律、结合律、分配率略.

德摩根律：BABA，BABA. 概率: 概率就是ｎ趋向无穷时的频率,记P(A）.

概率性质: 1．P(Ø)=0． 2．(有限可加性)P(Ａ１Ａ2…An）=Ｐ(Ａ１）+P（A2)＋…+P(Ａｎ),Ai互不相容.

３.若AＢ,则Ｐ(B－A)=P(B)-P(A). 4．对任意事件A，有)A(1)A(PP. 5.P(AB）＝P（A)+P(Ｂ)-P(AＢ）．

古典概型： 即等可能概型,满足:1．S包含有限个元素.2.每个基本事件发生的可能性相同.

等概公式: 中样本点总数中样本点数SA)A(nkP. 超几何分布： nNknDNkDp,其中raCra．

条件概率: )A()AB()AB(PPP. 乘法定理: )A()AB()ABC()ABC()A()AB()AB(PPPPPPP．

全概率公式: )B()BA()B()BA()B()BA()A(2211nnPPPPPPP，其中iB为Ｓ的划分.

贝叶斯公式: )A()B()BA()AB(PPPPiii，njjjBPBAPAP1)()()(或)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP．

第一章 概率论的基本概念

定义： 随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件．

事件关系： 1．AB，A发生必导致B发生． 2．AB和事件，A，B至少一个发生，AB发生．

3．AB记AB积事件，A，B同时发生，AB发生． 4．A－B差事件，A发生，B不发生，A－B发生．

5．AB=Ø，A与B互不相容(互斥)，A与B不能同时发生，基本事件两两互不相容． 6．AB=S且AB=Ø，A与B互为逆事件或对立事件，A与B中必有且仅有一个发生，记B=ASA．

事件运算： 交换律、结合律、分配率略． 德摩根律：BABA，BABA． 概率： 概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A)．

概率性质: 1．P(Ø)=0． 2．(有限可加性)P(A1A2„An)=P(A1)+P(A2)+„+P(An)，Ai互不相容．

3．若AB，则P(B－A)=P(B)－P(A)． 4．对任意事件A，有)A(1)A(PP． 5．P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)．

古典概型： 即等可能概型，满足：1．S包含有限个元素．2．每个基本事件发生的可能性相同．

等概公式： 中样本点总数中样本点数SA)A(nkP． 超几何分布： nNknDNkDp，其中raCra．

条件概率： )A()AB()AB(PPP． 乘法定理： )A()AB()ABC()ABC()A()AB()AB(PPPPPPP．

全概率公式： )B()BA()B()BA()B()BA()A(2211nnPPPPPPP，其中iB为S的划分．

贝叶斯公式： )A()B()BA()AB(PPPPiii，njjjBPBAPAP1)()()(或)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP．

第一章 概率论的基本概念

【内容提要】

一、随机事件及其运算关系

1．随机现象 在一定条件下，可能出现不同结果(不可预先确知的)的现象。

2．随机试验 在一定条件下，对随机现象进行观测或观察的过程。随机试验具有如下特点:

⑴.可以在相同条件下重复进行；

⑵.每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

⑶.进行试验前不能确定到底会出现哪个结果。

3．样本空间 对于随机试验，尽管在试验之前不能预知其结果，但其所有可能结果是已知的，我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为其样本空间，用表示，并称为样本点。

4．随机事件 设是随机试验E的样本空间，而()FAA是的某些子集，且满足:

⑴.()F；

⑵.()AF,有()AAF；

⑶.(),1,2,...kAFk,有1()kkAFU。

则称()F是随机试验E的事件域，而称()AF为随机事件。

注:设A为随机事件，则

⑴.A发生包含于A中的任一样本点发生；

⑵.必然事件即样本空间，而不可能事件即空集。

5．随机事件的运算关系 设,,,1,2,...,kABAkn为随机事件，则

⑴．事件的包含关系:,ABABAB事件发生时一定会导致事件发生有；

⑵．事件的相等关系:ABABBAAB且当且仅当；

⑶．事件的和运算:,ABABABABUU或发生当且仅当中至少发生其一，

12111,,,...,kkknknknAknAAAAAUU存在发生当且仅当中至少发生其一；

⑷．事件的积运算:,ABABABABII且发生当且仅当同时发生，

12111,,,...,kkknknknAknAAAAAII发生当且仅当同时发生；

积事件还可将I省略，直接表示为121knknAAAAI；

概率论与数理统计复习

第一章 概率论的基本概念

一.基本概念

随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果.

随机事件(事件):样本空间S的子集.

必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件.

二. 事件间的关系和运算

(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.

∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生.

3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.

4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.

5. AB= (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.

6. AB=且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .

运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 BABA BABA

三. 概率的定义与性质

1.定义 对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.

(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;

(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A1,A2,…(A iAj=φ, i≠j, i,j=1,2,…),

P(A1∪A2∪…)=P( A1)+P(A2)+…

2.性质

(1) P() = 0 , 注意: A为不可能事件 P(A)=0 .

(2)有限可加性 对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,A n , P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)

(3)若AB, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) .