周练4教师版
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如东县双甸中学周练四
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1、阅读下列算法： （1）输入x.
（2）判断x>2是否成立，若是，y=x; 否则，y=-2x+6.
（3）输出y.
当输入的时，输出的y的取值范围是（ ）
2、已知且则________．
3、一个正四面体的四个面分别涂有红、黄、蓝、白四种颜色，若随机投掷该四面体两次，则两次底面颜色相同的概率是
4、 如图，表示第i个学生的学号，表示第i个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是
5、在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是
．
6、若五个数1,2,3,4，a的平均数为3，则这五个数的标准差是
7、已知复数z满足，则的最小值为 2
．
8、一个三角形数阵如下：
„„
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为________．
9、已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则的取值范围是___________________
10、（理）已知函数，若方程
有解，则实数的取值范围是_____________________.
（文） 11、设，对于任意的，均单调递增，则的取值范围为
12、已知定义在R上的函数满足为的导函数。已知的图象如图所示，若两个正数满足，
则的取值范围是________.
13、如图，对大于或等于的正整数的次幂进行如下方式的“分裂”（其中，）：例如的“分裂”中最小的数是，最大的数是．若的“分裂”中最小的数是，则最大的数是 ． 14、已知函数，在区间［2，3］上任取一点＞0的概率为 e-2 。
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15、某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，„，后得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求分数在内的频率； （Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中
考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．
15、解：（Ⅰ）分数在内的频率为：
．
（Ⅱ）平均分为：
．
（Ⅲ）由题意，分数段的人数为：人；
分数段的人数为：人；
∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；
分数段抽取1人，记为M．
因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分， 则另一人的分数一定是在分数段，所以只需在分数段抽取的5人中确定1人．
设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件，
则基本事件空间包含的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，
(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)共15种．
事件包含的基本事件有(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)5种．„„„„„„12分
∴恰有1人的分数不低于90分的概率为．
16、 (本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，
sinB＝cosC．
(Ⅰ)求tanC的值；
(Ⅱ)若a＝，求ABC的面积．
16、【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。
(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝，
又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA
＝cosC＋sinC．
整理得：tanC＝． (Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝．
又由正弦定理知：，
故． (1)
对角A运用余弦定理：cosA＝． (2)
解(1) (2)得： or b＝(舍去)．
∴ABC的面积为：S＝．
17、设关于的一元二次方程
(1)若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率。
(2)若是从区间 任取的一个数，b是从区间任的一个数，求上述方程有实根的概率。
17、(1)p= ；(2)p=
18、请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为，则 由题设可得正六棱锥底面边长为：，
故底面正六边形的面积为：
＝，（单位：）
帐篷的体积为：
（单位：）
求导得．
令，解得（不合题意，舍去），， 当时，，为增函数；
当时，，为减函数． ∴当时，最大．
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为．
19、已知，函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； O
O1
xm41x22228)1(3xxx(43622)28xx)28(2332xx2m)28(233V2xxx）（]1)1(31[x)1216(233xx3m)312(23V'2xx）（0V'）（x2x2x21x0V'）（x）（xV42x0V'）（x）（xV2x）（xV2m3163m（Ⅱ）求在区间上的最小值．
19、解：（Ⅰ）当时，，，
所以，.
因此．
即曲线在点处的切线斜率为.
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）因为，所以．
令，得．
① ，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．
20、已知函数，．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，若对任意的两个实数满足，总存在，使得成立，证明：．
20、【解析】(1)当时，函数，
则． 当时，，当时，1，
则函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，．
(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．
设，则，令，得．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，取得最大值1，因而．
(3)，．
因为对任意的总存在，使得成立，
所以，
即，
即
． 设，其中，则，因而在区间(0，1)上单调递增，，又．
所以，即．
