初中数学几何模型大全+经典题型及答案解析

水不撩不知深浅

人不拼怎知输赢专题旋转重难点模型汇编

【题型1手拉手模型】

【题型2“半角”模型】

【题型3构造旋转模型解题】【题型4奔驰模型】

【题型5费马点模型】【题型1手拉手模型】

1如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=2-

2，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α0°

，分别连接CE、BD．

(1)如图2，当0°

(2)如图3，当α=90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；

(3)连接CD，在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)△BCD的面积的最大值为3-2，旋转角α=135°

【详解】(1)证明：由题意得，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90°，

∵∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90°，

∴∠CAE=∠BAD，

在△ACE和△ABD中，

·1·水不撩不知深浅

人不拼怎知输赢AC=AB

∠CAE=∠BAD

AE=AD



，

∴△ACE≌△ABDSAS

，

∴CE=BD；

(2)证明：根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90°，

在△ACE和△ABD中，

AC=AB

∠CAE=∠BAD

AE=AD



∴△ACE≌△ABDSAS

，

∴∠ACE=∠ABD，

∵∠ACE+∠AEC=90°，且∠AEC=∠FEB，

∴∠ABD+∠FEB=90°，

∴∠EFB=90°，

∴CF⊥BD，

∵AB=AC=2，AD=AE=2-2，∠CAB=∠EAD=90°，

∴BC=AB2

+AC2

=2，CD=AC+AD=2，

∴BC=CD，

∵CF⊥BD，

∴CF是线段BD的垂直平分线；

(3)解： 在△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时，△BCD的面积有最大值，

∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图，

∵AB=AC=2，AD=AE=2-2，∠CAB=∠EAD=90°，DG⊥BC，

模型【04】笔尖型

【模型分析】

模型二“铅笔”模型

点P在EF右侧，在AB、CD部“铅笔”模型

结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°

结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD

【经典例题】

例1．（2020·广西钦州市·七年级期末）如图，已知//ABDE

，则123

的度数是（）

A．180B．270

C．360

D．540

【分析】由题意过点C作CF//AB，可得CF//ED，进而利用平行线性质进行分析计算即可

【解析】过点C作CF//AB，

∵CF//AB，//ABDE

，∴CF//ED，∴∠1+∠ACF=180°，∠FCD+∠3=180°

∵∠2=∠FCD+∠ACF，∴123

=∠1+∠ACF+∠FCD+∠3=180°+180°=360°，选C

【小结】本题考查平行线的性质，注意掌握两直线平行时，巧妙构造辅助线，熟练运用平行线的性质，由

两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．例2．（2020·山西临汾市·七年级期末）如图，一环湖公路的AB

段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了

东西方向的FE

段，则BCDE

的度数是______

【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠

E的大小

【解析】如图，根据题意可知：AB∥EF

分别过点C，D作AB的平行线CG，DH

所以AB∥CG∥DH∥EF

则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°

∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°

∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°

【小结】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小．例3．（2020·河北邢台市·八年级月考）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．

（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（BAEAECECD、、

1隐形圆(4大模型与6类题型)

第一部分【模型梳理与题型目录】

隐形圆模型是初中数学中的重要知识点，常用于解决一些看似没有直接使用圆的知识但实

际上需要运用圆的性质来解决的问题，隐形圆常常用于解决最值问题.本专题梳理了隐形圆四大

模型，供大家参考使用.

【模型1】 定点定长模型

【模型分析】(1)出现共端点、等线段时，可以利用圆的定义构造辅助圆；(2)如图1，若OA=OB

=OC，则A、B

、C在以O为圆心，

OA为半径的圆上.由圆周角定理可得：∠ABC=

1

2∠AOC,

∠ACB=1

2∠AOB,

∠BAC=1

2∠BOC.

图1

【模型2】 90°圆周角模型

【模型分析】如图2，在△ABC中，∠C=90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O

(不包含A、B两点)．

注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆、最值等方法进行相关计算．

图2

应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。

【模型3】 定弦定角模型

【模型分析】固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分．

如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧

(AB)上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)

2如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当

∠C<90

°时，点C在优弧上运动；当∠C=90

°时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；当∠C

>90

°时，点C在劣弧上运动．

【模型4】‌四点共圆模型

【模型分析】在四边形ABCD中，若∠A+∠C=1800

，则A、B、C、D在圆O上，称之为A、B、C、D四点

共圆.

图3

应用：常用于解决四点共圆的问题，如角度相等、线段最值等问题.

【题型1】‌定点定长模型......................................................3;

【模型2】 90°圆周角模型...................................................6;

1微专题将军饮马模型通关专练

一、单选题

1(2023·福建厦门·校考二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为BC、CD的中点，点P是

对角线BD上的动点，则四边形PECF周长的最小值为()

A.4B.4+22C.8D.4+42

【答案】C

【分析】作E关于BD的对称点E，连接EF交BD于点O，根据轴对称性质及两点之间，线段最短，得到四

边形PECF的周长最小，即OE+OF最小，再利用三角形三边关系解题即可．

【详解】解：如图，作E关于BD的对称点E，连接EF交BD于点O，

故点P与点O重合时，

四边形PECF的周长最小，

即OE+OF最小，

∵E和E关于BD对称，

则OE=OE,EO+OF=EO+OF=4

连接EP，同样EP=PE，EP+PF=EP+PF>EF

而EF=EO+OF=4，即EP+PF>EF

所以当P与O重合时，

四边形PECF周长最小，即为4+2+2=8，

故选：C．

【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称与最值问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

2(2023秋·八年级课时练习)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB与点D，

∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于()

A.4cmB.2cmC.3cmD.1cm

【答案】C

【详解】∵ED⊥AB，∠A=30°，

∴AE=2ED，

∵AE=6cm，

∴

ED=3cm.

2∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，

∴ED=CE，

∴CE=3cm.

故选C.

3(2023·福建福州·八年级福州日升中学校考期中)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF

垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是()

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出

AC长度即可．

【详解】解：∵EF垂直平分BC，

∴B、C关于EF对称，