高三数学数列求和1其它课程初中教育教育专区

6．4 数列求和及应用

1．数列求和方法

(1)公式法：

(Ⅰ)等差数列、等比数列前n项和公式．

(Ⅱ)常见数列的前n项和：

①1＋2＋3＋…＋n＝

；

②2＋4＋6＋…＋2n＝

；

③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝

；

④12＋22＋32＋…＋n2＝

；

⑤13＋23＋33＋…＋n3＝n（n＋1）22.

(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．

(3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．

(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{an}前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法．

(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．

常见的裂项公式：

①1n（n＋1）＝

－1 n＋1；

②1（2n－1）（2n＋1）＝

12n－1－12n＋1；

③1n（n＋1）（n＋2）

＝ 1n（n＋1）－1（n＋1）（n＋2）；

④1a＋b＝ (a－b)；

⑤n（n＋1）！＝ －1（n＋1）！；

⑥Cm－1n＝ ；

⑦n·n！＝ ！－n！；

⑧an＝Sn－Sn－1(n≥2)．

2．数列应用题常见模型

(1)单利公式

利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ .

(2)复利公式

利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ .

(3)产值模型

原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝

.

(4)递推型

递推型有an＋1＝f(an)与Sn＋1＝f(Sn)两类．

1 数学高考复习名师精品教案

第24课时：

第三章 数列——数列求和

一．课题：数列求和

二．教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；

2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；

3．熟记一些常用的数列的和的公式．

三．教学重点：特殊数列求和的方法．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．等差数列与等比数列的求和公式的应用；

2．倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法；

（二）主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；

2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；

3．转化思想的运用；

（三）例题分析：

例1．求下列数列的前n项和nS：

2 （1）5，55，555，5555，…，5(101)9n，…； （2）1111,,,,,132435(2)nn；

（3）11nann； （4）23,2,3,,,naaana；

（5）13,24,35,,(2),nn；（6）2222sin1sin2sin3sin89．

解：（1）555555555nnS个5(999999999)9n个

235[(101)(101)(101)(101)]9n

235505[10101010](101)9819nnnn．

（2）∵1111()(2)22nnnn，

∴11111111[(1)()()()]2324352nSnn1111(1)2212nn．

（3）∵1111(1)(1)nnnannnnnnnn

∴11121321nSnn

(21)(32)(1)nn11n．

学校教学的得力助手 考取状元的必由之路 …… 亨德森教育

1 高三数学VIP讲义

第七讲 数列求和的方法与技巧

主讲人：张伟

高考回顾：

已知数列}na满足， *11212,,2nnnaaaaanN’＋2＝＝.

令1nnnbaa，证明：{}nb是等比数列；

(Ⅱ)求}na的通项公式。

数列是高中数学的重要内容， 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.我们常用的数列求和方法有：公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、合并法求和、利用数列的通项求和。下面我们就通过一些典例来学习一下这些方法：

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11； mndSSSnmnm

2、 等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn；

nmmmnnnmSqSSqSS

3、 )1(211nnkSnkn 4、)12)(1(6112nnnkSnkn

5、 213)]1(21[nnkSnkn

[例1] 已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和. 学校教学的得力助手 考取状元的必由之路 …… 亨德森教育

2 解：由212loglog3log1log3323xxx，由等比数列求和公式得nnxxxxS32 ＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21nnSn， )2)(1(211nnSn

高三数学数列求和试题答案及解析

1. 设数列的前项积为，且（n∈N*）．

（1）求，并证明：；

（2）设， 求数列的前项和．

【答案】（１），祥见解析；（２）．

【解析】（１）n取1,2,3求出，再利用与的关系将已知等式用表示即可证明；

（２）由（1）问的结论利用等差数列的通项公式先求出的通项，再由通项利用裂项相消法求．

试题解析：（1）

由题意可得：，

所以 5分

（2）数列为等差数列，，

， 10分

【考点】１．数列的通项公式；２．数列的前n项和．

2. 已知函数且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( )

A．0

B．100

C．-100

D．10200

【答案】B

【解析】由题意，a1＋a2＋a3＋…＋a100

＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012

＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)

＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)

＝－1＋101

＝100，选B.

3. 已知等差数列的前项和为，且、成等比数列.

（1）求、的值；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）解法1是先令求出的表达式，然后令，得到计算出在的表达式，利用为等差数列得到满足通式，从而求出的值，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；解法2是在数列是等差数列的前提下，设其公差为，利用公式以及对应系数相等的特点得到、和、之间的等量关系，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和

视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出.

试题解析：（1）解法1：当时，，

当时，

.