2020最新高考数学综合练习题含解答

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)

1．cos(－79π6)的值为________．

解析：cos(－79π6)＝cos79π6＝cos(12π＋π＋π6)＝cos(π＋π6)＝－cosπ6＝－32.

答案：－32

2．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝13＋23，则||∶||＝________.

解析：＝－＝(13＋23)－＝23(－)，＝－＝－(13＋23)＝13(－)，

∴＝2313＝2.

答案：2∶1

3．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan2α的值为________．

解析：tanα＝－21＝－2，tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×(－2)1－4＝43.

答案：43 4．已知α、β均为锐角，若p：sinα

解析：因为α、β均为锐角，且α＋β

答案：必要不充分

5．已知a，b不是共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为________．

解析：令＝k，∴λa＋b＝k(a＋μb)，∴λ＝k,1＝kμ，∴λμ＝1.

答案：λμ＝1

6．若tanα＝3(1－22)，3·(tanα·tanβ－22)＋tanβ＝0，α、β∈(0，π2)，则α＋β的值为________．

解析：由条件可得：tanβ＝46＋3323，

故tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ ＝3(1－22)＋46＋33231－3(1－22)·(46＋3323)＝3，

∴α＋β＝π3.

答案：π3

7．将函数y＝cos(x－π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴为________．

解析：函数解析式为f(x)＝cos[12(x＋π6)－π3]＝cos(12x－π4)，根据对称轴的意义分别代入验证，由于f(π2)＝cos0＝1，故x＝π2是函数图象的一条对称轴．

答案：x＝π2

8．已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0，则等于________． 解析：由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝2，因此结合＋＋＝0即得＝2，因此易得P、A、D三点共线且D是PA的中点，所以＝1.

答案：1

9．当0

解析：f(x)＝cos2x＋1sinxcosx－sin2x

＝2cos2xsinx(cosx－sinx)

＝2tanx(1－tanx).

因为tanx(1－tanx)≤(tanx＋1－tanx2)2＝14，

所以f(x)≥214＝8，

当且仅当tanx＝1－tanx，即tanx＝12时取等号．

由于0

故f(x)的最小值为8. 答案：8

10．函数f(x)＝3sin(2x－π3)的图象为C，下列结论中正确的是________．

①图象C关于直线x＝π6对称

②图象C关于点(－π6，0)对称

③图象f(x)在区间(－π12，5π12)内是增函数

④由y＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C

解析：①f(π6)＝0≠±3，所以①错误，②f(－π6)＝3sin(－2×π6－π3)＝－332≠0，所以②错误，③令u＝2x－π3，当－π12

答案：③

11．已知2a－b＝(－1，3)，c＝(1，3)，且a·c＝3，|b|＝4，，则b与c的夹角为________． 解析：∵2a－b＝(－1，3)，c＝(1，3)，∴(2a－b)·c＝2a·c－b·c＝(－1，3)·(1，3)＝2.

又∵a·c＝3，∴b·c＝4，cos〈b，c〉＝b·c|b|·|c|＝44×2＝12，所以b与c的夹角为π3.

答案：π3

12．已知5sin2α＝sin2°，则tan(α＋1°)tan(α－1°)＝________.

解析：由5sin2α＝sin2°得，

5sin[(α＋1°)＋(α－1°)]＝sin[(1°＋α)＋(1°－α)]，

整理得：2sin(α＋1°)cos(α－1°)＝－3cos(α＋1°)sin(α－1°)，

所以sin(α＋1°)cos(α－1°)cos(α＋1°)sin(α－1°)＝－32，即tan(α＋1°)tan(α－1°)＝－32.

答案：－32

13．方程sin2x－2sinx－a＝0在x∈R上有解，则a的取值范围是________．

解析：原式变为(sinx－1)2＝1＋a，∵－1≤sinx≤1，

∴0≤(sinx－1)2≤4，故0≤1＋a≤4，解得－1≤a≤3.

答案：[－1,3]

14．已知a＝(－1,1)，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________． 解析：因为⊥，所以 (a－b)·(a＋b)＝0，即|a|2＝|b|2，因为三角形OAB是等腰直角三角形，OA＝OB，因为|a|＝1＋1＝2，故有||＝|a|2－2a·b＋|b|2与

||＝|a|2＋2a·b＋|b|2相等．所以a·b＝0.所以OA＝OB＝2.所以S△OAB＝12×2×2＝2.

答案：2

二、解答题(本大题共有6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝(3sinωx＋cosωx)cosωx－12(ω>0)的最小正周期为4π.

(1)求ω的值；

(2)求f(x)的单调递增区间．

解：(1)f(x)＝3sinωxcosωx＋cos2ωx－12

＝32sin2ωx＋12cos2ωx＋12－12.

＝sin(2ωx＋π6)．

∵T＝2π2ω＝4π，∴ω＝14. (2)∵f(x)＝sin(12x＋π6)，

∴－π2＋2kπ≤12x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z.

∴－43π＋4kπ≤x≤23π＋4kπ，k∈Z.

∴f(x)的单调递增区间为[－4π3＋4kπ，2π3＋4kπ](k∈Z)．

16．(本小题满分14分)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，

(1)若点A、B、C不能构成三角形，求实数m满足的条件；

(2)若△ABC为直角三角形，求实数m的值．

解：(1)∵＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若A、B、C三点不能构成三角形，则这三点共线，

∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，

∴3(1－m)＝2－m，

∴m＝12即为满足的条件．

(2)由题意，△ABC为直角三角形，

①若∠A＝90°，则⊥，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，

∴m＝74； ②若∠B＝90°，则⊥，∵＝(－1－m，－m)，

∴3(－1－m)＋(－m)＝0，∴m＝－34；

③若∠C＝90°，则⊥，

∴(2－m)(－1－m)＋(1－m)(－m)＝0，∴m＝1±52.

综上可得m＝74或－34或1±52.

17．(本小题满分14分)(2008年高考江西卷)已知tanα＝－13，cosβ＝55，α，β∈(0，π)．

(1)求tan(α＋β)的值；

(2)求f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．

解：(1)由cosβ＝55，β＝(0，π)，

得tanβ＝2，sinβ＝255.

所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1.

(2)因为tanα＝－13，α∈(0，π)． 所以sinα＝110，cosα＝－310.

f(x)＝－355sinx－55cosx＋55cosx－255sinx＝－5sinx.

所以f(x)的最大值为5.

18．(本小题满分16分)(2010年浙江省嘉兴市质检)已知f(x)＝sin(x＋π6)－tanαcosx，且f(π3)＝12.

(1)求tanα的值；

(2)当x∈[π2，π]时，求函数f(x)的最小值．

解：(1)因为f(π3)＝sin(π3＋π6)－tanα·cosπ3

＝1－12tanα＝12.

所以tanα＝1.

(2)由(1)得，f(x)＝sin(x＋π6)－cosx

＝32sinx－12cosx＝sin(x－π6)， 因为π2≤x≤π，所以π3≤x－π6≤5π6，

所以12≤sin(x－π6)≤1.

因此，函数f(x)的最小值为12.

19．(本小题满分16分)(2009年高考湖南卷)在△ABC中，已知2·＝3||·||＝3 2，求角A、B、C的大小．

解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c.

由2·＝3||·||得2bccosA＝3bc，

所以cosA＝32.

又A∈(0，π)，因此A＝π6.

由3||·||＝32得bc＝3a2.

于是sinC·sinB＝3sin2A＝34.

所以sinC·sin(5π6－C)＝34，

sinC·(12cosC＋32sinC)＝34，

因此2sinC·cosC＋23sin2C＝3， sin2C－3cos2C＝0，

即sin(2C－π3)＝0.

由A＝π6知0

故A＝π6，B＝2π3，C＝π6，或A＝π6，B＝π6，C＝2π3.

20．(本小题满分16分)在△ABC中，三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6.

(1)求·的值；

(2)求(sin2A＋C2－cos2A－C2)sin2BcosAcosBcosC的值．

解：(1)·＝||·||·cosB，

cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝49＋25－362×7×5＝1935，

∴·＝7×5×cosB＝7×5×1935＝19.

(2)∵B为三角形的内角，

∴B∈(0，π)，sinB>0，

∴sinB＝1－cos2B＝54×1635＝12635，