对数函数(学生版)

对数与对数函数

知识梳理

1、对数式log

aN

可看作一记号，表示底为a

（a

＞0，且a

≠1），幂为N的指数工表示方

程x

aN

（a

＞0，且a

≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a

（a

＞0，且a

≠1）

幂为N，求幂指数的运算. 因此，对数式log

aN

又可看幂运算的逆运算.

为a

＞0，a

≠1时，logxN

aaNx

【扩展】两类对数

① 以10为底的对数称为常用对数，

10logN

常记为lgN

.

② 以无理数e=2.71828„为底的对数称为自然对数，log

eN

常记为lnN

.

以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，

即lg1002

.

说明：在例1中，

10log0.010.01,log10ln10

e应改为lg应改为

.

2、对数的运算法则

如果a

＞0且a

≠1，M＞0，N＞0，那么：

（1）logloglog

aaaMNMN

（2）logloglogaaaM

MN

N

（3）loglog()n

aaMnMnR

3、画出函数

2logx

y的图象,

再利用电脑软件画出

0.5log.x

y的图象

4

2

-2

-4-55

探究：选取底数(aa

＞0，且a

≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的

对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？

画出

4logyx

，

3logyx

，

1

3logyx

和

1

4logyx

提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，

性质又如何？ 先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影)

图象的特征 函数的性质

（1）图象都在y轴的右边

（1）定义域是（0，+∞）

（2）函数图象都经过（1，0）点 （2）1的对数是0

（3）从左往右看，当a

＞1时，图象逐渐

上升，当0＜a

＜1时，图象逐渐下降 . （3）当a

＞1时，logx

ay

是增函数，当

0＜a

＜1时，log

ayx

是减函数.

（4）当a

＞1时，函数图象在（1，0）点

4．3　对数函数

最新课程标准学科核心素养

1.理解对数的概念．

2．理解对数的性质．1.理解对数的概念．(数学抽象)

2．掌握指数与对数的互化、简单求值．(数学运

算)

4.3.1　对数的概念

教材要点

要点一　对数的概念

1．定义：如果ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么________叫作以________为底，_______

_的对数，记作b＝log

aN.

2．相关概念

底数与真数

其中，________叫作对数的底数，________叫作真数．

状元随笔　logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书

写．

要点二　对数与指数间的关系

当a＞0，且a≠1时，ab＝N⇔b＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式．状元随笔　要点三　对数的性质

性质1________没有对数

性质21的对数是________，即loga1＝__(a＞0，且a

≠1)

1性质3底的对数是______，即logaa＝______(a＞0，且a≠1)

要点四　对数的基本恒等式

alog

aN＝N(a＞0且a≠1，N＞0)；

b＝log

aab(b∈R，a>0且a≠1)．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)log

aN是log

a与N的乘积．( )

(2)因为(－4)2＝16，所以log(－4)16＝2.( )

(3)因为3x＝81，所以log813＝x.( )

(4)log

32＝log

23.( )

2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有( )

A．log

2M＝aB．log

aM＝2

C．log

a2＝MD．log

2a＝M

3．若log

8x＝－2

3，则x的值为( )

A．1

4B．4

C．2D．1

2

4．3log

32＋log

21＝________．

　对数的概念

例1　(1)在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( )

A．(－∞，3] B．(3，4)∪(4，+∞)

C．(4，＋∞) D．(3，4)

(2)将下列指数式、对数式互化．

①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log√5125＝

题型一：对数的定义与对数运算

【例1】 ⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

①45625；②61264；③15.733m；④12log164；

⑤lg0.012；⑥ln102.303.

⑵求下列各式中x的值：

①642log3x；②log86x；③lg100x；④2lnex.

【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1）712128； （2）327a； （3）1100.1；

（4）12log325； （5）lg0.0013； （6）ln100=4.606.

【例3】 将下列对数式写成指数式：

（1）416log21；（2）2log1287；

（3）lg0.012； （4）ln102.303

典例分析

板块一.对数运算 【例4】 已知32()logfxx, 则(8)f的值等于（ ）.

A. 1 B. 2 C. 8 D. 12

【例5】 计算下列各式的值：（1）lg0.001； （2）4log8； （3）lne.

【例6】 ⑴27log9，⑵81log43，⑶32log32，⑷625log345

【例7】 1lognn（1nn＋－）等于（ ）.

A. 1 B. －1 C. 2 D. －2

【例8】 25log()(5)a（a≠0）化简得结果是（ ）.

A. －a B. a2 C. ｜a｜ D. a

【例9】 化简3lg2lg5log1的结果是（ ）.

A. 12 B. 1 C. 2 D.10

【例10】 计算2(lg5)lg2lg50＝ .

【例11】 计算：2151515log5log45log3

高一寒假数学讲义

“对数函数的图像与性质（提高）”

学生姓名 授课日期

教师姓名 授课时长

知识定位

掌握对数函数图像和性质，能够解决相关综合问题。

知识梳理

一、对数函数的定义

函数xaylog（a>0且a≠1）称为对数函数，定义域是（0，+∞）。

二、对数函数的图像

由于a>0且a≠1，所以分别讨论01两种情况

三、对数函数的性质

注意与指数函数的性质对比

1 .对数xaylog的图像都在y轴的右方。

2.对数xaylog的图像都经过（1,0）。

3.对数xaylog的图像（a>1）在（0，+∞）上为增函数。

4.对数xaylog的图像（0

2 5.对数xaylog的图像（a>1）当x>1时，y>0；0

6.对数y=xaylog的图像（01时，y<0；00。

7.对数函数xaylog与指数函数y=ax互为反函数。

补充性质：

8.底数互为倒数的两个对数函数的图像关于x轴对称。

9.在第一象限内，底数按逆时针方向越来越小。

例题精讲

【试题来源】（2014•福建）

【题目】若函数xaylog（a＞0，且a≠1）的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是（ ）

3

【难度系数】2

【试题来源】（2014•温州模拟）

【题目】已知函数）丨（丨1-xlg)(xf，若a≠b，且)()(bfaf，则ba2的取值范围是（ ）

A．[3+22，+∞） B．（3+22，+∞） C．[4，+∞） D．（4，+∞）

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】已知函数)1(log)(axaxf(a＞0，a≠1)，有以下命题：

①函数f（x）的图象在y轴的一侧；

②函数f（x）为奇函数；

③函数f（x）为定义域上的增函数；

④函数f（x）在定义域内有最大值，则正确的命题序号是（ ）

【难度系数】3