基于模糊集理论的马尔可夫模型在水质定量预测中的应用

文章编号:1005󰀁0930(2011)02󰀁0231󰀁012󰀁󰀁中图分类号:X824󰀁󰀁文献标识码:A

do:i10.3969/.jissn.1005󰀁0930.2011.02.007

󰀁收稿日期:2009󰀁12󰀁11;修订日期:2010󰀁11󰀁11

基金项目:国家自然科学基金项目(50979003)作者简介:岳遥(1986󰀁),女,博士研究生.通讯作者:李天宏(1970󰀁),博士,副教授.Te:l(010)62753351,E󰀁mai:llitianhong@iee.pku.edu.cn基于模糊集理论的马尔可夫模型

在水质定量预测中的应用

岳󰀁遥,󰀁李天宏

(北京大学环境科学与工程学院,水沙科学教育部重点实验室,北京100871)

摘要:马尔可夫模型是一种水质定性预测的常用方法.本文将模糊集理论中级别

特征值的概念引入马尔可夫模型,提出一种基于投影距离的方法(M2),使之能

够用于水质的定量预测.利用1992到2004年黄河干流潼关、三门峡两断面

BOD5、氨氮、溶解氧等三项水质指标的历史序列推断2005年的水质,发现除潼

关的BOD5误差较大(23.3%)以外,其它水质指标的预测值误差均在1.5%到

5.6%之间.和传统的处理级别特征值的方法(M1)相比,M2方法具有较高的精

度.利用该模型计算两断面2005󰀁2010年的水质变化,发现水质趋于改善.

关键词:水质定量预测;马尔可夫链;级别特征值

水质预测是水环境评价和水资源管理的基础.水质预测的手段归纳起来主要有:基于

水流连续方程和扩散理论的物理模型预测法[1],基于灰色系统理论的灰色预测法[2],神

经网络预测法[3],基于模糊理论的预测方法[4],以及数理统计预测法[5].马尔可夫水质模

型是一种随机过程模型.它将水质划分为若干个状态(水质等级),并把水质从一种状态

转化为另一种状态的过程看作一个无后效性的随机过程.通过对历史序列的分析,可以找

出不同级别的水质间相互转化的概率,应用概率论中的相关定理,由初始的水质状态就能

得到未来时刻水质处于某种级别的概率,其中最大概率的水质级别即作为预报值.马尔可

夫模型由于概念清晰、简便易行,同时也在一定程度上反映了水质随机变化的特性,多年

来在国内外都得到了广泛使用,例如,Arnold[6]预测了不同时间步长的溶解氧序列并用实

际采样资料进行了验证;Lettenmaier[7]研究了利用马尔可夫链分析水质趋势时处理非独

立观测数据的方法;Takyi和Lence[8]以美国俄勒冈州的Willamette河为例计算了污染物

排放的季度分配,并发现该方法对历史序列的长度要求不高;王巨宏[9]利用内梅罗指数

对水质进行分级,并预测了未来四年中平顶山市湛河的水质级别;郑文瑞[10]等使用模糊

数学的方法为水质分级,并用马尔可夫模型预测了长春市内水质;冯为[11]等将相对进步

度的概念引入马尔可夫模型并进行了中国四大河流水质等级的变化趋势分析;杨国范[12]第19卷2期2011年4月应用基础与工程科学学报

JOURNALOFBASICSCIENCEANDENGINEERINGVo.l19,No.2April2011等和张树冬[13]等考虑不同历史年份的水质对当前水质预测结果的影响,使用加权马尔可

夫链预测了抚顺市内浑河的水质;胡宏昌[14]和何江宏[15]等则对水质预测中最优马尔可

夫转移矩阵的求法进行了探索.这些研究都是使用马尔可夫链作水质的定性预报,本文则

尝试将模糊集理论中的级别特征值引入马尔可夫模型,对水质指标进行定量预测.

1󰀁模型原理和方法

1.1󰀁指标分级方法

为了确定马尔可夫链的状态空间,需要对指标进行分级.分级的方式直接影响到了后

续定量预测的结果.以往基于马尔可夫链的水质预测中,往往是直接套用󰀁国家地表水环

境质量标准󰀁对各指标进行分级.该标准较多地考虑了水质指标的物理成因和对水环境

质量的影响,而对样本的统计特性反映不足,有可能使结果出现较大偏差.本文从统计的

角度,采用样本均方差法对水质指标分级.

以样本均值

x=1n󰀁n

i=1x1(1)

为中心,结合标准差

s=1

n-1󰀁n

i=1(xi-x)2(2)

将样本划分为表1所示的五个级别.

表1󰀁均方差法分级标准

Table1󰀁TheUnbiasedVarianceGradingStandards

级别区间

1x

2x-s󰀁x

3x-0.5s󰀁x

4x+0.5s󰀁x

5x>x+s

1.2󰀁转移概率矩阵的估算和级别预测向量的计算

转移概率矩阵用来描述不同级别的状态相互转换的概率.

设x1,x2,󰀁,xn是马尔可夫链的一个指标值序列,它包含m个等级:E={1,2,󰀁,m}.

用pkij表示指标从级别i经k步转化为级别j的概率,则序列的k步转移概率矩阵为

Pk=(pkij)m󰀁m(3)

式中,矩阵每一行元素的和为1,即

󰀁m

j=1Pkij=1(4)

采用频率估计概率,设fkij是指标从级别i经k步转化为级别j的频数.则

pkij=fkij/󰀁m

j=1fkij(5)232应用基础与工程科学学报󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁Vo.l19在转移矩阵的估算中,序列越长,频率和概率在统计意义上就越接近,结果也就更精确.

设指标在t时刻属于各级别的概率可用下面的向量表示

at={at1,at2,󰀁,atm}(6)

式中,m是级别数,ati(i=1~m)表示t时刻指标属于第i级别的概率.由全概率公式,未

来第k时刻的概率向量为

at+k={a(t+k)i=󰀁m

j=1atjpkji}(7)

这样,根据初始的概率向量和转移概率矩阵就可计算出未来第k时刻的概率向量.

1.3󰀁考虑权重的级别预测向量

在通常的基于马尔可夫链的水质预测中,往往只考虑前一时刻对后一时刻的影响,即

采用单步转移概率矩阵进行计算.但在实际中,前N个时刻的水质状态都有可能对当前

时刻有影响.为此,本文采用加权的马尔可夫链的办法.以k阶相关系数作为前k时刻对

当前状态的影响权重.

k阶相关系数

rk=󰀁N-k

t=1(xt-x)(xt+k-x)/󰀁N-k

t=1(xt-x)2(8)

标准化后的权重因子

󰀁k=rk/󰀁N

k=1rk(9)

式中,N为最大回溯步长,这样,最终的级别概率预测向量就是不同步长预测向量的加权

平均.

1.4󰀁基于模糊理论的水质定量预测

通过加权平均得到最终的级别预测概率向量后,可据此给出各级别的权重从而构成

权重集:D={d1,d2,󰀁,dm}(m为级别数),其中

di=p󰀁i/󰀁m

i=1p󰀁i(10)

pi:第i级别的预测概率.󰀁:最大概率作用系数,一般取2.引入模糊集理论中级别特征值

的概念

H=󰀁m

i=1idi(11)

李娟[16]等利用级别特征值对降水进行预报,其处理方法为

X预报=TiH/(i+0.5),H>i(12)

X预报=BiH/(i-0.5),H

式中,i是根据最大概率确定的级别中.Ti和Bi分别是i级别的上限和下限.

事实上,从定义式(11)可以看出,级别特征值H就是对各水质级别的加权平均,可以

反应水质的平均状况.如果将H投影到对应级别的水质指标范围里(图1),就可以得到下

一时刻水质的定量预报值,即233No.2岳遥等:基于模糊集理论的马尔可夫模型在水质定量预测中的应用

图1󰀁级别特征值投影

Fig.1󰀁Projectionofgradecharacteristicvaluefordifferentwaterqualitylevels

X预报=Bi+1+(Ti+1-Bi+1)(H-i)(14)

式中,i是H的整数部分,Ti+1和Bi+1分别是第(i+1)级别的上限和下限.

将水文中处理级别特征值的方法称为M1,基于投影距离的方法称为M2,后文将对两

种方法的预测精度进行比较.

2󰀁模型应用和结果分析

2.1󰀁研究区概况和方案简介

三门峡河段地处黄河中游,上自龙门水电站,下到三门峡大坝,河段全长240.4km,不

仅是三门峡市等重要城市的生活及工农业用水水源,也是󰀁引黄济青󰀁、󰀁引黄济津󰀁等大

型境外引水工程的水源地.本文将基于模糊集理论的马尔可夫模型对该河段两个重要的

控制断面潼关、三门峡断面的水质进行定量预测.

本文选取BOD5、氨氮、溶解氧等三项水质指标作为分析对象,实测序列从1992年到

2005年(其中,1992󰀁1995的数据来自水文站实测资料,1996󰀁2005的数据来自文献

[15]).为了削弱异常年份带来的预测结果的不确定性,对序列进行三年滑动平均处理.

这样,序列就缩短为1994年到2005年.截取1994󰀁2004年的数据作为样本序列,预测

2005年水质级别,分别采用M1和M2计算2005年的水质滑动平均值并和实测资料进行

比较.如果预测精度满足要求,则将此方法用于预测2005年到2019年15年的水质滑动

平均值变化情况.滑动平均值虽然并不直接反映年度的水质情况,但是它能够反映一个较

长时段内水质的平均状况.

2.2󰀁序列分级

计算潼关断面和三门峡断面三项水质指标的三年滑动平均值并计算相应的统计量,

按1.1节所述的方法对数据进行分级,计算结果如表2和表3所示.234应用基础与工程科学学报󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁Vo.l19表2󰀁潼关水质数据分级结果

Table2󰀁ThegradeofTongguan󰀁swaterqualitydata单位:mg/l

年份BOD5氨氮溶解氧

原序列滑动均值级别原序列滑动均值级别原序列滑动均值

级别

19925.581.168.63

19933.521.939.06

19944.164.4232.411.8329.248.985

19954.684.1230.221.5218.378.895

19969.546.1332.551.7318.338.655

199712.728.9852.801.8627.227.973

19983.268.5151.952.4337.687.743

19992.946.3141.872.2137.087.331

20002.793.0022.432.0837.427.391

20012.632.7912.982.4337.767.422

20024.143.1922.552.6548.087.753

20034.323.7023.823.1257.667.83320045.134.5332.633.0057.937.893

x5.062.267.99

s2.150.520.59

表3󰀁三门峡水质数据分级结果

Table3󰀁ThegradeofSanmenxia󰀁swaterqualitydata单位:mg/l

年份BOD5氨氮溶解氧原序列滑动均值级别原序列滑动均值级别原序列滑动均值

级别

19924.911.279.48

19933.090.799.68

19941.633.2132.291.4538.949.375

19953.532.7530.601.2338.829.155

19964.183.1130.921.2738.258.674

19975.024.2450.800.7717.538.203

19981.633.6151.421.0528.127.972

19991.832.8331.201.1427.997.881